七年级数学上学期期末考试真题汇编（人教版）线段中的动点问题与数学思想讲练（解析版）

专题10线段中的动点问题与数学思想专题讲练

线段有关的动点问题（数轴动点题）是人教版七年级上学期压轴题，而四种数学思想则

一直贯穿我们整个中学数学的学习，站在中考的角度看数学思想的重要性甚至超过线段的动

点问题。本本专题主要介绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存

在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）和四种数学思想（分类讨论思想、整体思

想、数形结合思想、方程思想）。

阳4名抽导桅

1、知识储备

考点1.线段中点有关的动点问题

考点2.线段和差倍分关系中的动点问题

考点3.线段上动点问题中的存在性（探究性）问题

考点4.阅读理解型（新定义）问题

考点5.分类讨论思想

考点6.数形结合思想

考点7.整体思想

考点8.方程思想

2、经典基础题

3、优选提升题

疫⅜知积微备

1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据

无法直接利用，常设X列方程；

2.线段等量代换模型：

若EH=FG,则E"±"G=FG±HG,即EG=FH

3.定和型中点模型：

AMCN&

若“，N分别是AC,BC的中点，则MN=LAB

2

线段的动点问题解题步骤：

1.设入未知量，表示动点运动的距离；2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段;

3.根据题设条件建立方程求解；4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。

Q经尊泉砒盛•

考点1.线段中点有关的动点问题

变式1.（2022•贵州铜仁•七年级期末）如图1,己知点C在线段ZB上，线段NC=IO厘米，

8C=6厘米，点M,N分别是NC,BC的中点.（1）求线段MN的长度.（2）根据第（1）

题的计算过程和结果，设/C=",BC=b,其他条件不变，求的长度.（3）动点P、Q

分别从/、B同时出发，点P以Icmls的速度沿AB向右运动，终点为8,点。以∖cmls的速

度沿N8向左运动，终点为4当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动.设点产的运

动时间为f（s）.当C、P、。三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直

接写出时间九

AMCNBACB

图1图2

【答案】（1）MN=8厘米；（2）仞V=；a+；b；（3）所求时间/为4或弓或

【分析】（1）（2）根据线段中点的定义、线段的和差，可得答案；

（3）当C、P,。三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，可分四种情况

进行讨论：当0＜«5时，C是线段P0的中点；当5＜二与时，尸为线段C0的中点；

当与＜Z≤6时，。为线段PC的中点；当6＜区8时，C为线段P。的中点.根据线段中点

的定义，可得方程，进而求解.

【详解】解：（1）线段/C=IO厘米，8C=6厘米，点M,N分别是月C,8C的中点，

DMC=-AC=5MX，CN=IBC=3厘米，∙Λ∕7V=Λ∕C+C28厘米；

22

（2）L＜AC=a,BC=b,点MN分别是ZC,8C1的中点，

MC=-AC=-a1CN=LBC=Lb,MN=MC+CN=—a+—b；

222222

（3）□当点尸在线段4。上，即0V∕≤5时，。是线段尸。的中点，得10-2片6.解得片4；

当点P在线段3C上，即5V∕≤与时，尸为线段。。的中点，2M0=16-3/,解得P等；

口当点0在线段BC上，即与＜∕≤6时，。为线段尸C的中点，6-∕=3M6,解得片号；

□当点。在线段ZC上，即6V/08时，C为线段P。的中点，2M0=∕6解得片4（舍）,

综上所述：所求时间，为4或等或

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，利用线段中点的定义得出关于f

的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏.

变式1.（2022•广东•七年级期中）如图，已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上一点，

且AB=14,动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动

时间为t（f>0）秒：

BOA

-i----------1--------------i→

（1）写出数轴上点B表示的数为,点P表示的数为（用含f的代数式表示）；

（2）动点。从点8出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、。同

时出发，问点P运动多少秒时追上点Q?（3）若M为AP的中点，N为的中点，点P在

运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图

形，并求出线段MN的长.

【答案】（1）-6,8-4；（2）点P运动7秒时追上点。；（3）线段MN的长度不发生变化，

其值为7

【分析】（1）根据点A表示的数和AB的长度即可求解；（2）根据题意列出方程4r=2f+14,

求解即可；（3）分类讨论即可：「当点尸在点A、B两点之间运动时，口当点P运动到点8的

左侧时，根据中点的定义即可求解.

