2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题

高级中学2017—2018学年（二）期末考试高二数学（理）试卷一、单选题每小题5分，共60分）1.1.复数3+A.B.−iC.12−【答案】A【解析】原式=(3视频2.2.曲线y=ex在A处的切线与直线x﹣y+1=0平行，则点A的坐标为（）A.（﹣1，e﹣1）B.（0，1）C.（1，e）D.（0，2）【答案】B【解析】【分析】由题意结合导函数研究函数的性质即可确定点A的坐标.【详解】设点A的坐标为Ax0,则函数在x=x0切线与直线x﹣y+1=0平行，则ex0=切点坐标为A0,e本题选择B选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线，直线平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.3.某项测量结果ξ~N（3，σ2）σA.0.2B.0.4C.0.8D.0.9【答案】C【解析】【分析】由题意结合正态分布的对称性求解ξ在(0,+∞)内取值概率即可.【详解】由正态分布的性质可知正态分布的图象关于直线x=则P0<ξPξ即ξ在(0,+∞)内取值概率为0.8.本题选择C选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.4.4.已知x,y的取值如下表所示：若y与x线性相关，且y=A.2.2B.2.9C.2.8【答案】D【解析】由表格得x线性回归直线过样本中点点2∴4.5=故答案选D5.5.若a=02x2dxA.c<a<bB.a【答案】A【解析】分析：利用定积分，将已知a,b详解：由题意，可得a=02c=则2<a<3点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解a,b6.6.(2A.−192B.−160C.64【答案】B【解析】解：因为则可知展开式中常数项为−C7.7.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为A.25B.712C.12【答案】C【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式求解概率值即可.【详解】由乘法原理可知，有放回摸球可能的方法有52若第一次摸出白球，第二次摸出黑球，有2×若第一次摸出黑球，第二次摸出白球，有3×结合古典概型计算公式可得，两次摸出的球恰好颜色不同的概率为p=本题选择C选项.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.8.8.由曲线xy=1与直线yA.2−ln3B.ln3【答案】D【解析】根据题意作出所围成的图形，如图所示，图中从左至右三个交点分别为(13,9.9.从混有4张假钞的10张一百元纸币中任意抽取3张，若其中一张是假币的条件下，另外两张都是真币的概率为（）A.512B.58C.3【答案】A【解析】分析:直接利用条件概率公式求解.详解：由条件概率公式得P=C6点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对条件概率的掌握水平.(2)条件概率一般有“在A已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生，发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.10.10.已知函数fx=−x3−2xA.−3，11B.3，【答案】C【解析】【分析】首先求得fx的最小值，然后结合恒成立的条件求解实数m的取值范围即可【详解】由题意可得：f'令f'x=且：f−据此可知函数fx在区间−3,结合恒成立的条件可得：m2求解关于m的不等式可得实数m的取值范围是3，本题选择C选项.【点睛】本题主要考查导函数求解函数的最值，恒成立条件的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.11.设(x2+1A.－7B.−3【答案】D【解析】【分析】利用赋值法，令x=−2,【详解】题中所给等式(x令x=−2可得：4令x=−1即a0据此可知：a1+a本题选择D选项.【点睛】本题主要考查赋值法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.12.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,f(x)+2>f'(x),f(0)=1,则不等式ln[f(x)+2]>ln3+x的解集为（）A.(一∞,0)B.(0,+∞)C.(一∞,1)D.(1,+∞)【答案】A【解析】分析：先令g(x)=[f(x详解：令g(x)因为原不等式转化为lng(x因此选A.点睛：解函数不等式,首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x二、填空题（每小题5分，共20分）13.13.已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．【答案】1【解析】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．视频14.14.在全运会期间，4名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有____________．【答案】36【解析】【分析】由题意结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.【详解】每个项目至少有一人参加，则需要有一个项目2人参加，其余的两个项目每个项目一人参加，结合排列组合公式可知，满足题意的安排方法共有：C31【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．15.15.(a+x)(【答案】3【解析】试题分析：由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x考点：二项式定理．视频16.16.牛顿通过研究发现，形如(ax+b)n形式的可以展开成关于x的多项式,即(ax+b)n=a0+ax1+a【答案】163【解析】【分析】由题意利用逐次求导的方法计算的值即可.【详解】当n=5时，ex=a0第一次求导可得：ex=a1+2第二次求导可得：ex=2a2第三次求导可得：ex=6a3第四次求导可得：ex=24a4第五次求导可得：ex=120a5ex令x=1可得：则e=故答案为：16360【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题（共6小题，共70分）17.17.2016年10月16日，习主席在印度果阿出席金砖国家领导人第八次会议时，发表了题为《坚定信心，共谋发展》的重要讲话，引起世界各国的关注，为了了解关注程度，某机构选取“70后”和“80后”两个年龄段作为调查对象，进行了问卷调查，共调查了120名“80后”，80名“70后”，其中调查的“80后”有40名不关注，其余的全部关注；调查的“70”后有10人不关注，其余的全部关注.