（人教A版2019必修第二册）数学 第7章 复数 大单元教学设计

7.1复数的概念（单元教学设计）

一、【单元目标】

复数是“数学智慧的结晶，人类理性的胜利！没有复数，便没有电磁学，便没有量子

力学，便没有近代文明。”这是数学大师陈省身教授对复数重要性的描述。

本章内容主要涉及复数的概念，复数的代数形式运算以及复数的坐标表示与几何意义。

复数集内的方程问题是本章的重点与难点之一。由于复数与几何、三角等相关知识联系较广,

因此有必要补充一下复数的三角形式与运算，一可以让学生复习三角有关公式，二还可以拓

展学生视野，利用复数与向量的知识解决解析几何中的问题。

本单元的主要学习目标包括

1、理解复数的概念，明确数集扩展的必要性；

2、掌握虚数单位的概念，理解复数的意义，掌握复数的分类；

3、掌握复数的代数形式,理解复数的相等，明确两虚数之间只有相等与不相等两种关系，

虚数之间、虚数与实数之间不能比较大小的道理。

二、【单元知识结构框架】

有理数

分数

复数系表：复数z=α+从（α,8∈R）＜

无理数

bwθ虚数（α=0时为纯虚数）

三、【学情分析】

1.认知基础

本节内容是本章的基础，也是学好复数的关键.在学习本节之前，学生已经学习了物理

中矢量的概念，对于大小和方向有一定的了解，且清楚平行与相等的一般含义，为介绍复数

的概念，复数相等，奠定了基础.

2.认知障碍

一方面，学生对于知识的把握是零碎、分散的.对复数概念是不了解的，需要在老师的

启发引导下探究体会向量的两要素；另一方面，学生相等的问题常常会默认为是数量上的相

等，缺乏严谨的思维习惯.