【详解】（1）解：数轴上点A表示的数为8,且AS=14,

点B表不的数为-6,点P表示的数为8-4/,故答案为：-6,8—4/；

（2）设点P、。同时出发，点尸运动时间f秒追上。，依题意得，4t=2f+14,解得f=7,

J点2运动7秒时追上点Q；

（3）线段MN的长度没有发生变化都等于7；理由如卜：

I当点?在点A、B两点之间运动时：

—gB------N•--o•~P•-----→M-------A•-->

δ6

MN=MP+NP=-AP+-BP=-{AP+BP）=JAB=LXl4=7,

22222

I当点P运动到点B的左侧时：

OA

P—N—BMO6>

MN=MP-NP=-AP--BP=^（AP-BP）=7,线段MN的长度不发生变化，其

值为7.

【点睛】本题考查数轴上的动点问题,掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键.

考点2.线段和差倍分关系中的动点问题

例1.（2022•江苏镇江•七年级期末）如图，线段AB=28厘米，点。和点C在线段Z8上，

且AC:8C=5:2,Z）UAB=1:4.点尸从点Z出发以4厘米/秒的速度沿射线/。向点C运

动，点尸到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点。所在位置后停止运动，点

。从点8出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点。到达点。所在的位置后停

止运动.点P和点。同时出发，点。运动的时间为f秒.

（1）求线段的长度；（2）当点C恰好为的中点时，求/的值；（3）当PQ=7厘米

时，求，的值.

-------->*-------

A(P)DC(QfB

A（P）DC（Q）B

（备用图）

2179

【答案】（I）AD=13；（2）/=4或f=5.6;（3）/=—-ʃ、8,

【分析】（1）先求出NC,再求出DC,根据4）=/CoC即可；

（2）表示出CP、C0的长度，再根据CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后两

种情况讨论；

（3）表示出JB尸、80的长度，再根据PQ=7列方程即可，需要注意「到C之前和之后以及

P到D之前之后的多种情况讨论：

52

【详解】（1）AB=28,AC:BC=5:2AC=-AB=20,BC=-AB=S

77

DC-.AB=∖ADC=7AD=AC-DC=20-1=13

（2）口点。从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线8C的方向运动，

BQ=t,P到达C之前时AP=4r，CP=AC-AP=20-4f

I点C恰好为产。的中点此时P在C左边，。在C右边，且CP=CQ

CQ=8C-8Q=8-f=CP=20-4解得f=4

。到达C之后时CP=4t-AC=4t-20

□点C恰好为尸。的中点此时P在C左边，。在C右边，且Cp=C0

CQ=BC-8Q=8τ=CP=4∕-20解得f=5.6

故当点C恰好为尸。的中点时f=4或f=5.6

(3)当P、。到达C之前时PQ=CP+CQ,

21

CP=AC-ΛP=20-4f,CQ=BC-BQ=8-t20-4r+8-f=7解得，

当尸到达C之后、。到达C之前时PQ=CP+CQ,

19

CP=4t-AC=4t-20,CQ=BC-BQ=RT4f-20+8-f=7解得，

2727

当下到达。点时此时4f=27,r=2f7,BQ=t=-,PQ=BD-BQ=S+1>7

444

当P到达。点以后、。到达。之前，BP=BD=I5BQ=t,PQ=BD-BQ=15-t=7解得t=8

2119

综上当PQ=7厘米时，，=?、?、8,

【点睛】此题考查线段和差计算、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是弄

清点在运动时的出发点、方向、速度以及两个动点的运动属于相遇问题还是追及问题等.

变式1.(2022•天津和平•七年级期末)如图，直线/上有力,8两点，N8=12cm,点。是线

段18上的一点，O∕=2O8.(1)则。/=cm,OB=cm；(2)若点C是线段18

上一点(点C不与点42重合)，且满足ZC=CO+C8,求CO的长；(3)若动点尸从点Z

出发，动点。从点8同时出发，都向右运动，点尸的速度为2cm∕s.点。的速度为ICm∕s,

设运动时间为f(S)(其中仑0).

□若把直线/看作以。为原点，向右为正方向的一条数轴，则f(S)后，尸点所到的点表示

的数为—;此时，。点所到的点表示的数为—.(用含，的代数式表示)□求当，为何值

时，20P-OQ=4(cm).

