中考数学解题技巧 42二次函数创新题及新定义问题

二次函数创新题及新定义问题二次函数与新定义问题在二次函数与新定义问题中，重点是将题中给出的定义“翻译”成学过的知识，再结合二次函数的性质综合进行处理，其难点就在于“翻译定义”的过程，对学生的理解能力和初中知识的运用能力要求较高.典例1.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．【答案】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0，解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3），∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4，∴函数y2的表达式为：y2=x2﹣2x+1．∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵1＞0，∴函数y2的图象开口向上．当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2的取值范围为0≤y2≤4．【精准解析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．练习1.设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=﹣c，b=2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2）已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=nx2+x，函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍【答案】解：（1）∵y=x2+x+1，∴y=，∴二次函数y=x2+x+1的顶点坐标为（﹣，），∴二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，），∴反倍顶二次函数的解析式为y=x2﹣x+；（2）y1+y2=x2+nx+nx2+x=（n+1）x2+（n+1）x，y1+y2=（n+1）（x2+x+）﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），y1﹣y2=x2+nx﹣nx2﹣x=（1﹣n）x2+（n﹣1）x，y1﹣y2=（1﹣n）（x2﹣x+）﹣，顶点坐标为（，﹣），由于函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍顶二次函数”，则﹣2×=﹣，解得n=． 1．小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：函数图象关于轴对称；②方程的解为：；③若方程有四个实数根，则的取值范围是．（2）延伸思考：将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于轴对称；②方程的解为：或或；③若方程有四个实数根，则的取值范围是．故答案为函数图象关于轴对称；或或；．（2）将函数的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数的图象，当时，自变量的取值范围是且．2．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点与点是关于的“函数”的图象上的一对“点”，则，，（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于的函数，是常数）是“函数”吗？如果是，指出它有多少对“点”如果不是，请说明理由；（3）若关于的“函数”，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线，，且，是常数）交于，，，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【分析】（1）由，关于轴对称求出，，由“函数”的定义求出；（2）分和两种情况考虑即可；（3）先根据过原点得出，再由“函数”得出的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出的解析式，确定经过的定点即可．【解答】解：（1），关于轴对称，，，的坐标为，把代入是关于的“函数”中，得：，故答案为，，；（2）当时，有，此时存在关于轴对称得点，是“函数”，且有无数对“”点，当时，不存在关于轴对称的点，不是“函数”；（3）过原点，，是“函数”，，，联立直线和抛物线得：，即：，，，又，化简得：，，即，，当时，，直线必过定点．3．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数，是常数，．（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：．【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；（2）写出一组，，使得即可；（3）已知，则．容易得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出．最后注意利用条件判断，得证．【解答】解：（1）由题意，得，解得，所以，该函数表达式为．并且该函数图象的顶点坐标为．（2）例如，，此时，，函数的图象与轴有两个不同的交点．（3）由题意，得，，所以，由条件，知．所以，得证．4．（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，都是“雁点”．（1）求函数图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”，该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．当时．①求的取值范围；②求的度数；（3）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），是抛物线上一点，连接，以点为直角顶点，构造等腰，是否存在点，使点恰好为“雁点”？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得：，解得，即可求解；（2）①抛物线上有且只有一个“雁点”，则，则△，即，而，；由、的存在，则△，而，则，即可求解；②求出点的坐标为，、点的坐标为，，即可求解；（3）分两种情形：点在的下方或上方，分别根据全等三角形解决问题．