第16讲 分式方程八年级数学下册同步讲义（北师大版）

第16讲分式方程

0目标导航

1.理解分式方程的概念，会解一些简单的分式方程；

2.通过将简单的分式方程转化为整式方程进行求解，领会分式方程“整体化”的化归思想和方法;

3.理解增根的概念，会检验分式方程的根；

4.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用.

然.知识精讲

知识点Ol分式方程的定义

分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数.

【知识拓展】（2021秋•平罗县期末）下列方程中，不是分式方程的是（）

c

∙等理0-W-

【即学即练】（2021秋•西峰区期末）下列关于X的方程是分式方程的是（）

知识点02分式方程的解

求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解.

注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生

增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

【知识拓展】（2022春•北硝区校级月考）若实数”使关于X的分式方程主曳立红=：L有正整数解，且使关

χ-33-χ

'y+ι.y1

于y的一元一次不等式组｛5^2,至少有4个整数解，则符合条件的所有整数“之和为（）

y+a<6y+3

X-I（1+x

【即学即练】（2022春•沙坪坝区校级月考•）若关于X的不等式组I亍2一有且只有四个整数解，且关

7χ-2≥x+a

于3的分式方程+匕11口的解为非负整数,则所有满足条件的整数。的值的和是（）

A.2B.0C.1D.-1

知识点03解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验：

①将整式方程的解代入最筒公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

【知识拓展】（2022•德城区校级开学）方程^一ɪ一：-一"=i的解为（）

（x+l）（χ-l）X-I

A.2B.-4或1C.-4D.无解

3

【即学即练1］（（2022•江汉区模拟）方程X=1的解为.

2χ-2χ-l

【即学即练2】（（2021秋•利通区校级期末）若分式」—与_2—值相等，则X的值为.

2x÷lχ-4

知识点04换元法解分式方程

1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对

象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.

2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简

化问题，当然有时候要通过变形才能发现.

【知识拓展】（2021春•淮安月考）用换元法解分式方程=8,若设/+2x=y,则原方程

可化为（）

A.20『+8y-1=0B.y2-Sy-20=0

C.y2+8y-20=0D.8√-20y+l=0

【即学即练】（2021春•宝山区校级月考）用换元法解方程χ2.+χj=4时，设=x+工，则原方程可变

χ2XX

形为（）

A.y2+y-4B.yλ+y-2C.y2+y=6D.y2-y—4

知识点05分式方程的增根

（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或

是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根.

（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未

知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式

方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是

原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.

（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最筒公分母是否为0,如果

为0,则是增根；如果不是0,则是原分式方程的根.

【知识拓展】（2021秋•开福区校级期末）若关于X的分式方程X-+X=1有增根,则加的值是（）

4-X2x-2

A."7=2或m=6B.m=2C.m=6D.相=2或m=一6

【即学即练】（2021秋•德江县期末）关于X的方程2x7=私+1有增根,则〃?的值是（）

χ-2χ-2

A.0B.2或3C.2D.3

知识点06由实际问题抽象出分式方程

由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系.

（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追

击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等.

（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路.

【知识拓展】（2022•罗山县校级模拟）郑州市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检

测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数

比原计划增加50人，结果提前2小时完成检测任务.假设原计划每小时检测X人，则依题意，可列方程为

（）

ʌ30003000b30003000

X+X+50XX+50

C.≡-+50=≡D.≡--50=≡

x+2Xx+2X

【即学即练】（2021秋•和硕县校级期末）在新农村建设中，为了美化乡村，八年级同学积极参加植树造林,

已知八（1）班每天比八（2）班每天多植5棵树，八（1）班植80棵树所用的天数与八（2）班植70棵

树所用的天数相等，若设八（1）班每天植X棵，根据题意列出的方程是（）

ʌ8070R8070c8070D8070

χ-5XXX+5X+5XXχ-5

知识点07分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答.

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位

等.

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时

间等等.

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力.