—1--------1-----1-I

AOB

4

【答案】(1)8,4；(2)jcm；(3)「-8+2f,4+f；1.6或8.

【分析】U)由于/8=12Cm点。是线段/8上的一点，OA=2OB,则。/+08=308=

AB-Mcm,依此即可求解;

(2)根据图形可知，点C是线段NO上的一点，可设C点所表示的实数为X,分两种情况：

1点C在线段。(上时：点C在线段08卜一时，根据∕C=C0+C8,列出方程求解即可：

(3)［根据路程=速度X时间即可求解；

1分两种情况:0<f<4(尸在。的左侧)；4≤∕≤12(P在。的右侧)；进行讨论求解即可.

【详解】解：(1)UAB=Ucm,04=208,

OA+OB=3OB=AB=∖2(cm),解得05=4,04=208=8(cm).故答案为：8,4；

(2)设C点所表示的实数为X,

分两种情况：口点C在线段Ql上时，□∕C=C0+C8,8+x=-x+4-x,3x=-4,解得X

_4

=-3；

I点C在线段08上时，AC=C0+CB,8+x=4,解得x=-4(不符合题意，舍).故C。

,,4

的长是IC"?；

(3)□t(S)后，P点所到的点表示的数为-8+2*此时，。点所到的点表示的数为4+九

故答案为：-8+2/,4+/；

□0<∕<4(尸在O的左侧)，OP=O-(-8+2/)=8-2/,00=4+1,20P-OQ=4,则

2(8-2t)-(4+r)=4,解得/=1.6；

4<l<12(P在O的右侧)，OP=-8+2/-O=-8+2/,O0=4+/,2OP-00=4,则

2(2Z-8)-(4+/)=4,解得/=8.综上所述，t=1.6或8时，20P-OQ=4cm.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，数轴上点的表示，比较

复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，

两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值.

变式2.(2022•四川成都•七年级期末)如图，已知点C在线段N8上，AB=20,BC=^AC,

点。，E在射线/8上，点。在点E的左侧.⑴OE在线段/8上，当E为BC中点时，求

CE的长；

(2)在(1)的条件下，点尸在线段/8上，CF=3,求EF的长；

CD

⑶若ZH=2OE,线段QE在射线上移动，且满足关系式48E=3(AD+CE),求7用的值.

∕ιV

ADCEBAC£

图1备用图

CD19

【答案】⑴CE=2.5;(2)EF的长为0.5或5.5；(3)F=

AC30

【分析】(1)根据∕C=20,8C=g∕C可得BC的长度，再根据线段的中点可得答案；(2)分

两种情况：当点尸在点E的右侧或当点尸在点E的左侧，再根据线段的中点计算即可；(3)

根据OE的位置分情况计算即可.

(1)解：SL48=20,BC=^AC,EIBC=5,AC=1S,ElE为8C中点，13CE=2.5；

(2)解：当点尸在点E的右侧，如图，EF=CF-CE=325=0.5,

ACEFB

当点尸在点E的左侧，如图，EF=CF+CE=3+2.5=5.5,综上：E厅的长为0.5或5.5；

AFCEB

(3)解：05C=∣JC,AB=2DE,满足关系式43E=3(AD+CE),设CE=x,BC=5,AC=15,

DE=IO,

①当£)E在线段/C上时，如图，

ADECB

贝I」/O=15-x-10=5-x,BE=5+x,048E=3(AD+CE),即4(5+x)=3(5-x+x),解得X=-1.25,

不合题意，舍去；

②当点C在£>E之间时，如图，

♦♦・

DCEB

0J3=15+x-lO=5+x,BE=5-x,048E=3(AD+CE),即4(5-x)=3(5+x+x),解得X=O.5,

CD9519

0CZ)=1O-O.5=9.50一=—=—；

AC1530

③线段C8在线段OE上时，如图，

ADCBE

则NO=15+x-10=5+x,BE=x-5,即4(X-5)=3(5+x+x),解得X=-17.5,不合题意，舍去;

④当。在C8之间时,，如图，

ACDBE

JD=15+x-10=5+x,BE=x-5,即4(X-5)=3(5+x+x),解得X=-17.5,不合题意，舍去：

⑤当。在8的右边时，如图，

ACBDE

/D=15+x-10=5+x,BE=x-S,即4(x-5)=3(5+x+x),解得X=-17.5,不合题意，舍去.

