2023-2024学年天津市河东区高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年天津市河东区高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.双曲线X=ι的焦点坐标是()

32

A.(0,±l)B.(+1,0)C.(0,±√5)D.(±√5,0)

【正确答案】D

【分析】根据双曲线方程可得〃力，然后根据c2=M+〃可得0,最后得出结果.

【详解】由题可知：双曲线的焦点在X轴上，旦a=6,b=6,

所以/=a?+〃nc=石

所以双曲线的焦点坐标为(±«,0)

故选：D

2.抛物线V=-2x的准线方程为()

A.x=-lB.x=lC.X=—D.x=一

22

【正确答案】D

【分析】由抛物线的标准方程分析可得其焦点位置以及〃的值，计算可得答案.

【详解】根据题意，抛物线的标准方程为V=-2x,

则其焦点在X轴负半轴上，且p=l,

则其准线方程为X=

故选：D.

本题考查抛物线的几何性质，关键是掌握抛物线标准方程的形式.

3.等轴双曲线的一个焦点是6(-6,0),则其标准方程为()

A.≤-21=lB.£_《=1C.亡-《=1D.片-2=1

999918181818

【正确答案】D

【分析】根据等轴双曲线，可得a=b,根据交点坐标，可求得c值，根据α,b,C的关系,

即可得答案.

【详解】•・•等轴双曲线的一个焦点为爪-6,0),・・・c=6,且〃=b,

222

Xc=a+b9

,2/=36,即/=18,

双曲线的标准方程为X-W=I.

1818

故选：D

4.已知抛物线d=2py(p>0)上一点M(W,1)到焦点的距离为∣∙,则其焦点坐标为()

ʌ-(K)B.加C.加D.[θɪ)

【正确答案】A

【分析】由抛物线的定义可求P的值，进而可求焦点坐标.

【详解】解：抛物线父=2Py(P>0)上一点M(m,l)到焦点的距离为5,

由抛物线的定义知加+号=|,BP1+-∣=∣,所以P=I,所以勺；，

二抛物线的焦点坐标为(0，；)，

故选：A.

5.若点P(l,2)在双曲线t-y2=l(α>0)的一条渐近线上，则它的离心率为()

A.9B.2C.√5D.2√5

【正确答案】C

【分析】将点P的坐标代入双曲线的渐近线方程，求出。的值，可得出C的值，由此可求得

双曲线的离心率.

【详解】双曲线W-V=I的渐近线方程y=±2,

Cra

丫211

因为点P(l,2)在双曲线*-9=1的一条渐近线上，所以2=：,所以〃=贝IJ

c=∖ja2÷1=—ɪ，

2

=

因此，该双曲线的离心率为e

故选：C.

6.下列四个数中，属于数列｛〃5+1)｝中的一项是()

A.380B.392C.321D.232

【正确答案】A

【分析】分别令选项中的数值等于"(〃+l)，求出”是自然数时的这一项，即可得到答案.

【详解】由题意，令"("+1)=380,解得〃=19,所以A是正确的；

再令〃5+1)=392,〃(〃+1)=321,〃(〃+1)=232均无整数解，所以B、C、D都不正确，

故选：A.

7.已知等比数列｛%｝,满足1幅4+1呜43=1，且%W%=16,则数列｛4｝的公比为()

A.2B.ɪC.±2D.±-

22

【正确答案】B

【分析】利用对数运算性质可得%%=2且生，%>°，从而4>0,由等比数列性质有

a2a∖i=a6t29=2>所以”5"8=8,绍1=d即可求公比.

【详解】令｛%｝公比为q,

由log202+log2αl3=log2(¾α13)=l=Iog22,

故4%=2且。,%>°，

所以加=々,'>°，贝∣Jq>o,

χa2al3=a6a9=2,a5a6atag=16,则%％=8,

所以”=心心4；，

综上，√=∣.

故选：B.

8.已知正项等差数歹£%｝的前八项和为S,,("eN*),若《一%-%=3,贝!∣S∣5-%的值为()

A.3B.14C.28D.42

【正确答案】D

【分析】根据等差数列的性质得为+%=24,则可由已知等式求％的值，从而利用求和公

式和等差数列性质求几-%得值.