（1）根据以上数据完成下列2×2列联表：关注不关注合计“80后”“70后”合计（2）根据2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“关注与年龄段有关”？请说明理由。参考公式：K2=n（附表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据题设中的数据，即可填写2×（2）利用独立性检验的公式，计算K2的值，即可作出预测试题解析：（1)2X2列联表：（2）根据列联表计算K2=200×对照观测值得:能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“关注”与“不关注”与年龄段有关.18.18.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日车流量x（万辆）1234567PM2.5的浓度28303541495662（1）求y关于x的线性回归方程；（提示数据：i=（2）（I）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时PM2.5的浓度；（II）规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在0,50内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在【答案】(1)y=6x+19;(2)(ⅰ)91微克/立方米;【解析】【分析】(1)由数据可得：x=4，y=43，结合回归方程计算系数可得y关于(2)(I)结合(1)中的回归方程可预测车流量为12万辆时，PM2.5的浓度为91微克/立方米.(II)由题意得到关于x的不等式，求解不等式可得要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13【详解】(1)由数据可得：x=y=1728+a=y-bx=43(2)(I)当车流量为12万辆时，即x=12时，y=6×12+19=91.故车流量为(II)根据题意信息得：6x+19≤100，即x【点睛】一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19.19.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；【答案】（1）3人，2人，2人（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意结合分层抽样的概念计算可得应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．结合古典概型计算相应的概率值可得随机变量的分布列，然后求解数学期望可得EX【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=C4kC所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望．【点睛】本题主要考查分层抽样的概念，离散型随机变量分布列的求解与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.20.根据环保部门对某河流的每年污水排放量x（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.（1）求在未来3年里，至多1年污水排放量x∈[270,310)的概率；（2）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.【答案】（1）2732【解析】【分析】（1）设在未来3年里，河流的污水排放量x∈[270,310)的年数为Y，由题意可知Y（2）由题意结合各个方案的数学期望，比较计算可得三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.【详解】（1）由题得，设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，则.设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件，则.∴在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为.（2）方案二好，理由如下：由题得，.用分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则万元.的分布列为：.的分布列为：.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.【点睛】本题主要考查离散型随机变量分布列的计算与应用，数学期望的理解与应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.21.已知函数f(（1）求函数f(（2）若f(x)【答案】（1）函数f(x)的递增区间为(1,（2）k【解析】试题分析：（1）由已知得x＞1，f'(（2）由f(x)≤0得k试题解析：解：（1）函数f(x)的定义域为(当k≤0时，f'(x当k>0时，当1<x<k+1k所以函数f(x)的递增区间为(1,（2）由f(x)令y=ln当1<x<2时，y'>0，当x>2点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若f(x)>0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f（3）若f(x)请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请涂黑题号。22.22.在极标坐系中，已知圆C的圆心C2，（1）求圆C的极坐标方程；（2）若a∈0,π4，直线的参数方程为x=2+tc【答案】（1）ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0（2）[22，23）【解析】【分析】（1）极坐标化为直角坐标可得C（1，1），则圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0.（2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．结合题意和直