综上‘Tc=30∙

【点睛】本题考查了两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键，注

意分情况计算.

考点3.线段上动点问题中的存在性(探究性)问题

例1.(2022•广西桂林•七年级期末)如图，在直线/8上，线段AB=24,动点P从/出发，

以每秒2个单位长度的速度在直线48上运动.〃为ZP的中点，N为BP的中点，设点P

的运动时间为f秒.

AMPNB

-AB

(1)若点P在线段48上的运动，当QW=IO时，PN=；(2)若点尸在射线N8上的运

动，当PM=2PN时,求点尸的运动时间/的值；(3)当点P在线段/8的反向延长线上运动

时，线段/8、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由.

【答案】(I)PN=2(2)8或24(3)尸N-PM=JAB,见解析

【分析】(1)根据题中条件直接计算即可求解；

(2)分点P在线段AB上运动和线段AB的延长线上运动进行讨论，从而求解；

(3)先将RW和RV表示出来，再求出线段AB、PM、PN之间的数量关系.

(1)解：历为/P的中点，PM=10,AP=20,

啜段AB=24,N为8P的中点，PN=(24-20)÷2=2.故答案是：2；

(2)解：口当点P在线段48上，PM=2PN时，如图，

~~AMP_NB

PM=AM=^AP=^t,PN=BN=3BP=g(AB-AP)=∖2-t,f=2(12-f),解得：t=8.

当点P在线段48的延长线上，PM=2PN时,如图，

~AMBNP

PM=AM=JAP=f,PN=BN=；BP=；(AP-AB)=t-12,f=2(f-12),解得：/=24.

综上所述，当尸M=2PN时，点尸的运动时间f的值为8或24.

(3)解：当点P在线段N8的反向延长线上时，PN-PM=；AB,

PM~ANB-

PM=AM=-AP,PN=BN=-BP=-(AP+AB)=-AP+-AB,

PN-PM=-AP+-AB--AP=-AB.

2222

【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题

的关键.

变式1.(2022•湖北青山区•七年级期中)已知线段∕8=%,CD=n,线段CC在直线/8上

运动(/在5的左侧，C在。的左侧)，且机，〃满足加-12∣+(〃-4)2=0.(1)机=,

n=；

(2)点。与点8重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动.

□如图1,点C在线段“8上，若M是线段XC的中点，N是线段8。的中点，求线段MN

的长；

□P是直线/8上/点左侧一点，线段CQ运动的同时，点F从点尸出发以3个单位/秒的向

右运动，点E是线段BC的中点，若点尸与点C相遇1秒后与点E相遇.试探索整个运动

过程中，FC—5。E是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

ABAMCDNB

图1备图

【答案】(1)"7=12,”=4；(2)□MN=8,1在整个运动的过程中，尸C-5OE的值为定值，

目定值为0.

【分析】(1)由绝对值和平方的非负性,即可求出m、n的值;(2)由题意,则MN=CM+CD+DN,

程施线段中点的定义，即可得到答案；口设PA=a,则PC=8+a,PE=10+a,然后列出方程，

求出α=2,然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案.

2

【详解】解：(1)□∣m-12∣+(n-4)=0,Im-12=0,n-4=0,m=12,n=4i故答案

为：12；4.

(2)由题意，AB=I2,CD=4,jCDNB

M是线段AC的中点，N是线段BD的中点AM=CM=∣AC,DN=BN=∣BD

MN=CM+CD+DN=ɪAC+CD+TBD=gAC+；CD+ɪBD+ɪCD

=；(AC+CD+BD)+ɪCD=^-(AB+CD)=8;

如图，设PA=a,贝IJPC=8+a,PE=I0+a,依题意有：筌+1=黑%解得：a=2

------------------------------------------AC(F)D(£)B

PAB

图1

在整个运动的过程中：BD=2t,BC=4+2t,E是线段BC的中点CE=BE=TBC=2+t；

□.如图1,F,C相遇，即t=2时F,C重合，D,E重合，贝IJFC=O,DE=0□FC-5DE=0；

.如图2,F,C相遇前,即t<2时FC=10-5t,DE=BE-BD=2+t-2t=2-tUFC-5DE=10-5t-5

(2-t)=0；

AFCEDBACFDEB

图2图3

□.如图3,F,C相遇后，即t>2时FC=5t-10,DE=BD-BE=2t-(2+t)=t-2□FC-5DE=5t-10

-5（t-2）=O；

综合上述：在整个运动的过程中，FC-5DE的值为定值，且定值为0.