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约1课时

教学重点：虚数单位的弓I入、复数的概念、复数的分类。

教学难点：数集扩展的必要性，复数概念的引入。

教学方法/过程：

五、【教学问题诊断分析】

7.1.1数系的扩充和复数的概念

问题1：从方程的角度想，一元二次方程有的有解，有的没有解，随着知识的增多和生

活与学习的需要，能不能让所有方程都有解？

【破解方法】通过学生熟悉的人体，引发学生思考，因为有问题需要解决，从知识被需

要和问题与知识完备的角度需要引入新知识。

问题2：怎样才能让所有一元二次方程都有解？

【破解方法】在学习过程中，我们会遇到很多一元二次方程无解的情况，这些问题产生

的根本原因是负数在实数范围内不能开方！

问题3：如何解决负数在实数范围内不能开方的问题？

【破解方法】引入新的量的重要性和必要性都有了，只需要介绍复数运算的重要

【教学过程】数集的发展：

问题4：看数学家们研究数的过程以及如何解决负数在实数范围内不能开方的问题？

简要复习已学过的数系：

自然数集N,整数集Z,有理数集Q,实数集R。我们知道它们有如下的关系：

N荷Zρ?R

自然数集到实数集的每一次扩展，所得到的新的数集都保留了原来数集的运算性质，同

时又增加了一些新的性质。

2、数集的发展过程：

我们知道：两自然数的和仍为自然数，但两自然数的差就不一定是自然数，因而引入了

负整数的概念，把数集扩展为整数；两整数的和、差、积都是整数，但两个整数的商就不一

定是整数，因而引入分数的概念，数集扩展为有理数集；在有理数范围内，两有理数的和、

差、积、商都还是有理数，但是正有理数的平方根就不一定是有理数，由此引入无理数，把

数集扩展为实数集。

实数还是“不够用”。我们知道，实系数一元二次方程当其根的判别式“△<（）”时，

在实数范围内方程无解。例如：χ2=T这样简单的方程在实数范围内就无解。也就是说，

在实数范围内负数是不能开平方的。为了解决这一类的问题，还需要引入新的数集。

Is虚数单位的弓I入：

为了解决负数开平方问题，人们引入一个新数i,规定它平方等于-1。这个数称为虚

数单位，它具有性质：『=T并且规定i可以与实数在一起进行通常的四则运算。

这样i就可以与实数人进行乘法运算得方。因为零和任何实数相乘得零，与此类似，规

定0∙i=00方可以与实数。相加，得α+4。于是数的范围又得到了扩展。

问题5：如何定义复数？

复数的定义：

我们把形如a+4的数叫做复数（。，。是实数，i是虚数单位）。复数的全体组成的集

合叫做复数集，记作C。

7.1.2复数的几何意义

问题6：如何理解复数的表示与复数的包含关系？

复数系表：

单个的复数通常用字母Z表示，即z=α+从（α,0eR）,这种表示形式称为复数的代

数形式。。与。分别叫做复数Z的实部与虚部，并且分别用符号ReZ和ImZ表示。对于复

数z=a+bi（a,bcR）,当。=0时，就是实数；当匕WO时，叫做虚数。特别地，当人≠0

并且α=0时，叫做纯虚数。

由此可以看出，实数集R是复数集C的真子集。有N荷ZQ荷RC

整数

有理数

分数

复数系表：复数z=α+仅∙（α∕∈R>

无理数

人力0虚数（4=0时为纯虚数）

问题7：如何理解与表示复数相等？

两个复数相等：

如果两个复数Z]=α+万（α,be∕?）和z2=。+力（c,deR）的实部与虚部分别相

等,即α=c且=那么这两个复数相等，记作α+初=c+di°

如果两个复数都是实数，那么这两个复数具有大小关系；如果两个复数不都是实数，那么这

两个复数就只有相等与不相等两种关系，而不能比较大小。例如iRθ,但，与0之间就没有

大小关系。若i>0,则i∙i>O∙i,知—1>0,有-l∙i>O∙i,则i-i>i+O,i<0与i>O

矛盾。若i<0,则i∙i>0∙i,知一1>0,有—l∙i<0∙i,则"i<i+O,i>O与i<O矛

盾。

例1.下列命题中正确的是（）.

A.（-i）2=-l；

B.-i2=-l；

C.若％y∈C,则χ+yi=l+i的充要条件是X=y=l;

D.若zGC,则Z?>0.

【答案】A

【分析】根据复数的运算法则即可判断结果.

【详解】（-i）2=F=T,故A正确；

-i2=-（-l）=1,故B错误；

若X,yeC,若x=y=l有x+yi=l+i；若x=i,y=-i有x+yi=i-j2=l+i;

故x=y=l是x+W=l+i的充分不必要条件，C错误；

若ZGC,取z=i则z?=-l<0,故D错

故选：A

例2..在复平面上，OA对应的复数为-l-2i,若点A关于实轴的对称点为B,则OB对应

的复数为.

【答案】-l+2i##2i-l

【分析】数形结合得到OB对应的坐标为（」,2）,从而写出答案.

【详解】点A关于实轴的对称点为8,对应的复数为T-2i,坐标为（-L-2）,

则OB对应的坐标为（-1,2）,故对应的复数为T+2i.

故答案为：-l+2i

例3.欧拉公式*=cos，+isin。（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家

欧拉发明的，/+1=0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据

欧拉公式可知，复数或虚部为.

【答案】3##〈石

22

【分析】根据欧拉公式直接代入即可求解.

【详解】由公式d"=COSe+isin6得e'=cos+isin=ɪ+ɪi,

所以复数/虚部为正，

e2

故答案为：正

2

六、【教学成果自我检测】

1.课前预习

1.设复数Z满足∣z+i卜∣z-3i∣,Z在复平面内对应的点为(X,y),则()

A.x=lB∙y=lC.x=-lD.V=T

【答案】B

【详解】复数Z满足∣z+i∣=∣z-剑,即|z—(T)I=IZ—3i∣,

其几何意义为复平面内的点Z到点(0,-1)和点(0,3)的距离相等，

即点Z的轨迹为(0,-1)和(0,3)的垂直平分线y=芳ɪ=1,

即Z在复平面内对应的点(χ,y)在直线y=l上，故y=l,

故选：B

2.下列命题中正确的是().

A.(-i)2=-l；

B.-i2=-l；

C.若X,yeC,则x+yi=l+i的充要条件是x=y=l；

D.若zeC,则z?>0.

【答案】A

【详解】(-i)2=P=-I,故A正确；

-i2=-(-l)≈l,故B错误；

若X,yeC,若x=y=l有x+yi=l+i；若X=i,y=-i有x+yi=i-'=l+i；

故χ=y=l是χ+yi=l+i的充分不必要条件，C错误；

若ZeC,取z=i贝∣Jz?=-l<0,故D错

故选：A

3.已知i为虚数单位，复数Z满足∣z+2i∣=k∣,贝IJZ的虚部为()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】A

【详解】设z=α+Ai,则/+9+2)2=/+〃，解得：匕=一1,

故2的虚部为-1.

故选：A.

4.设复数Z满足IZ-Il=卜-』，贝IJZ在复平面上对应的图形是（）

A.两条直线B.椭圆C.圆D.双曲线

【答案】A

【详解】设z=x+M,贝IJl=X-yi,

22

IZT=IZT可得：（x-l）+∕=（2y）1

化简得：（X-1）2=3>2,

即x-l=3y或X-I=-3y,

则Z在复平面上对应的图形是两条直线.

