2023-2024学年云南省迪庆数学高二年级上册期末考试试题含解析

2023-2024学年云南省迪庆数学高二上期末考试试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/（尤）=ln（2x—/）+%的单调递减区间为（）

A.（0,2）B.（l,+℃）

C.（l,2）D.（0,A/3）

22

2.椭圆二+与=1（。〉6〉0）的长轴长是短轴长的2倍，则离心率6=（）

ab

3.已知等比数列｛4｝各项均为正数，且半，号,与成等差数列，则“2。2。+二021+。2022=（）

2402019+02018+02017

A.27B.18

C.9D.1

4.函数y=/（x）的图象如图所示，/（X）是/（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）

A/（2）＜/（3）-/（2）＜/1（3）BJ（3）＜/'（2）＜/X3）-/⑵

C"（2）＜/（3）＜/（3）-/⑵D./（3）-/（2）＜/（2）＜/（3）

5.设xeR,则％＞起的一个必要不充分条件为（）

A.X〉"B.X＜7T

C.x>lD.%<1

6.中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中5块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块,

在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（）

7.设根>0,孔>0,^lnm+em—l=lnn+en,其中e是自然对数底，贝!|()

\.m>nB.m<〃

C.m<nD.m>n

8.已知两个向量&二(2』,—3),b=(s,2j),且0〃。，则IsT的值为()

A.-2B.2

C.10D.-10

9.直线y=2x+l关于直线y=x对称的直线方程为（）

A.x-3y+l=0B.%-3丁-1二0

C.X—2y—1=0D.x—2y+1=0

10.若球的半径为10m,一个截面圆的面积是36万。加2,则球心到截面圆心的距离是（）

A.5cmB.6cm

C.ScmD.lOcm

11.将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别记为eb,贝!J直线以+勿+2有=0到原点的距离不超过1

的概率是（）

12.已知三维数组a=（2,-1,0）,1=（1,匕7）,且。0=0,则实数左=O

A.-2B.-9

C.-D.2

7

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在矩形A8C。中，AB=1,AD=«,将△AB。沿30所在的直线进行翻折，得到空间四边形

给出下面三个结论:

①在翻折过程中，存在某个位置，使得AC，3。；

②在翻折过程中，三棱锥A-BCD的体积不大于一；

③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线4。与所成角45。.

其中所有正确结论的序号是.

14.有公共焦点耳，工的椭圆和双曲线的离心率分别为4点A为两曲线的一个公共点，且满足/耳人工=60。，

13

则F+F的值为

15.已知双曲线必—匕=1的左、右焦点分别为耳,乃，双曲线左支上点A满足AK^AE,,则AKK的面积为

3--

16.已知球的表面积是16〃，则该球的体积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知甲射击的命中率为0.7.乙射击的命中率为0.8,甲乙两人的射击互相独立.求：

(1)甲乙两人同时击中目标的概率；

(2)甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率；

(3)甲乙两人中恰有一人击中目标的概率

18.(12分)如图，在三棱锥P—A3C中，侧面是边长为2的等边三角形，M,N分别为AB,AP的中点.过

MN的平面与侧面PBC交于EF

M

B

（1）求证：MN//EF；

（2）若平面P3C，平面ABC,AB=AC=3,求直线尸5与平面B4C所成角的正弦值

19.（12分）已知抛物线。的方程为炉=8'，点反（0,4）,过点M的直线交抛物线于AB两点

（1）求△045面积的最小值（。为坐标原点）；

11

（2）匚小+17下是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由

\AM\\BM\

22

20.（12分）（1）已知等轴双曲线多-三=1（。〉0,。〉0）的上顶点到一条渐近线的距离为1,求此双曲线的方程;

（2）已知抛物线V=4x的焦点为口，设过焦点R且倾斜角为45。的直线1交抛物线于A,3两点，求线段A3的长

21.（12分）（1）已知集合A=<yy=%2—+；,2>,B=^X[\X+TTT>11.P：xeA,q：xeB,并

且。是《的充分条件，求实数机的取值范围

（2）已知"：Bx&R,mx2+l<0,q：VxeH,^+mx+\>Q，若为假命题，求实数加的取值范围

22.（10分）如图，四棱柱A3CD—4与GA的底面ABC。为正方形，，平面ABC。，44=4,AB=2,

点E在Cq上，且GE=3EC.

Dx_________cx

(1)求证：AC1DE；

（2）求直线。2与平面3。石所成角的正弦值;

（3）求平面瓦汨与平面ABD夹角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】先求定义域，再由导数小于零即可求得函数的单调递减区间.