【详解】解：正项等差数列{%},则。“>0

若《-%-〃9=3,则履=%+。9+3=24+3,解得/=3或％=-1（舍）

贝IJS∣5-4=-⅞=-α8=14α8=42.

故选：D.

9.九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在

中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环

的名句“纵妙手、能解连环九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要

移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次，记¾（3≡∣h9,"∈N"）为解下〃个

圆环需要移动圆环的最少次数，且q=O-+2"',则解下8个圆环所需要移动圆环的最少

次数为（）

987654321

A.30B.90C.170D.341

【正确答案】C

【分析】根据4=4一2+2"T,逐个代入〃=2,〃=4,〃=6,〃=8,即可求解.

7533

【详解】由题，⅞=⅜+2,α6=a4+2,α4=a2+2=2+2,所以＜⅛=2+23+2$+2,=170.

故选∙C

二、填空题

ɪo.设耳为双曲线c：兰-亡=1的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且IMl=4,则

94

I明=.

【正确答案】10

【分析】由双曲线标准方程找出。力的值，在利用双曲线的定义求解即可.

【详解】由双曲线的标准方程知：a=3,b=2,

P为双曲线C上一点，且IP周=4,

所以由双曲线的定义得：归月HP用|=2。=6,

即∣4TP司=6,

所以IP图=10或归用=-2(舍去)，

故10.

11.已知数列｛4｝满足24,,=α,,τ+α,,+∣("≥2,"∈N*),4+α4+%=12,q+α3+α5=9,则/+a5

等于—.

【正确答案】7

【分析】由2an=+an+l(”22,〃eN*),

变形4,-∕τ=¾÷,-¾得出数列｛«„｝为等差数列，

再结合等差数列的性质求解即可.

【详解】因为2”“=a,-+¾+l(〃≥2,〃eN"),

所以%-%τ=∕+∣-”.,

所以数列｛%｝为等差数列，

a

由4+4+4=12,al+a3+a5=9

所以〃2+/+4+4+6+%=21,

即(6+里)+(4+4)+(4+4)=21,

由等差数列的性质有：a2+a5=a4+a3=ab+al,

所以%+as=7.

故7.

12.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且4,M=2S,,+l(〃eN*),则%=.

【正确答案】81

IS1,H=1(X

【分析】根据4,=｛cc、c，求得数列｛4〃｝的公比，再求出4=1，即可求解.

【详解】等比数列｛端的前"项和为S,,,且α,m=2S,,+l(〃eN"),

当〃22时，¾=25,

.∙,an+l-al,=2a,,,Λα,,+l=3a,,,故等比数列｛”,,｝的公比为3.

令〃=1,可得生=2。|+1,；.q=l,则氏=。|/=81.

故81.

13.已知数列｛叫满足α∣=l,α,,+∣="z,+3"("∈N"),则｛a,,｝的通项公式q=.

【正确答案】」V-I

2

【分析】由题意得出。,田-4=3",利用累加法可求出

π

【详解】数列｛6｝满足q=l,all+l=an+y,n∈N∖Λα,,tl-an=3,

1_邛TXq0«_1

π1

因此，=q+(4—q)+(q—4)+÷(¾-¾-1)=ι÷3÷3~+÷3=------------=-------.

1—32

邛-1

故答案为

2

14.已知抛物线C：V=2px(p>0)与圆0:/+/=5交于A,8两点，且IABI=4,直线/过C

的焦点F,且与C交于M,N两点，给出下列命题：

①若直线/的斜率为孝，则IMM=8；

②|炳+2的最小值为3+2&;

③若以“尸为直径的圆与y轴的公共点为，,乎)，则点M的横坐标为∣∙；

④若点G(2,2),则AGBW周长的最小值为4+逐.

其中真命题的序号为(把所有正确命题的序号都填在横线上).

【正确答案】②③④

【分析】首先求出抛物线的解析式，设出M,N的坐标，联立进行求解，当m=6时，|〃凶=16

进而判断①错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断②；画出大致图像，过点M作

准线的垂线，垂足为M',交)轴于M∣,结合抛物线的定义判断③；过G作G”垂直于准线,

垂足为H，利用抛物线的性质判断④即可.