【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对

值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的

思想进行分析.

考点4.阅读理解型（新定义）问题

例1.（2022•北京市第七中学七年级期中）如图1,点C把线段/8分成两条线段NC和BC,

如果∕C=28C时，则称点C是线段48的内二倍分割点；如图2,如果8C=2∕C时，则称点

C是线段8/的内二倍分割点.

......,且2£P,

λcbACB-3-4-40~1~~2~3~4^*

图1图2图3

例如：如图3,数轴上，点/、B、C、。分别表示数-1、2、1、0,则点C是线段48的内二

倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点.

（1）如图4,M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2,点N所表示的数为7.MN的内

二倍分割点表示的数是：NM的内二倍分割点表示的数是.

-I11U611Illll1X.1.

-5-I-3-2-101234567S

图4

（2）数轴上，点Z所表示的数为-30,点8所表示的数为20.点尸从点B出发，以2个单

位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为f（»0）秒.①线段B尸的长为:

（用含f的式子表示）

②求当/为何值时，P、/、8三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点.

【答案】⑴4；1；（2）①线段B尸的长为2/:②当，为弓或弓或弓或75秒时，P、

33L

/、8中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点.

【分析】（1）根据内二倍分割点的定义，找到MN的三等分点表示的数即可；

（2）①根据速度与路程的关系，可得BP=2t,②分P为其余两点的内二倍分割点和A为其

余两点的内二倍分割点两种情况，按照内二倍分割点的定义，列方程求解即可.

【详解】解：（1）MN的内二倍分割点就是MN的三等分点且距N近，MN=9,则MN的内

二倍分割点在N的左侧，距N点3个单位，所以，表示的数为4；同理，则NM的内二倍

分割点在N的左侧，距N点6个单位，所以，表示的数为1；

（2）①则线段8P的长为2t.

②当尸在线段NB上时，有以下两种情况：

如果P是/8的内二倍分割点时，则∕P=28P,

所以50-2∕=2x2f解得f=∙y;

如果尸是氏4的内二倍分割点时，则BP=2AP,

所以2f=2（50-2/）解得2日;

当P在点/左侧时，有以下两种情况：

如果N是8P的内二倍分割点时，则BA=2PA,

75

所以50=2（2/-50）解得/=—:

如果才是ES的内二倍分割点时,则Λ4=28∕,所以2f-50=2χ50,解得t75；

综上所述：当f为胃或当或4或75秒时，尸、/、8中恰有一个点为其余两点的内二倍分

割点.

【点睛】本题考查了新定义内二倍分割点、速度与路程的关系和分类讨论的思想；准确理解

定义，恰当的用速度与时间表示线段长，分类讨论，建立方程是解题的关键.

变式1.（2022•河南南阳•七年级期中）如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、

AC和8C,若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的"巧

点

（1）填空：线段的中点这条线段的巧点（填"是"或"不是"或"不确定是"）

【问题解决】（2）如图二，点A和8在数轴上表示的数分别是-20和40,点C是线段AB的

巧点，求点C在数轴上表示的数。

【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点尸从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点8

匀速运动，同时动点。从点B出发，以每秒4个单位的速度沿向点A匀速运动，当其中

一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A、P、。三点中，其中一点恰好是另外两点为

端点的线段的巧点时，直接写出运动时间”s）的所有可能值.

ACBAB

於

APOBAB

-200育-200

图③备用图

【答案】⑴是；（2）10或O或20；⑶∕=y;t=6；f=y:t=12;f=y:t=^^∙

【分析】（I）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，

进行判断即可；（2）由题意设C点表示的数为X,再根据新定义列出合适的方程即可；（3）

根据题意先用t的代数式表示出线段AP,AQ,PQ,再根据新定义列出方程，得出合适的解

即可求出t的值.

【详解】解：(1)因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点,

故答案为：是；

(2)设C点表示的数为X,则AC=X+2O,BC≈40-x,AB=40+20=60,根据“巧点”的定义可知:

①当AB=2AC时，有60=2(x+20),解得，x=10;

②当BC=2AC时，有40-x=2(x+20),解得，X=O;

③当AC=2BC时,，有x+20=2(40-x),解得，×=20.