【解答】解：（1）由题意得：，解得，当时，，故“雁点”坐标为或；（2）①“雁点”的横坐标与纵坐标相等，故“雁点”的函数表达式为，抛物线上有且只有一个“雁点”，则，则△，即，，故；、的存在，则△，而，则，综上，；②，则为，解得或，即点的坐标为，，由，，解得，即点的坐标为，，过点作轴于点，则，，故的度数为；（3）存在，理由：当点在的下方时，由题意知，点在直线上，故设点的坐标为，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，设点的坐标为，则，，，，，，，，，，，，即，，解得或，当点在的上方时，过点作于，交的延长线于．同法可证，，可得，，，，，，，，故点的坐标为，或，或，．5．（2021•江西）二次函数的图象交轴于原点及点．感知特例（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如表：2，①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．形成概念我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为；②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是（填“”或“”或“”或“”，其中；③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．【分析】（1）①根据中点公式即可求得答案；②根据题意先描点，再用平滑的曲线从左到右依次连接即可；（2）①当时，抛物线，当时，的函数值随着的增大而减小，抛物线，当时，的函数值随着的增大而减小，找出公共部分即可；②设符合条件的抛物线解析式为，令，整理得，分下面两种情形：当时，当时，分别讨论计算即可；③观察图1和图2，可知直线与抛物线及“孔像抛物线”有且只有三个交点，即直线经过抛物线的顶点或经过抛物线的顶点或经过公共点，分别建立方程求解即可．【解答】解：（1）①、关于点中心对称，点为的中点，设点，，，故答案为：；②所画图象如图1所示，（2）①当时，抛物线，对称轴为直线，开口向上，当时，的函数值随着的增大而减小，抛物线，对称轴为直线，开口向下，当时，的函数值随着的增大而减小，当时，抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，故答案为：；②抛物线的“孔像抛物线”是，设符合条件的抛物线解析式为，令，整理得，抛物线与抛物线有唯一交点，分下面两种情形：当时，无论为何值，都会存在对应的使得，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；当时，△，即，整理得，当取不同值时，两抛物线都有唯一交点，当取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与取值无关，，解得，，，则，故答案为：；③抛物线，顶点坐标为，其“孔像抛物线”为：，顶点坐标为，抛物线与其“孔像抛物线”有一个公共点，二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点时，有三种情况：①直线经过，，解得：或（舍去），②直线经过，，解得：或（舍去），③直线经过，，但当时，与只有一个交点，不符合题意，舍去，综上所述，．6．（2021•云南）已知抛物线经过点，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，．（1）求、的值；（2）求证：；（3）以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．【分析】（1）当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，可得对称轴为直线，且抛物线经过点，列出方程组即可得答案；（2）由是抛物线与轴的交点的横坐标，可得，，两边平方得，，即可得结果；（3）正确，可用比差法证明，由（2）可得，即，而，再由，判断，，故，从而．【解答】（1）解：经过点，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，即对称轴为直线，，解得；（2）证明：由题意，抛物线的解析式为，是抛物线与轴的交点的横坐标，，，，，；（3）正确，理由如下：由（2）知：；，，而，由（2）知：，，，，即，，，即，．7．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．（1）分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数，的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为3时，求的值；（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围．【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函数的图象上有两个“等值点”，，同理求出，，根据的面积为3可得，求解即可；（3）先求出函数的图象上有两个“等值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可．【解答】解：（1）在中，令，得不成立，函数的图象上不存在“等值点”；在中，令，解得：，，函数的图象上有两个“等值点”或；（2）在函数中，令，解得：，，，在函数中，令，解得：，，，轴，，，，的面积为3，，当时，，解得，当时，，△，方程没有实数根，当时，，解得：，综上所述，的值为或；（3）令，解得：，，函数的图象上有两个“等值点”或，①当时，，两部分组成的图象上必有2个“等值点”或，，，令，整理得：，的图象上不存在“等值点”，△，，，②当时，有3个“等值点”、、，③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，④当时，，两部分组成的图象上恰有1个“等值点”，⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或．8．（2021•大连）已知函数，记该函数图象为．（1）当时，①已知在该函数图象上，求的值；②当时，求函数的最大值．（2）当时，作直线与轴交于点，与函数交于点，若时，求的值；（3）当时，设图象与轴交于点，与轴交与点，过点作交直线于点，设点的横坐标为，点的纵坐标为，若，求的值．【分析】（1）先把代入函数中，①把代入中，可得的值；②将分为两部分确定的最大值，当时，将配方可得最值，再将代入中，可得，对比可得函数的最大值；（2）分两种情况：在轴的上方和下方；证明是等腰直角三角形，得，列方程可得结论；（3）分两种情况：①，如图2，过