【知识拓展】（2022•麻栗坡县校级模拟）根据云南省《关于加快推进城镇老旧小区改造工作的指导意见》，

在2021年底要基本完成云南全省城镇老旧小区改造提升工作.某小区计划对面积为1200"P的区域进行停

车位改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面

积的2倍，如果两队各自独立完成面积为400层区域的改造时，甲队比乙队少用4天.求甲、乙两工程队

每天各能完成多少面积的停车位改造？

【即学即练1]（2021秋•利通区校级期末）“阅读陪伴成长，书香润泽人生，”吴忠市第四中学为了开展学

生阅读活动，计划从书店购进若干本4、8两类图书（每本4类图书的价格相同，每本B类图书的价格

也相同），且每本A类图书的价格比每本B类图书的价格多5元，用1200元购进的A类图书与用900元

购进的B类图书册数相同，求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？

【即学即练2]（2021秋•绵阳期末）精强硅谷，有众多高科技产业，红旗电子科技公司是通讯设备、电源

设备及消费类电子产品生产厂商，提供各类高分子材料、热传导材料、绝缘材料、缓冲及防尘材料.该

公司今年承包了一手机品牌某一热传导材料零部件的生产任务，原计划在规定时间内生产24000个热传

导材料零部件，由于此零件紧缺，需要提前5天供货，该公司经商议后，决定将工作效率比原计划提高

25%,结果按预期刚好提前5天完成任务，求原计划每天生产的零件个数和规定的天数.

U能力拓展

选择题（共3小题）

I.（2021•大渡口区自主招生）如果关于X的分式方程2+空1=1有非负整数解，关于›■的不等式组

χ-22-χ

J有且只有三个整数解，则所有符合条件的整数，”的个数为（）

I5（y-l）<y-（m+3）

A.0B.1C.2D.3

/

2.（2020•渝北区自主招生）若。为整数，关于X的不等式组，A*2*有且只有两个整数解，且关于y的

4χ-a<0

分式方程包--A-=ι有整数解，则满足上述条件的整数Q的和为（）

y-22-y

A.-1B.-3C.-5D.-6

3.（2020•武昌区校级自主招生）若关于X的方程上+三2+军F=。只有一个实数根,则实数”的

x-2X2x（χ-2）

所有可能取值的和为（）

A.7B.15

C.31D.以上选项均不对

二.填空题（共4小题）

4.（2021•黄州区校级自主招生）黄冈首届半程马拉松于5月6日在遗爱湖公园起跑，小林与小雨两名同学

为参加比赛，在学校运动场400米环形跑道上进行训练，两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，己

知每隔12分钟小林追上小雨一次，小林每圈花费的时间比小雨少10秒，则小林跑步的速度为每秒

米.

5.（2019•顺庆区校级自主招生）已知X满足一ɜ一-7-2x=l,那么/+2x=______.

X2+2X-1

6.（2020•巴南区自主招生）若关于X的分式方程。-%±=4有正整数解，且关于y的不等式组

χ-22-χ

（l-3（y-7）≥-2

a+y∕有解，则所有符合条件的整数〃的值的积是______.

lw^Yy-3

4_2,

7.（2019•达州自主招生）B^Ia2-6α+l=0⅛a^maj11=2,则W=______.

2a3+ma2+2a

三.解答题（共5小题）

8.（2020•宝山区校级自主招生）解关于X的方程α（X-I）+Q1+3=O.

x+1

9.（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩,

且两种口罩的只数相同.其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元.已知购进

一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元.

（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？

（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医

用外科口罩多少只？

10∙（2020∙浙江自主招生）已知关于X的方程组=至恰好有一个实数解，求k的值及方程的

x-1X-XX

解.

11.（2020•渝中区校级自主招生）2020年2月，因新冠肺炎确诊病例不断增加，湖北某医疗救治中心计划

购买一批无创呼吸机和双向呼吸机，两款共200台，预算分别为56万元和156万元.已知每台双向呼吸

机的售价是每台无创呼吸机售价的2倍少1000元.

（1）求该救治中心计划分别购进无创呼吸机和双向呼吸机各多少台？

（2）为了表达对湖北疫区人民支持，呼吸机生产厂家立即对两款呼吸机均进行打折零利润销售，实际售

价均在原售价的基础上下降了4%,根据救治中心一线医护人员的实际需求，双向呼吸机的实际购买量比

原计划增加了工％,结果购买双向呼吸机比购买无创呼吸机多花费了90.4万元，求”的值.

12

12.（2020•谷城县校级自主招生）若关于X的方程2——。里IL只有一个解（相等的解也算作一个）,

x^lχ2-χX

试求k的值与方程的解.

