新教材高中数学人教B版学案7-2-2单位圆与三角函数线

7．2.2单位圆与三角函数线[课程目标]1.理解单位圆、有向线段的概念．2．学会用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．3．通过三角函数的几何表示，进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间．[填一填]1．单位圆一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆．2．正弦线、余弦线如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则eq\o(OM,\s\up16(→))可以直观地表示cosα：eq\o(OM,\s\up16(→))的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα＝|eq\o(OM,\s\up16(→))|；eq\o(OM,\s\up16(→))的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα＝－|eq\o(OM,\s\up16(→))|.习惯上，称eq\o(OM,\s\up16(→))为角α的余弦线．类似地，图中的eq\o(MP,\s\up16(→))可以直观地表示sinα，因此称eq\o(MP,\s\up16(→))为角α的正弦线．3．正切线如图所示，设角α的终边与直线x＝1交于点T，则eq\o(AT,\s\up16(→))可以直观地表示tanα，因此eq\o(AT,\s\up16(→))称为角α的正弦线．正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．[答一答]1．对于三角函数线的理解应注意哪些问题？提示：(1)三角函数线是表示一个角的三角函数值的几何方法，是对任意角的三角函数定义的一种“形”上的补充，它们的大小(即长度)等于角α的三角函数的绝对值，要特别注意它们均有方向．记法：当两个端点都在x轴上时，以原点为起点(余弦线)；当两个端点有一个在x轴上时，以x轴上的点为起点(正弦线、正切线)，三角函数值的正负与轴的方向才相同．(2)正切线都是过点A(1,0)作圆的切线与角α终边或反向延长线相交所成的有向线段．当角α终边在第一、四象限时，正切线为过A(1,0)作单位圆的切线与角α终边所成的有向线段；当角α终边在第二、三象限时，正切线为过点A(1,0)作圆的切线与角α终边的反向延长线的交点所成的有向线段．(3)当角α的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线|eq\o(OM,\s\up16(→))|＝1或－1；当角α的终边在y轴上时，正弦线|eq\o(MP,\s\up16(→))|＝1或－1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在．2．怎样由三角函数值(范围)，利用单位圆中三角函数线确定终边相同的角(范围)?提示：(1)已知正弦值sinα＝a，因为正弦线是与y轴平行或重合的向量eq\o(MP,\s\up16(→))，所以确定的方法是：①在y轴上找出与正弦值对应的一点(0，a)(若正弦值为正，在y轴正半轴上取点，若为负，在y轴负半轴上取点)；②过该点作x轴的平行线交单位圆于两点A，B；③分别作射线OA，OB，则OA，OB就是使sinα＝a的角的终边．若sinα≥a，则平行线上方一段圆弧所对应角的范围为所求，若sinα<a，则平行线下方一段圆弧所对应角的范围为所求(但不包括角的边界)，简述为大上，小下．(2)已知余弦值cosα＝a，因为余弦线是与x轴重合的向量eq\o(OM,\s\up16(→))，所以确定的方法是：①在x轴上找出与余弦值对应的一点(a,0)(若余弦值为正，在x轴正半轴上取点，若为负，在x轴负半轴上取点)；②过该点作y轴的平行线交单位圆于两点A，B；③分别作射线OA，OB，则OA，OB就是使cosα＝a的角的终边．若cosα≥a，则该平行线右侧一段圆弧对应角的范围为所求，若cosα<a，则平行线左侧一段圆弧对应角的范围为所求，简述为大右，小左．(3)已知正切值tanα＝a，过A(1,0)点作单位圆的切线，在切线上截取AT＝a，过O，T作直线交单位圆于两点A，B，则射线OA，OB为所求的使tanα＝a的角α的终边，对于tanα>a(或tanα≤a)型的不等式，用以后所学习的正切函数图像解决比较方便．类型一三角函数线[例1]分别作出eq\f(2π,3)和－eq\f(3π,4)的正弦线、余弦线和正切线．[解](1)在直角坐标系中作单位圆如图所示，以Ox轴正方向为始边作eq\f(2π,3)的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sineq\f(2π,3)＝MP，coseq\f(2π,3)＝OM，taneq\f(2π,3)＝AT.