专题15排列9种常见考法归类（原卷版）

专题15排列9种常见考法归类思维导图核心考点聚焦考点一、排列的概念及判断考点二、排列的列举问题考点三、排列数公式的应用考点四、元素(位置)有限的排列考点五、相邻问题的排列考点六、不相邻问题的排列考点七、相邻与不相邻的综合问题考点八、定序问题的处理考点九、间接法1．排列的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．(2)特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列．注；两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同．(3)对排列概念的两个关注点：①顺序性：每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的排列顺序有关，选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列。②选排列与全排列：在定义中规定，如果，一般称为选排列；如果，则称为全排列。2．排列数及排列数公式排列数的定义从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数排列数的表示Aeq\o\al(m,n)(n，m∈N，m≤n)排列数公式乘积式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)阶乘式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)阶乘Aeq\o\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！规定0！＝1，Aeq\o\al(0,n)＝1性质Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)拓展：排列与排列数的区别“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数．1、判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．2、在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列.3、求解排列应用问题的6种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法考点剖析考点一、排列的概念及判断1．（2023上·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（

）A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？2．（2023·全国·高二专题练习）判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互打．3．（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）顺序是判断是否为排列问题的关键点，也是唯一的判断依据．()（2）在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．()（3）用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列．()（4）圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题．()考点二、排列的列举问题4．（2023·高二课时练习）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有种机票．5．（2023上·高二课时练习）写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列．6．（2023·高二课时练习）（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？（2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列．考点三、排列数公式的应用7．（2023·全国·高二课堂例题）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．8．（2019下·福建·高二校联考期末）可表示为（）A． B．C． D．9．（2023下·北京大兴·高二统考期中）若，则（

）A． B．C． D．10．（2023·全国·高二课堂例题）求证：.11．（2023·全国·高二课堂例题）证明：．考点四、元素(位置)有限的排列12．（2024·河南·统考模拟预测）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（

）A．20种 B．16种 C．12种 D．8种13．（2024上·福建莆田·高三莆田第六中学校考阶段练习）亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（

）A．288种 B．360种 C．480种 D．504种14．（2023·河南开封·统考一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（

）A．84 B．108 C．132 D．14415．（2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（

）A．18 B．24 C．32 D．6416．（2023·四川乐山·统考一模）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（

）4A．70 B．120 C．140 D．14417．（2023下·广西防城港·高二防城港市高级中学校考期中）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列则第85个数字为（

）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310考点五、相邻问题的排列18．（2024上·辽宁·高三校联考期末）某人将用“”进行排列设置6位数字密码，其中两个“1”相邻的概率是（

）A． B． C． D．19．（2024·全国·模拟预测）第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（

）A．48 B．24 C．12 D．620．（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期末）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（

）A．720 B．960 C．1120 D．144021．（2023上·河南驻马店·高二校联考期末），，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法种数共有（

）A．24 B．120 C．48 D．6022．（2023上·全国·高三专题练习）停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（）A．种 B．种C．种 D．种考点六、不相邻问题的排列23．（2023上·山东德州·高二校考期末）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法种数为（

）A．14 B．120 C．72 D．2424．（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）某选拔性考试需要考查4个学科（语文、数学、物理、政治），则这4个学科不同的考试顺序中物理考试与数学考试不相邻的概率为（

）A． B． C． D．25．（2023·山东·统考一模）4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（

）A．36 B．72 C．81 D．14426．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（

）A． B． C． D．27．（2023下·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）在学校元旦文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有（

）种.A．12种 B．24种 C．36种 D．48种考点七、相邻与不相邻的综合问题28．（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（

）种站排方式．A．672 B．864 C．936 D．105629．（2024·全国·模拟预测）“雍容华贵冠群芳，百卉争妍独占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有极高的观赏价值．某花房拟在一侧种植红、紫、白、蓝、黄、黑6色牡丹，种植时，黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，白牡丹和蓝牡丹相邻．若白牡丹与黑牡丹不相邻，则不同的种植方法共有（

）A．24种 B．20种 C．12种 D．22种30．（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（

）A．48 B．54 C．72 D．8431．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（

）A．144 B．864 C．1728 D．288032．（2023下·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁、戊5位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（

）．A．3600 B．1440 C．720 D．48033．（2023下·广东东莞·高二统考期末）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品，综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺．从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的灯笼挂法总数为（