M分层提分

题组A基础过关练

选择题（共5小题）

1.（2021秋•樊城区期末）随着电影《你好，李焕英》热映，其同名小说的销量也急剧上升.某书店分别用

400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多1倍，且第二次比第一次进价便宜4元，设书

店第一次购进X套，根据题意，下列方程正确的是（）

ʌ400600R600400

r∖.--------------=Λ=4

X2xX-2x

400600D,迎400

c=4

2xX2xX

2（'J2、0'J2ɪ1秋Izx•河JJ西F—1区L≤-LZ期yJ末/）/方J，［工程X-----一<的UJT解Trf/为J（')

χ-ll-χJ

A.1B.3C.4D.无解

3.（2021秋•惠州期末）把分式方程工=3转化成整式方程时，方程两边同乘（）

χ-2X

A.XB.X-2C.%（x-2）D.3x（X-2）

4.（2021秋•公安县期末）己知关于X的方程’——的解为正数，则A的取值范围为（）

χ-22-χ2

A.-2且Z≠-1B.左＞-2C.左＞0且Z≠lD.k＜-2

5.（2021秋•德江县期末）关于X的方程2x-l=m“有增根,则机的值是（）

x-2x-2

A.0B.2或3C.2D.3

二.填空题（共5小题）

6.（2021秋•孟村县期末）现有6000米的钢轨需要铺设，为确保通车时间，实际施工时每天铺设的长度是

原计划的2倍，结果提前15天完成任务.设原计划每天铺设钢轨X米.

（I）根据题意，可列分式方程为；

（2）实际施工时每天铺设钢轨的长度为米.

7.（2022∙仁寿县模拟）已知关于X的方程红旭=5的解不是正数，则小的取值范围为.

x+2

8.（2021秋•宜城市期末）若关于X的分式方程^^一^=3无解，则团的值为.

2χ-ll-2x

9.（2021秋•新田县期末）解关于X的分式方程上+1=」时不会产生增根,则m的取值范围是.

χ-lI-X

10.（2021秋•曲阳县期末）A、B两地相距135Ofon,两辆汽车从A开往B地，大汽车比小汽车晚到30〃访?,

已知小汽车与大汽车的速度之比为5：3,求两车的速度，设大汽车的速度为3Mm∕∕7,小汽车的速度为

5xkmlh,所列方程是.

Ξ.解答题（共2小题）

11.（2021秋•昌吉市校级期末）解方程：

⑴旦=_§_；⑵/I_y=L

X2χ-lχ-lχ2-l

12.（2022•淮北模拟）解分式方程：_1_+3=21.

χ-lI-X

题组B能力提升练

一.选择题（共5小题）

3χ-a42

1.（2022∙开州区模拟）若关于X的一元一次不等式组］、3工-2的解集为工〈一2,且关于y的分式方

程上匕一__1的解为负整数，则所有满足条件的整数。的值之和是（）

y+1y+1

A.-15B.-13C.-7D.-5

2.（2021秋•钢城区期末）若关于X的分式方程2=3有正数解,则机的取值范围为（）

x+mX+3

A.m<2B."C.-3<m<-2D.m<2且"i#-3

3.（2021秋•平舆县期末）若关于X的方程上亘=。无解，则。的值为（）

x+1

A.1B.-1C.OD.±1

-5-χ≤--（χ-a）

4.（2022•北陪区校级开学）若关于X的一元一次不等式组V的解集恰好有3个负整数解,

誓>2x+l

且关于y的分式方程空亘一红Z=I有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为（）

y-11-y

A.6B.9C.-1D.2

5.（2021秋•晋安区期末）若关于X的分式方程」——匕无解，则k的值为（）

2

X-4X+2x-2

A.1或4或-6B.1或-4或6C.-4或6D.4或-6

二.填空题（共2小题）

6.（2022•任城区一模）关于X的分式方程立3+1举卫的解是正数，则”的取值范围是.

x-22-x

7.（2021秋•绵阳期末）若关于X的方程二——g-=2（a-l）的解为整数,则满足条件的所有整数。的和

x+1x-3χ2-2χ-3

等于.

三.解答题（共8小题）

8.（2021秋•江源区期末）学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下：

15.3分式方程

甲乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队

每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度？

聪聪：400=600

Xx+20

明明：θθθ-.⅛θ,θ,^20

yy

根据以上信息，解答下列问题：

（1）选择：聪聪同学所列方程中的X表示,明明同学所列方程中的y表示；

A.甲队每天修路的长度；

B.乙队每天修路的长度；

C.甲队修路400米所用的时间.

（2）你喜欢列的方程，该方程的等量关系为;

（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题.