【详解】由圆和抛物线的对称性可知点(1,2)在抛物线C:V=2px上，

所以22=2/7解得p=2,所以C:y2=4x,F(1,O),

设直线/：X=冲+1,于V=4x联立得y2-4my-4=0,

4

设Λ∕(x1,χ),N(X2,%),所以y+%=4加，y↑y2=->

222,2

所以IMNl=∖j∖+m∣yl-y2∣=∖J∖+m∙y∣(^y∖+y2)-4>∣y2=4(l+∕n),

当机=6时，IMM=I6,①错误；

2

I1_11xx+x2+2_加(％+%)+4_4m+4

∖MF∖∣2VF∣X+1X+1xx+x+x+1(y,y)2/4〃尸I4•

12l2t22+%)+3

则所∣+2∣W=(Ml+2∣W)I备+血卜3+鬻+耨*3+20'

当且仅当IMFl=I+√L∣NF∣=1+等时等号成立，②正确；

如图，过M作准线的垂线，垂足为AT,交y轴于M-

取M尸中点为。，过。作y轴的垂线，垂足为R,

则MM1//OF,DD1为梯形。用m明的中位线，

由抛物线的定义可得［TMM'∣=∣MF∣T,

所以防=叫㈣=当13等,

所以以M尸为直径的圆与y轴相切,

所以点[,当)为圆与y轴的切点，所以。点的纵坐标为当，

又。为ME中点，所以M点纵坐标为遥，

又点M在抛物线上，所以M点横坐标为不，③正确；

过过G作G”垂直于准线，垂足为”，

所以4GFM的周长为∣Λ∕G∣+∣MF∣+∣GF∣=∣Λ√G∣+∣MΛ∕,∣+√5>∣G∕7∣+√5=3+√5,

当且仅当点M的坐标为(1,2)时取等号，④正确；

故②③④

三、双空题

15.设等差数列｛4｝满足4=1,α,,>0(π∈N*),其前"项和为S"，若数列｛底卜也为等差

S

数列，则氏=；W的最大值是.

【正确答案】2n-l121

【分析】设等差数列｛α,,｝的公差为d，则2病=疯+店，可得2√Σ*Z=1+万万，解得

d,再利用等差数列的通项公式、求和公式可得/，Snt10,进而得出.

【详解】设等差数列伍”｝的公差为"，则2厄=疯+店，

；・2λ∕2+d=l+√3+3d，解得d=2,

/.an=2π-l

2

ξ,+∣0=(w+10)×l+Qf〃+9)>2=5+10)2,crn=(2∕ι-1).

IC1-21

小。一伽+1。)2]5(2”-1)+5_121

a„2(2∕ι-I)2(2n-l)42n-∖

ɔ1S]ɔ1

令f=fr>O,则芳=W(l+')2,在f>0时单调递增，f=总单调递减，

2n-∖4?42n-∖

S

所以，当”=1时该式最大，此时谓的为121.

故2刀一1；121.

四、解答题

16.已知双曲线的方程为4/_y2=4,写出它的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与

渐近线方程.

【正确答案】顶点坐标(-1,0)和(1,0),焦点坐标卜石,0)和(石,0),实半轴长为1,虚半轴

长为2,渐近线方程为y=±2χ

【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质.

【详解】双曲线的方程为4x2-/=4化为标准方程/一£=1

4

则a=1,b=2,c=>/5

所以双曲线的顶点坐标为(-1,0)和(1,0),焦点坐标为(-括,0)和(石,0),

实半轴长为1,虚半轴长为2,渐近线方程为y=±2x

22

17.已知椭圆C:0+2=l(α>6>0)的左右焦点分别是「人，左右顶点分别是A8∙

ab

⑴若椭圆C上的点M[1,∣)到耳,巴两点的距离之和等于4,求此椭圆C的方程；

(2)若P是椭圆C上异于AB的任一点，记直线R4与P8的斜率分别为&卜&，且匕&=-；,

试求椭圆C的离心率.