【详解】由2%-％2>0得o<光<2,所以函数〃x）=ln（2无一无2）+%的定义域为他2）,

2

又/'（X）=2--2^x+l=2「-xT，

2x-x2x-x

因为0<x<2,

所以由/'（x）<0得2—f<o,解得&<x<2,

所以函数/（无）=ln（2x—x2）+x的单调递减区间^

故选：A.

2、D

【解析】根据长轴长是短轴长的2倍，得到〃=»,利用离心率公式即可求得答案.

【详解】V2a=2-2b9a—2b9

冬

故选：D

3、A

【解析】结合等差数列的性质求得公比4,然后由等比数列的性质得结论

【详解】设｛4｝的公比为彘因为半，1，外,成等差数列，

所以2=%+③，即叱=酗+。回，q^-lq-

-3=0,q=3或q=—l（舍去，因为数列各项为正）

2222

所以％020+。2021+。2022=j=r2n

“2019+12018+“2017

故选：A

4、A

【解析】结合导数的几何意义确定正确选项.

【详解】/(3)-/(2)=/(3^~{(2),表示(2"(2)),(3"(3))两点连线斜率，

/⑵表示“力在x=2处切线的斜率；/⑶表示“力在％=3处切线的斜率；

根据/(%)图象可知，/(2)<根3)-/(2)</(3).

故选：A

5、C

【解析】利用必要条件和充分条件的定义判断.

【详解】A选项：xeR,x>兀nx>,x>x>V2»

所以x〉乃是x>后的充分不必要条件，A错误；

B选项：xeR，x<万4x>后，x<n<j^x>^2

所以x〈乃是%>血的非充分非必要条件，B错误；

C选项：xeR,x>l与x>屈，%>l<=x>-fl»

所以x>l是x>也必要不充分条件，C正确；

D选项：xeR,x<A4x>叵,x<A牛x>叵，

所以尤<1是%>血的非充分非必要条件，D错误.

故选：C.

6、C

【解析】分别求出取到3块月饼都是同种月饼和取到3块月饼都是五仁月饼的种数，再根据概率公式即可得解.

【详解】解：由题意可得，取到3块月饼都是同种月饼有C；+C；=30种情况，

取到3块月饼都是五仁月饼有C；=10种情况，

所以在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是义=g.

故选：C.

7、A

【解析】利用函数的单调性可得正确的选项.

【详解】4/(x)=lnx+ex,因为y=lnx,y=ex均为(0,+8),

故/(x)=lnx+ex为(0,+oo)上的增函数，

由111根+©加-1=111〃+&〃可得111m+匕相＞111〃+匕〃，故m＞n，

故选：A.

8、C

【解析】根据向量共线可得si满足的关系，从而可求它们的值，据此可得正确的选项.

【详解】因为4〃。，故存在常数2,使得4=2。，

2=As

所以＜1=24,故s=4/=-6,所以s—r=10,

—3=At

故选：C.

9、C

y=2x+l/、/、/、

【解析】先联立方程"_得(-1,-1),再求得直线y=2x+l的点(0,1)关于直线y=x对称点的坐标为(1,0),

进而根据题意得所求直线过点(-L-1),(1,0),进而得直线方程.

y=2x+l/、/、

【详解】解：联立方程”—得(—L—1),即直线y=2x+l与直线y=尤的交点为(―L—1)

、yx

设直线y=2%+1的点(0,1)关于直线y=无对称点的坐标为(九0，%)，

%+1

2-2

所以《解得玉)=1,%=。

2ozl=-i

所以直线y=2x+l关于直线y=%对称的直线过点(-1,-1),(1,0)

所以所求直线方程的斜率为二，

2

所以所求直线的方程为y=g(x—1),即x—2y—1=0

故选：C

10、C

【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离

【详解】由截面圆的面积为36万缈？可知，截面圆的半径为6的，则球心到截面圆心的距离为

故选:C

【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面

11、C

【解析】先由条件得出a,》满足储+加220,得出满足储+廿220的基本事件数，再求出总的基本事件数，从而

可得答案.

心12为

【详解】直线ax+力+26=0到原点的距离不超过1,则J।<1

y/a2+b2

所以/+n20

当。=1时，6可以为5,6

当a=2时，6可以为4,5,6

当a=3时，。可以为4,5,6

当a=4时，6可以为2,3,4,5,6

当a=5时，。可以为1,2,3,4,5,6

当a=6时，〃可以为1,2,3,4,5,6

满足a2+b2>20的共有25种结果.