综上，C点表示的数为10或0或20：

60-6r(0≤r≤10)

(3)由题意得AP=2f,Aβ=60-46PQ=

6r-60(10<z<15)

⑴、若0≤t≤10时,点P为AQ的“巧点",有

①当AQ=2AP时，60-4t=2x2t,解得，Z=y,

②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t,解得，t=6；

③当AP=2PQ时，2t=2(60-6t),解得，r=y；

综上，运动时间Ms)的所有可能值有f=T；t=6；f=与：

(H),若IOVt≤15时，点Q为AP的"巧点”，有

①当AP=2AQ时,2t=2×(60-4t),解得,t=12;

90

②当PQ=2AQ时，6t-60=2×(60-4t),解得，t=~-

③当AQ=2PQ时，60-4t=2(6t-60),解得，f=y.

9045

综上，运动时间KS)的所有可能值有：t=12；"三；f=

故，运动时间MS)的所有可能值有：f==；t=6;f=";t=12;r=当；f=孚.

2774

【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点

间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解.

考点5.分类讨论思想

分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干个不同的情形,然后逐类

进行研究和求解的一种解题思想。在线段计算中，由于线段及端点的不确定性往往需要分类

讨论。

常见分类依据：口无图常需分类讨论；□在不清楚点的具体位置的情况下，应注意分类讨

论思想的应用，即分点在线段上还是在线段的延长线上，在左侧还是右侧等情况。

例1.（2022・重庆初一期中）已知，点C在直线AB上，AC=a，BC=b,且α≠6,点M

是线段的中点，则线段MC的长为（)

a+b„a-bCa+b_^a-ba+b∖a-b∖

A.-------B.----C.------或-------D.------或--------

222222

【答案】D

【分析】由于点8的位置以及。、6的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到

答案.

【解析】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论:

当α>6且点C在线段48上时，如图1.

AMCBAMBC

图1图2

AC=a,BC=b,AB=AC+BC=a+b.点例是/8的中点，JAM—^AB=^(a+b),

1z八a_b

MC=AC-AM=a(〃+/?)=------.

22

□当且点。在线段N5的延长线上时，如图2.

AC=a,BC=b,AB=AC-BC=a-b,点团是48的中点，AM=-AB=-(a-b),

22

MC=AC-AM—=-------.

□当αVb且点C在线段ZB上时，如图3.

-ABCAMB-

图3图4

0AC=a,BC=b,ΠAB=AC+BC=a+b.ZI点M是ZB的中点，JAM=-AB=-(a+b),

22

MC=AM-AC=+~.

22

"当且点C在线段48的方向延长线上时，如图4.

4C=a,BC=b,AB=BC-AC=b-a.点M是/8的中点，AM=-ΛB=-(b-d),

22

C1,a+b

MC=AC+AM=〃+—(z/?—Q)=----.

综上所述:ʌ/e的长为"^或i(">b)或j(α<6),即MC的长为"2或©4.故

22222

选D.

【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差

关系与分类讨论的数学思想是解题的关键.

变式1.(2022•沙坪坝区•七年级月考)如图，数轴上有两点A8,点C从原点O出发，以

每秒Icm的速度在线段上运动,点D从点8出发，以每秒4cm的速度在线段OB上运动.在

Afl

运动过程中满足OD=4AC,若点M为直线04上一点，且BM=OM,则二的值

OM7

为.

【答案】1或g

【分析】设点A在数轴上表示的数为a,点B在数轴上表示的数为b,设运动的时间为t秒，

由0D=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答,

［若点M在点B的右侧时，】若点M在线段BO上时，若点M在线段OA上时，「若点

M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM,由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关

系，再计算多的值即可•

OM

【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m

则OC=t,BD=4t,即点C在数轴上表示的数为-t,点D在数轴上表示的数为b-4t,□AC=-t-a,

0D=b-4t,

由0D=4AC得，b-4t=4(-t-a),即：b=-4a,

若点M在点B的右侧时，如图I所示：

4bm

______I_______I_____________________

由AM-BM=OM得，m-a-(m-b)=m,即：m=b-a；~~—=—=[

OMmm

□若点M在线段BO上时，如图2所示：

amb

----------1----------1----------1----------------->

AOMB

图2

由AM-BM=OM得，m-a-(b-m)=m,即：m=a+b;~—~~-=—

OMma+ba—4a3

若点M在线段OA上时，如图3所示:

m⅛

∙II

。D

Mn

图

a+ba—Aa

由AM-BM=OM得，m-a-(b-m)=-m,即:m==-a

3

此时m<0,a<0,此种情况不符合题意舍去:

