《统考版》高考数学（理科）一轮练习专练51椭圆

专练51椭圆命题范围：椭圆的定义、标准方程与简单的几何性质．[基础强化]一、选择题1．椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,6)＝1上一点M到其中一个焦点的距离为3，则点M到另一个焦点的距离为()A．2 B．3C．4 D．52．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．6 D．123．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，则()A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b4．动点P到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为10，则动点P的轨迹方程是()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝15．已知椭圆的长轴长为8，离心率为eq\f(3,4)，则此椭圆的标准方程是()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1或eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝16．曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等7．[2021·全国乙卷]设B是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))8．[2021·西宁一中高三测试]设椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积为()A．3 B．3或eq\f(3,2)C.eq\f(3,2) D．6或39．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2) D.eq\r(3)－1二、填空题10．[2021·全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．12．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.[能力提升]13．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝114．[2021·昆明一中高三测试]已知椭圆C:eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)15．F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．16．已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．专练51椭圆1．D∵a＝4，由椭圆的定义知，M到另一个焦点的距离为2a－3＝2×4－3＝5.2．B由椭圆的方程得a＝eq\r(3).设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4eq\r(3).3．B由题意得，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,4)，又a2＝b2＋c2，∴eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴4b2＝3a2.故选B.4．B依题意，动点P的轨迹是椭圆，且焦点在x轴上，设方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由c＝4,2a＝10，即a＝5，得b＝eq\r(a2－c2)＝3，则椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.5．B∵2a＝8，∴a＝4，e＝eq\f(c,a)，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,7)＝1.6．D∵c2＝25－k－(9－k)＝16，∴c＝4，∴两曲线的焦距相等．7．C解法一依题意，B(0，b)，设P(acosθ，bsinθ，θ∈[0,2π)，因为|PB|≤2b，所以对任意θ∈[0,2π)，(acosθ)2＋(bsinθ－b)2≤4b2恒成立，即(a2－b2)sin2θ＋2b2sinθ＋3b2－a2≥0对任意θ∈[0,2π)恒成立．令sinθ＝t，t∈[－1,1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，则原问题转化为对任意t∈[－1,1]，恒有f(t)≥0成立．因为f(－1)＝0，所以只需－eq\f(2b2,2a2－b2)≤－1即可，所以2b2≥a2，则离心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))≤eq\f(\r(2),2)，所以选C.解法二依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，可得xeq\o\al(2,0)＝a2－eq\f(a2,b2)yeq\o\al(2,0)，则|PB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－b)2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－2by0＋b2＝－eq\f(c2,b2)yeq\o\al(2,0)－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－eq\f(b3,c2)≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝eq\f(c,a)≤eq\f(\r(2),2)，故选C.8．C由已知a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，若P为短轴的顶点(0，eq\r(3))时，∠F1PF2＝60，△PF1F2为等边三角形，∴∠P不可能为直角，若∠F1＝90°，则|PF1|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，S△PF1F2＝eq\f(1,2)·eq\f(b2,a)·2c＝eq\f(3,2).9．D不妨设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵∠PF2F1＝60°，∴|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c＝2a.∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.10．8解析：根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.11.eq\f(3,5)解析：由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，解得e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去)．12．3解析：∵eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，∴∠F1PF2＝90°，又S△PF1F2＝b2tan45°＝9，∴b＝3.13．B由题意设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝eq\f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝eq\f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)＝1－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故选B.14．A由题意得(0,0)到直线bx－ay＋2ab＝0的距离为a，∴eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，∴a2＋b2＝4b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，∴e＝eq\f(\r(6),3).15.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：设P0为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的上顶点，由题意得∠F1P0F2≥90°，∴∠OP0F2≥45°，∴eq\f(c,a)≥sin45°，∴e≥eq\f(\r(2),2)，又0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1.16.eq\r(15)解析：通解：依题意，设点P(m，n)(n>0)，由题意知F(－2,0)，所以线段FP的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋m,2)，\f(n,2)))在圆x2＋y2＝4上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋m,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)))2＝4，又点P(m，n)在椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1上，所以eq\f(m2,9)＋eq\f(n2,5)＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－eq\f(3,2)或m＝eq\f(21,2)(舍去)，n＝eq\f(\r(15),2)，所以kPF＝eq\f(\f(\r(15),2)－0,－\f(3,2)－－2)＝eq\r(15