将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别记为a,b,共有6x6=36种结果

25

所以满足条件的概率为二

36

故选：C

12、D

【解析】由空间向量的数量积运算即可求解

【详解】•；a=(2,-1,0),人=(1,k,7),且。.加=0，

**.2—k+0—0,解得k=2

故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、②③

【解析】在矩形ABC。中，过AC点作5。的垂线，垂足分别为瓦/，对于①，连接CE,假设存在某个位置，使

得ACL3。，则可得到5DLCE,进而得矛盾，可判断；对于②在翻折过程中，当平面A3。，平面时，三

棱锥A-3。的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题知4。=4£+即，BC=BF+FC，

39(31

设平面A.BD与平面所成的二面角为0,进而得A^-5C=--cos6>+-e-,3,进而得异面直线4。与

所成角的余弦值的范围为即可判断.

【详解】解：如图1,在矩形ABC。中，过A,C点作班）的垂线，垂足分别为瓦尸,

则在在翻折过程中，形成如图2的几何体，

故对于①，连接CE,假设存在某个位置，使得4。，3。，由于AELBD,A。4E=A，

所以平面4CE,所以5DLCE,这与图1中的3。与CE不垂直矛盾，故错误;

ADAB_6

对于②在翻折过程中，当平面，平面BCD时,三棱锥A-BCD的体积取得最大值,此时AE=

BD-3

体积为Vng'BczrAEugxgxlxGx?：:,故三棱锥A—BCD的体积不大于:，故正确;

对于③，4力=4£+£©,BC=BF+FC，由②的讨论得AE==1,

所以ED=5p，

所以ADBC=（AE+ED）（BF+FC）=AEFC+EDBF=—EAFC+EDBF

QO

=—陷〉附际（吗+即.叫=_（cos（M，bC）+；,

设翻折过程中，平面A/D与平面所成的二面角为凡

所以（EA，FC）=6,故40力。=—：cos9+g,

由于要使直线4。与BC为异面直线，所以6e（O,»）,

所以=—1■cose+•|e1|■,3）,

「|cos9+：p

所以cos（AD，B0

向问一一3一七」

所以异面直线4。与BC所成角的余弦值的范围为

所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线4。与所成角为45。.

故答案为：②③

14、4

【解析】可设A为第一象限的点，M£|二加，|隹|=*求出冽=〃+储，n=a—d,化简

m2+n2-2mncos60°=（2c）2即得解.

【详解】解：可设A为第一象限的点，|人占卜加，|隹|二〃，

由椭圆定义可得加+〃=2〃，

由双曲线的定义可得加—〃=2a，

可得加=〃+〃'，n=a—d，

22

由ZF1AF2=60°,可得加+n-2mncos60°=（2c）,

即为（Q+"J+-a]2（〃+〃）（Q-x—=4c?

化为a2+3d2=4c2，

13）

则方言=4

故答案为：4

15、3

【解析】由双曲线方程可得a=l力=G,C=2,利用双曲线定义，以及直角三角形的勾股定理可得|AEJ-|A£|=6,

由此求得答案.

2

【详解】由双曲线f—匕=1的左、右焦点分别为耳,B，双曲线左支上点A满足AK，A心，

3一一

可得:。=11=百,c=奇=2，

则|A区I—|A耳|=2a=2,且|A工『+|A片『=（2C）2=16,

222

故（|A居|—|A4|）=|ATs\+\AF,I-2\AF2\-\AFl|=4,

所以|A8|-|AK|=6,

故耳1=3，

故答案为：3

匕32〃

16、----

3

【解析】设球的半径为r,代入表面积公式，可解得厂=2,代入体积公式，即可得答案.

【详解】设球的半径为r,则表面积S=4/2=I6〃，

解得r=2,

44

所以体积丫=乃义23=要，

333

32万

故答案为：—

3

【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)0.56

(2)0.94(3)0.38

【解析】(1)根据独立事件的概率公式计算；

(2)结合对立事件的概率公式、独立事件的概率公式计算

(3)利用互斥事件与独立事件的概率公式计算

【小问1详解】

设甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件3,

甲乙两人同时击中目标的概率A=P(AB)=P(A)P(B)=0.7x0.8=0.56；

【小问2详解】

甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率为g=l—P(AB)=1-P(A)P(B)=1—0.3x0.2=0.94；

【小问3详解】

甲乙两人中恰有一人击中目标的概率为鸟=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)

=0.7x0.2+0.3x0.8=0.38

18、(1)证明见解析

力2际

35

【解析】(1)由题意先证明MN//平面MC,然后由线面平行的性质定理可证明.