9.（2021秋•濮阳期末）为了做好防疫工作,保障员工安全健康,某公司用480元购进一批某种型号的口罩.由

于质量较好，公司又用720元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且

每包便宜4元，问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩?

10.（2021秋•密山市期末）（1）已知X（X-I）-（x2-y）=-6,求W-?—-Xy的值.

（2）虎林市政府倡导开展“共建绿色家园”，八年级甲、乙两个班的同学参加植树活动，已知乙班每小

时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时

各种多少棵树？（用方程解答）

11.（2021秋•青县期末）为响应“足球进校园”的号召，某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买

甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购类乙种足球数量的2倍,

且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.

（1）求这间商场出售每个甲种足球、每个乙种足球的售价各是多少元；

（2）按照实际需要每个班须配备甲种足球2个，乙种足球1个，购买足球能够配备多少个班级？

（3）若另一学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，且甲种足球与乙种足球的个数比为

2：3,求这学校购买这两种足球各多少个？

12.（2021秋•老河口市期末）某商家预测一种商品能畅销市场，就用4000元购进一批这种商品，这种商品

面市后果然供不应求，商家又用8800元购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进数量的2倍，但

单价贵了4元.该商家购进的两批商品的数量分别是多少件？

13.（2021秋•深口区期末）某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种玩具110个，购买A玩具与

购买B玩具的费用相同.已知A玩具的单价是8玩具单价的1.2倍.

（1）求A、8两种玩具的单价各是多少？

（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进4、8两种玩具共260个，已知A、B两种玩具的进价不变.求

A种玩具最多能购进多少个？

14.（2021秋•普兰店区期末）一项工程需要限期完成，若用甲工程队单独做正好如期完成，若用乙工程队

单独做，需要逾期3天才能完成（比期限多3天）.现在甲、乙两工程队合做2天，余下由乙工程队单独

做，刚好如期完成，求甲、乙两工程队单独完成工程各需要多少天？

15.（2021秋•民权县期末）某商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进

价每件少4元，其用200元购进甲种牛奶的数量与用220元购进乙种牛奶的数量相同.

（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？

（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的2倍少4件，该商场甲种牛奶的销售价格为每件45元,

乙种牛奶的销售价格为每件50元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售

价-进价）等于364元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各多少件？

题组C培优拔尖练

一.选择题（共I小题）

m-5x≥2

1.（2021春•福田区校级期中）如果关于X的不等式组JIlL,1、有且仅有四个整数解，且关于y

x∙^-<∙3（χ∙（y）

的分式方程zɪ一旦=1有非负数解，则符合条件的所有整数机的和是（）

2-yy-2

A.13B.15C.20D.22

二.填空题（共2小题）

2.（2022春•渝中区校级月考）某校在“3.12”植树节来临之际，特从初一、初二、高一、高二四个年级中

抽调若干学生去植树.已知初一、初二抽调的人数之比为5：3,高一、高二抽调的人数之比为4：3.上

午，初一、高一年级平均每人植树的棵树相同且大于3棵小于10棵，高二年级平均每人植树的棵树为初

一、初二平均每人植树的棵树之和的2倍，上午四个年级平均每人植树的棵树总和大于30棵小于40棵，

上午四个年级一共植树714棵.下午，初二年级因为要回校参加活动不再参与植树活动，高一、高二年

级平均每人植树的棵树都有所降低，高一年级平均每人植树的棵树降低50%,高二年级平均每人植树的

棵树降为原来的冬.若初一年级人数及人均植树的棵树不变，高一高二年级人数不变，且四个年级平均

5

每人植树的棵树为整数，则四个年级全天一共植树棵.

3.（2020秋•滨州月考）若一限一.=，-+，_+—1-+_8.一+一电.一+^g_,则a的值是.

I-X32I-X1+xl+x2l+x4l+x8l+x16

三.解答题（共10小题）

4.（2021秋•望城区期末）已知，关于X的分式方程一一一互=L

2x+3χ-5

（1）当。=2,匕=1时，求分式方程的解；

（2）当α=l时，求b为何值时分式方程——^=1无解；

2x+3χ-5

（3）若α=34且0、人为正整数，当分式方程———=1的解为整数时，求6的值.

2x+3χ-5

5.（2021秋•临河区期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的

进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同.

（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？

（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超

过95个，则商场最多购进乙商品多少个？

（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种

商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过3