即eq\f(2π,3)的正弦线为eq\o(MP,\s\up16(→))，余弦线为eq\o(OM,\s\up16(→))，正切线为eq\o(AT,\s\up16(→)).(2)同理可作出－eq\f(3π,4)的正弦线、余弦线和正切线，如图所示．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝M′P′，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝OM′，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝AT′.即－eq\f(3π,4)的正弦线为eq\o(M′P′,\s\up16(→))，余弦线为eq\o(OM′,\s\up16(→))，正切线为eq\o(AT′,\s\up16(→)).三角函数线是有向线段，因此书写时应分清起点和终点，这对于下一步学习三角函数性质很有用处.[变式训练1]确定下式的符号：sin1－cos1.解：因为eq\f(π,4)<1<eq\f(π,2)，如图所示，由三角函数线可得sin1>eq\f(\r(2),2)>cos1，故sin1－cos1>0.类型二利用三角函数线求三角函数值或角的范围命题视角1：利用三角函数线求三角函数值的范围[例2](1)若－eq\f(2π,3)≤θ≤eq\f(π,6)，确定sinθ的范围；(2)若30°≤θ<90°或90°<θ≤120°，确定tanθ的范围．[分析](1)先在单位圆中画出角θ的终边对应的区域－eq\f(2π,3)≤θ≤eq\f(π,6)，借助正弦线确定函数值的变化范围．(2)先在单位圆中画出角θ的终边对应的区域30°≤θ<90°或90°<θ≤120°，借助正切线确定函数值的变化范围．[解](1)∵－eq\f(2π,3)≤θ≤eq\f(π,6)，∴θ的终边对应区域如图，在由OB转向OA过程中sinθ的值在第三象限为负，在第四象限为负，在θ＝－eq\f(π,2)时，正弦线|MB|＝R，故最小值为－1；在第一象限时，正弦线取正值且不断增大，故在θ＝eq\f(π,6)时取最大值eq\f(1,2).∴－1≤sinθ≤eq\f(1,2).(2)画出角θ的终边对应区域，如图，当角θ的终边从OA转向OB时，tanθ在第一象限取正值，正切线越来越长到无穷，∴tanθ≥eq\f(\r(3),3)；tanθ在第二象限取负值时，由90°→120°的过程中，正切线越来越短，到OB时，tanθ＝MN＝－eq\r(3)，∴tanθ≤－eq\r(3)，∴tanθ∈(－∞，－eq\r(3)]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)).充分利用单位圆画出已知角的范围，结合正弦线、余弦线、正切线正确解题，应特别注意正弦线、余弦线、正切线的位置、方向、符号.正弦线为α的终边与单位圆“交点”到x轴的垂直线段，由“垂足”指向“交点”，与y轴同向为正、反向为负；余弦线在x轴上，由“原点”指向“垂足”，与x轴同向为正，反向为负；正切线在过单位圆与x轴正向的交点的切线上，由“切点”指向与α终边或反向延长线的交点，与y轴同向为正，反向为负.[变式训练2]已知eq\f(π,3)<α<eq\f(4π,3)，则cosα的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).解析：角α的终边对应区域如图中阴影部分，角α终边在从OA转向OB过程中，其余弦线OM越来越短，然后变成负值，在α＝π时取最小值－1，然后又增大，由于coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，∴－1≤cosα<eq\f(1,2).命题视角2：利用三角函数线求角的范围[例3]利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：(1)sinα＝eq\f(1,2)；(2)cosα≥eq\f(\r(3),2).[分析](1)在单位圆中画出sinα＝eq\f(1,2)的正弦线，确定在0～2π内符合要求的角，而后根据终边相同的角得出答案；(2)先确定cosα＝eq\f(\r(3),2)的余弦线，再确定符合条件的角的范围．[解](1)如图①所示，过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))作x轴的平行线，与单位圆交于P、P′点，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝eq\f(1,2)，所以∠xOP＝eq\f(π,6)，∠xOP′＝eq\f(5π,6).所以满足条件的所有角α的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,6)＋2kπ或α＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)).