若点M在点A的左侧时，如图4所示:

mab

]

MAOB

图4

由AM-BM=OM得，a-m-(b-m)=-m,即：m=b-a=-5a;而mV0,b-a>O,因此，不符合

题意舍去，

ΛDC

综上所述，煞的值为1或?.

OM3

【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键,

分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用.

考点6.数形结合思想

以图形的认识为主，这是几何研究的主要特点。同时我们也要联系到数量，使两者一致，

达到数与形的完美结合。数与形是数学的两块基石，它们常常结合在一起，在内容上相互联

系，在方法上相互渗透，在一定条件下可以相互转化。在解题时，必须注意把数和形结合

起来，把形的问题转化为数的问题，或者把数的问题转化为形的问题。利用数研究形，关键

在于创设条件，使几何图形数量化；运用数形结合思想求最值和定值是常考点。

例1.(2022•福建漳州•七年级期末)如图，∕8=12cm,C为线段/3上一点，且∕C=28C.(1)

求NC的长；(2)若。为BC的中点，点E在直线/8上，且/E=3cm.请你把图形补充完整；

并求Z)E的长.

Λ------------g-------BΛ------------£-----⅛

(备用图)

【答案】(1)8Cm；(2)补全图形见解析,7cm或13cm.

【分析】(1)由AC=23C和AB=AC+8C,即可求出4C的长；

(2)分类讨论当点E在点火右侧时和当点E在点/左侧时，画出图形.根据。为8C的中

点，即可求出。的长，从而可求出/£>的长，再根据所画图形，即可求出。E的长.

(1)AC=IBC,BPBC=—AC,AB=AC+BC-AC+—AC=12cm,解得：AC=8cm；

(2)当点E在点/右侧时，如下图即为补全的图形,

EDB

ΛC=8cm,Aβ=12cm,BC=AB-ΛC=12-8=4cm.

。为8C的中点，CD=^BC=2cm,AD=AC+CD=8+2=IOcm.

AE=3,DE=AD-AE=↑0-3=Icm-

□当点E在点Z左侧时，如下图即为补全的图形，

♦，♦，♦Y

EACDB

同理，可求出49=10CmAE=3,DE=AD+AE=lθ+3=l3cm.

【点睛】本题考查线段的中点的性质，线段的和与差.利用数形结合的思想是解题的关键.

变式1.（2022・山东•七年级期末）如图1,将一段长为60c7”绳子Z8拉直铺平后折叠（绳子

无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠.

"5

II

图1

（1）若将绳子/8沿ΛΛN点折叠，点N、B分别落在⑷、B，处.

□如图2,若4、8”恰好重合于点。处，MN=cm；

（X,L（B,）

/・・・・・・圣。♦..........BA.VO__________X__________.

II

图2

□如图3,若点⑷落在点8'的左侧，且49=20cτn,求MN的长度；

儿"_________Sl__工_____.B

图3

口若4夕=〃cm,求脑V的长度.（用含〃的代数式表示）

A.----------------------.B

备用图

（2）如图4,若将绳子NB沿N点折叠后，点8落在夕处，在重合部分BW上沿绳子垂直

方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5,直接写出NN所有

可能的长度.

(A)

图4

【解题思路】(1)□由题意可得：AM=MO=∖AO,ON=BN=^OB,再结合图形可求得答案；

□先结合图形可求得ZH+8夕=40。〃，再根据中点性质和线段和差关系计算即可；

□分两种情况分别计算即可：当点H落在点夕的左侧时，当点H落在点夕的右侧时；

(2)根据三段的长度由短到长的比为3：4：5,分别按以下几种情况进行计算：［当B'D-.

CD：∕C=3:4：5时，口当方力：AC：8=3：4：5时，□当C£>：B'D∙.4C=3:4：5时，

匚当CD：AC：B'D=3:4：5时，口当/C：B'D-.CD=