）A．24 B．36 C．48 D．7234．（2023下·重庆渝北·高二重庆市渝北中学校校考阶段练习）若某展览馆要把6件艺术品在展位上摆放成一排，要求其中的艺术品A和B必须相邻，且都不能与C相邻，则这样不同的排列方法数为（

）．A．72 B．120 C．144 D．288考点八、定序问题的处理35．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（

）A．10 B．20 C．24 D．3036．（2023下·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学排队，若丙在甲、乙的中间（可不相邻），则不同的排法有（

）种.A．20 B．40 C．60 D．8037．（2023下·河北邢台·高二统考期末）8人序号为1，2，3，…，8，从前往后依次排一列，将6，7，8号拉出来插到前面队列中，5号成为末尾，且原来1，2，3，4，5号前后相对次序不变，不同的排法种数为（

）A．240 B．210 C．72 D．3538．（2023下·天津和平·高二统考期末）五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（

）A． B． C． D．39．（2023下·江苏常州·高二江苏省前黄高级中学校考阶段练习）用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（

）A．2300 B．2301 C．2302 D．230340．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少（

）种不同的编码．A．120 B．60 C．40 D．10考点九、间接法41．（2023下·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）澉浦“八大碗”是由两冷菜，三大菜，三热炒组成.今有人欲以其中的“东坡肉”“红烧羊肉”“醋鱼汤”“韭芽肉皮”“老笋干丝”“大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客，这六道菜要求依次而上，其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（）A．480 B．240 C．384 D．144042．（2024·全国·高三专题练习）某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（）A．168 B．192 C．240 D．336过关检测一、单选题1．用可以组成无重复数字的两位数的个数为（

）A．25 B．20 C．16 D．152．用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有（

）个A．18 B．36 C．72 D．863．某5位同学排成一排准备照相时，又来了甲､乙､丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲､乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（

）A．360种 B．144种 C．180种 D．192种4．2023年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.我市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五张知识展板，分别放置在五个并排的文化橱窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中间位置，则不同的放置方式的种数有（

）A．66 B．64 C．48 D．305．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（

）A． B． C． D．6．已知，则x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．127．将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训（每个项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（

）A．12种 B．24种 C．18种 D．48种8．现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（

）A．56种 B．64种 C．72种 D．96种9．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《咏柳》《送元二使安西》《黄鹤楼送孟浩然之广陵》《绝句》《江畔独步寻花》五首古诗，并要求《黄鹤楼送孟浩然之广陵》《绝句》默写次序相邻，则不同的默写次序有（

）A．36种 B．48种 C．72种 D．96种10．某中学举办田径运动会，某班甲、乙等4名学生代表班级参加学校米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么不同棒次安排方案总数为（

）A．12 B．10 C．8 D．6二、多选题11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为82种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种12．4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（

）（选项中排列数的计算结果均正确）A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种13．某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（

）A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法14．3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（

）A．3名男生必须相邻的排法有144种B．3名男生互不相邻的排法有72种C．甲在乙的左边的排法有360种D．甲、乙中间恰好有2人的排法有144种三、填空题15．某单位为葫芦岛市春节联欢会选送了甲、乙两个节目，节目组决定在原有节目单中6个节目的相对顺序保持不变的情况下填加甲乙两个节目，若甲、乙演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为.（用数字作答）16．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为．17．2023年11月12日，连云港市赣马高级中学高品质特色发展暨百年校庆大会隆重举行，赣马高中建校100周年文艺演出中有四个节目：《腰鼓：千年回响》、《歌伴舞：领航》、《器乐：兰亭序》、《情景剧：我们陪你向前走》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，则不同的排列种数为（用数字作答）．18．如图，三个开关控制着号四盏灯，其中开关控制着号灯，开关控制着号灯，开关控制着1，2，4号灯．开始时，四盏灯都亮着．现先后按动这三个开关中的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为．19．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于年在北京召开，这是我国在年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放个广告，其中个不同的商业广告和个不同的奥运宣传广告，要求第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告，且个奥运宣传广告不能两两相邻播放，则不同的播放方式有种.20．现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有种不同的排法（用具体数字作答）.21．某同学将英文单词“million”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有种（用数字作答）．四、解答题22．根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24