(2)如图②所示，过点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))作x轴的垂线，与单位圆交于点P、P′，则cos∠xOP＝cos∠xOP′＝eq\f(\r(3),2)，所以∠xOP＝eq\f(π,6)，∠xOP′＝－eq\f(π,6).所以满足条件的所有角α的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|－\f(π,6)＋2kπ≤α≤\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)).表示角的集合时要注意终边相同的角的表示方法，明确角的旋转方向是顺时针还是逆时针，产生的角是变大还是变小.[变式训练3]在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).解：(1)作直线y＝eq\f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围，如图①.故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).(2)作直线x＝－eq\f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α终边的范围，如图②.故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)))).类型三比较三角函数值的大小[例4]利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sineq\f(2,3)π与sineq\f(4,5)π；(2)taneq\f(2,3)π与taneq\f(4,5)π.[分析]在同一个单位圆中根据角的大小作出三角函数线，根据三角函数线来比较大小．[解]如图所示．(1)∵|eq\o(M1P1,\s\up16(→))|>|eq\o(M2P2,\s\up16(→))|且eq\o(M1P1,\s\up16(→))与eq\o(M2P2,\s\up16(→))都与y轴正方向一致，∴sineq\f(2,3)π>sineq\f(4,5)π.(2)∵|eq\o(AT1,\s\up16(→))|>|eq\o(AT2,\s\up16(→))|且eq\o(AT1,\s\up16(→))与eq\o(AT2,\s\up16(→))都与y轴正方向相反，∴taneq\f(2,3)π<taneq\f(4,5)π.利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：1角的位置要“对号入座”；2比较三角函数线的长度；3确定有向线段的正负.[变式训练4]sineq\f(2π,5)，coseq\f(6π,5)，taneq\f(2π,5)从小到大的顺序是coseq\f(6π,5)<sineq\f(2π,5)<taneq\f(2π,5).解析：由图可知coseq\f(6π,5)<0，taneq\f(2π,5)>0，sineq\f(2π,5)>0，∵|eq\o(NM,\s\up16(→))|<|eq\o(AT,\s\up16(→))|，故coseq\f(6π,5)<sineq\f(2π,5)<taneq\f(2π,5).类型四证明三角不等式[例5]设角α是锐角，利用单位圆与三角函数线证明：sinα<α<tanα.[证明]如图所示，设角α的终边交单位圆于P，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M.过点A(1,0)作单位圆的切线交OP于点T，连接PA，则sinα＝MP，tanα＝AT，∵S△OAP<S扇形OAP<S△OAT，∴eq\f(1,2)OA·MP<eq\f(1,2)αOA2<eq\f(1,2)OA·AT.又OA＝1，∴MP<α<AT，即MP<α<AT.∴sinα<α<tanα.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义.[变式训练5]利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1.证明：当角α的终边在x(y)轴上时，正弦线(余弦线)变成一个点，而余弦线(正弦线)的长等于r(r＝1)，此时|sinα|＋|cosα|＝1.当角α的终边落在某一个象限内时，如图所示，利用三角形两边之和大于第三边有：|sinα|＋|cosα|＝MP＋OM>1.综上有|sinα|＋|cosα|≥1.1．已知eq\o(MP,\s\up16(→))，eq\o(OM,\s\up16(→))，eq\o(AT,\s\up16(→))分别是60°角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有(B)A．MP<OM<AT B．OM<MP<ATC．AT<OM<MP D．OM<AT<MP解析：OM<MP<AT.2．已知角α的正弦线和余弦线是方向相