2024年新高考2卷数学解析几何专题2（直线与圆锥曲线的位置关系）（学生版）

专题二直线与圆锥曲线的位置关系核心知识必刷1、核心知识点串讲（1）直线与圆锥曲线位置关系的判定判定直线l与圆锥曲线C的位置关系时，一般是把直线l的方程代入圆锥曲线C的方程中，消去y(也可以消去x)，得到一个关于x的方程ax²+bx+c=0.①当a≠0时，ax²+bx+c=0是一个一元二次方程，若△=b²−4ac>0,，则直线l与圆锥曲线C有两个不同的交点，即相交；若△=b²−4ac=0,则直线l与圆锥曲线C有两个相同的交点，即相切；若△=b²−4ac<0,，则直线l与圆锥曲线C无交点，即相离.②当a=0时，ax²+bx+c=0退化为了一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C只有一个交点，此时只可能是如下两种情况：①当C是双曲线时，说明直线l与双曲线渐近线平行；②当C是抛物线时，说明直线l与抛物线的对称轴平行.因此当直线l与双曲线或抛物线只有一个公共点时，应特别注意区分是相交(只有一个交点)还是相切(两个相同的交点)。（2）弦长和弦中点当直线l:y=kx+b与圆锥曲线C相交时,设两个交点A,B的坐标分别为(x₁,y₁)和(x₂,y₂),则弦长|AB|=x其中x₁，x₂正好是直线方程代入曲线方程，消去后所得一元二次方程ax²+bx+c=0a≠0由根与系数的关系有x因此，要求弦长，一般并不需要具体求出交点A，B的坐标，这就是我们通常所说的“设而不求”，这是一种非常重要的方法.同学们应注意掌握.关于弦中点，若设弦AB的中点坐标为(x₀，y₀)，则x命题特点分析直线和圆锥曲线有相交、相切和相离三种位置关系.把直线和圆锥曲线结合到一起，形成某种位置关系是高考命题中解析几何解答题的基本框架，特别是当直线被圆锥曲线所截时，有关弦长、弦中点以及与之相关的面积问题更是高考命题的热点问题。第一部分基础训练*1．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(5)B．5C.eq\r(2)D．2*2．设椭圆C1的离心率为eq\f(5,13)，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1B.eq\f(x2,132)－eq\f(y2,52)＝1C.eq\f(x2,32)－eq\f(y2,42)＝1D.eq\f(x2,132)－eq\f(y2,122)＝1*3．已知a>b>0，椭圆C1的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq\f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为()A．x±eq\r(2)y＝0 B.eq\r(2)x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0**4．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A.eq\f(3,2)B．3C．2eq\r(3)D．4**5．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线3x＋eq\r(6)y＋3＝0垂直，以C的右焦点F为圆心的圆(x－c)2＋y2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为()A．1B．2C.eq\r(5)D．2eq\r(5)**6．设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq\f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(9,4)D．3*7．已知双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的一条渐近线为eq\r(3)x＋y＝0，则a＝________.*8．与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1共焦点，离心率之和为eq\f(14,5)的双曲线标准方程为________．**9．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是________．*10．已知等轴双曲线的焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离是eq\r(2)，则此双曲线的方程为________．第二部分真题再现【例1】(2023年北京卷)已知椭圆离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．*(1)求的方程；***(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．【跟踪练习】(2018年高考数学江苏卷)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．*(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．**①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；**②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【例2】(2022新高考全国I卷)已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．*(1)求l斜率；***(2)若，求的面积．【跟踪练习】(2014高考数学辽宁理科)圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)，双曲线过点P且离心率为．**(1)求的方程；***(2)椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程．【例3】（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．**（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；***（2）若，求|AB|．【跟踪练习】（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.**（1）证明：直线AB过定点：***（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.第三部分强化训练1、(2020江苏高考)在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．*(1)求的周长；**(2)在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；***(3)设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标．2、(2023年天津卷)设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．**(1)求椭圆方程及其离心率；***(2)已知点是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．（2019年高考天津卷理数）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．*（1）求椭圆的方程；***（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．4、(2020天津高考)已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．*(Ⅰ)求椭圆方程；***(Ⅱ)已知点满足，点在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．5、(2022高考北京卷)已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．*(1)求椭圆E的方程；***(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．6、(2021年新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为．*(1)求的方程；***(2)设点在直线上，过两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．7、(2020年高考课标Ⅲ卷理科)已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．*(1)求的方程；***(2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积．8、(2016高考数学上海理科)双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．**(1)若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；***(2)设，若的斜