(2)由平面P3C_L平面ABC,取3c中点。，贝！JPO_L平面ABC,可得PO_LAO,由条件可得AO_LBC,以。

坐标原点，分别以。凰AO,0P为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【小问1详解】

因为M,N分别为A5,AP的中点，所以MN//PB,

又W平面尸5C,所以1W//平面P3C,

因为平面ACVFEc平面PBC=£F,所以MN//EF

【小问2详解】

因为平面P3CL平面A5C,取5c中点0,

连接P。，A0,因为尸BC是等边三角形，所以尸0,3。，

所以P0,平面ABC,故P0LA0,又因AB=AC,

所以AOL3C,以0为坐标原点，分别以。5,AO,0P为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

可得：0(0,0,0),P(0,0,百)，A(0,-2A/2,0),6(1,0,0),C(-l,0,0),

所以P3=(l,0,-句，PA=(0,-20,-⑹，PC=(-1,0,-A/3),

PAn=Q-2近y-A/3Z=0

设平面E4c的法向量为〃=(九,y,z),则＜，则《

PCn=0—X—y/3z=0

(

令y=E,得x=4,z=-逑，所以"

4,-

3

/Uirr，4+42V210

cos(PB-n

35

所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为其巫

35

19、(1)16夜;

（2）是，该定值」.

【解析】（1）根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式进行求解即可;

（2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.

【小问1详解】

显然直线存在斜率，设直线A3的方程为：y^kx+4,

Y-+4

所以有V2c二—8日一32=0,设4>1，%）,3（%2，n2），

%=8y

贝［］有％］+9=8k,玉%--32,

|AB\=Jl+/,｛（尤］+々）2=J1+/♦,64公+128=8,1+/,2+1,

|4|

原点到直线,=履+4的距离为：~^=,

△OAB的面积为：S=—x8-Jl+K-12+k~x1=1612+k",

2y/l+k-

当左=0时，S有最小值，最小值为16夜；

【小问2详解】

是定值，理由如下：

88.

由（1）可知：>1=~^2=-T，玉%2=-32,

玉x2

11

-------7--------T

|AM「\BM［

11

—小小I』］）?

11

------------1------------

44

—+16—+16

6464

]]

可亡+16

4+1664

64

164

—322+%4+322

16(匕+1)/十”

x2

4

_%264

-24+42

16(32+%2)%,+32

42

X2+32

-24

16(32+X2)

1

-16'

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.

22

20、(1)--—=1；(2)8.

22

【解析】(1)由等轴双曲线的一条渐近线方程为y+无=0,再由点到直线距离公式求解即可；

(2)求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可.

【详解】(1)由等轴双曲线的一条渐近线方程为y+无=0,且顶点(0,。)到渐近线的距离为1,

a=b

可得褊,

廿

解得故双曲线方程工=1

[b=4222

(2)抛物线V=4x的焦点为尸(1,0)

直线/的方程为y-0=tan45O-(x-1),即y=x-l

y=x-l

与抛物线方程联立，得2，，

U=4x

消y,整理得％2_6%+1=0，设其两根为4，且占+%2=6

由抛物线的定义可知，|43|=芯+/+夕=6+2=8

所以，线段A3的长是8

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

⑵有关直线与抛物线弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|A3|=xi+

X2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式

3

21、(1)—,+oo(2)m>2

4

7

【解析】（1）由二次函数的性质，求得A={ylz«y«2},又由元+加2，1,求得集合5=—机2},

根据命题P是命题4的充分条件，所以AuB,列出不等式，即可求解

（2）依题意知，夕国均为假命题，分别求得实数加的取值范围，即可求解

c33c7「3-17

【详解】（1）由y=%-—X+l=（X--）2+—,丁—,2,,Vmax=2,

24lol_4」16

Aye[-^,21所以集合A=[y|^<y<2],

16J116J

由X+〃22>1，得X>1-m2,所以集合5={x|X21-m2},

733

因为命题。是命题q的充分条件，所以413,贝！H-根2«—,解得a2—或加<-一，

1644

实数M的取值范围是f-oo,-]|,+ooI.

（2）依题意知，P,q均为假命题，

当P是假命题时，7nx2+1〉。恒成立，则有，