2

【正确答案】(1)三+y=

4τ

夜

一

(2)椭圆C的离心率为2

【分析】(1)根据椭圆的定义先确定”的值，再将点M坐标代入方程得即可得到椭圆

的标准方程；

(2)设点尸坐标为(%,%),化简得为2=4(∕-χ2),得到卫=L从而求出离心率.

aa2

【详解】(1)解：椭圆C上的点M(Ll)到RK两点的距离之和等于4,所以勿=4nα=2,

将点坐标代入方程工+4=1，得从=3,

I2)4b2

所以所求方程为工+二=1;

43

2212

(2)解：设点尸坐标为(％,%),则与+与=1,所以为2=勺(/-2),

a~b~a

又A(-a,O)、B(a,0),

22

•••M=>ob,

22ɔ2

XQ+ax0-aXo-ax0-a

又k∖K=-g所以9=g,即α=J⅛,又/=∕72+C2,所以

所以椭圆的离心率e=∖含=孝

18.已知数列｛4｝是公差不为O的等差数列，数列｛"｝是公比为2的等比数列，%是4,

的等比中项，/一。3=3,4=2%.

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式;

⑵求数列加也｝的前〃项和5”

【正确答案】⑴也=2"

⑵S“=(2〃-3)2"”+6

【分析】(1)根据的是4，%的等比中项，且以一%=3,仇=2q,由

2

(αl+d)=«,∙(a∣+4√),8al-(α∣+2d)=3求解;

(2)由⑴得到“√*(2〃-1)∙2",再利用错位相减法求解.

【详解】(1)解：因为4是4，%的等比中项，且4-a3=3,4=2q,

2

所以(q+d)=al(a∣+4√),80l-(«,+2<∕)=3,

解得a∣=l,d=2,4=2,

所以勺=2〃-1也=2"；

(2)由⑴得.也=(2〃—1>2",

所以5“=卜2+3-22+5"+...+(2〃-1>2”,

则2S“=1∙22+3∙23+5∙24+...+(2∕7-1)∙2,,+I,

两式相减得-S,,=2+2(22+23+...+2")-(2〃-l>2"“，

^22(1-2,-I')^

=2+2∖2'-(2n-l)∙2"+l,

=(3-2Λ)2,,+1-6,

所以S,=(2，L3)2"”+6.

19.已知PR,平]是椭圆C：5+[=1(»6>0)与抛物线E：V=2阳〃>0)的一个公

共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F.

(1)求椭圆C及抛物线E的方程；

(2)A,B是椭圆C上的两个不同点，若直线。4,OB的斜率之积为(注：。为坐标原点),

4

IBMl

点M是线段OA的中点，连接8M并延长交椭圆C于点N,求扁的值.

【正确答案】⑴目+片=1；y2=4x

43

⑵2

3

【分析】(1)结合已知条件求出抛物线方程，并求其焦点，然后可得/一加=1,再将点P代

入椭圆方程即可求解；⑵设Ha,χ),3(X2,%),N(X5,%),⅛=^U>0),然后利用

向量用A和B点坐标表示出N点坐标，并将N点代入椭圆方程并化简整理，再结合。4,OB

3

斜率之积为-:即可求解.

4

(2O店)

【详解】(1)・・・。卜，十1是抛物线E：y=2px(p>0)上一点，

・・・〃=2,即抛物线E的方程为V=4无，焦点尸(1,0),

；・a2-b1=1,

又TP在椭圆。：=+方=1上，∙∙∙∑A^+2=1，

133JCrb29〃Z3⅛-

结合a?一〃=1矢口从=3,/=4,

椭圆C的方程为E+X=1,抛物线E的方程为丁=4x.

43

(2)设Aa,y),8(Λ⅛,M),N(J⅛,%),j⅛=Λ(Λ>0),

Y点Λ/是线段的中点，.∙.M仔看)

-丫?)，

B例=住f>必)，BN=(X3-X24BN=λBM，

(》3一工2，％_>2)='(5_々，/_必)，

⅞=∣^+(ι-^)⅞

<

%=9+(1-2)为

.乙

；点N(w,%)在椭圆C上，

P-∣2「-∣2

.・.(玉+O-，)∙r2(x+(ι-

•∙ɪ=-------------------=L÷ɪ=--------------------=1

43

••・¥亨+宇+(1“苧+字+"i)段+竽