故选：A

5.已知z=〃z+,+5seR）,下列关于复数Z的描述中，不正确的是（）

A.z不可能是实数B.z不可能是纯虚数

C.Rez∙Imz>OD.Imz≥2

【答案】D

【详解】对A,-=0,即4+1=0无实数解故2不可能是实数，故A正确；

m+m

对B,6工0,故Z不可能是纯虚数，故B正确；

对C,Rez∙Imz=m（机+,）=∕∕+l>0,故C正确；

对D,ImZ=An+,，当〃?<0时，Imz<O,故D错误，

m

综上，不正确的是D选项.

故选：D.

6.下列是关于复数的类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由实数绝对值的性质=V类比得到复数Z的性质|z『=Z2；

③已知α,b∈R,⅛α-⅛>0,则α>b,类比得已知z?,z2∈C,⅛z∣-z2>0,则4>z?;

④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.

其中推理结论正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】解：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，①正确

由实数绝对值的性质Ix∣2=/类比得到复数Z的性质IZF=Z2,

这两个长度的求法不是通过类比得到的，例如复数z=l+i,IW=户不=√∑n∣zf=2,

222

z=(]+i)=l+2i+i=2i≠2,所以∣z∣%zL故②不正确，

对于③：已知Z∣,Z2∈C,若Z]-Z2>0,例如z∣=2+i,z2=l+i,贝IJZI-Z2=1>0,但是复数

z∣=2+i2=l+i无大小关系，贝心>马不成立，故③错；

由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.故④正确.

故结论正确的个数是2.

故选：B.

2.课堂检测

设计意图：例题变式练.

「复数z=/-^+^+网u3∕eR)为纯虚数的充要条件是()

A.a=±hB.a<OS,a=-h

C.a>OS,a=bD.a>OS.a=±b

【答案】D

【详解】要使复数2=/-/+3+他仅力€对为纯虚数，则

若α>0,贝(Ja+∣b∣=2">0;若a≤0,贝lj“+Ml=α-α=0,

所以q>()且4=±∕?.

故选：D.

2.已知复数z=l+i的共辗复数是彳，z、N在复平面内对应的点分别是A、B,。为坐标原

点，贝LAOB的面积是()

A.ɪB.1C.2D.4

【答案】B

【详解】解：复数z=l+i,贝上=l-i,又，z、三在复平面内对应的点分别是A、B,

所以A(l,l),8(1,T),XO(OtO),则04=√Σ,OB=应,AB=2,

可得三角形。4B是边长为正的等腰直角三角形，其面积S=；X亚x&=l.

故选：B.

3.已知“，beR,若α+4i与3-历互为共轲复数，贝∣J∣α+例=()

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

【详解】4+4i与3-历互为共辗复数，∙∙∙α=3,人=4,则有k+历∣=∣3+4i∣=打+4,=5.

故选：D

2

4.在复平面内，复数z=-2i+2i对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【详解】依题意,复数z=-2i+2x(T)=-2-2i,所以复数Z对应的点(-2,-2)在第三象限

故选：C

5.集合M={z∣z=(T)+(f+l)i(∕eR)},下列命题中不正确的是()

A.MR=0

B.OeM

C.若z∈M,则Z在复平面上所对应的点一定不在第四象限

D.若z∈M,∣z∣=2,则Z不一定是纯虚数

【答案】A

【详解】对于A,当f=T时，MR={-2},A错；

对于B,若z=(),则［’一|=］此方程组无解，所以B正确；

［/+1=0

对于C,z=x+yi(x,>∙eR)IM,贝IJy=X+2,易知直线y=x+2过一、二、三象限，一定

不过第四象限，因此C正确；

对于D,当I=T时，Z=-2,满足∣z∣=2,但z=-2不是纯虚数，D正确.

故选：A.

6.在复平面内，复数浮的共匏复数对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【详解】复数程的共匏复数为?，其对应的点在第一象限，

故选：A.

7.下列命题一定成立的是()

A.若z∈C,则Z”0

B.若x,y,z∈C,(x-yf+(y-Zy=0,则x=y=z

C.若α∈R,则(α+2)i是纯虚数

D.若p,geC,p>O且q>0,贝IJPg>O且p+g>O

【答案】D

【详解】对于A,当z=i时，z2=-l<O,故选项A错误；

对于B,当χ-y=i,y-Z=I时，(X一y)2+(y-z)2=0,但χ,y,z并不相等，故选项B错误；

对于C,若α+2=0,则(α+2)i并不是纯虚数，故选项C错误；

对于D,因为P,qeCp>O且4>0,所以P，4为正实数，贝IJPq>0且p+g>O,故选项D正

确，

故选：D.

8.若向量OA与对应的复数分别是3+2i,-l+4i,则向量明对应的复数为()

A.-1B.4-2iC.-4+2iD.-3

【答案】B

【详解】因为向量。4与。B对应的复数分别是3+2i,-l+4i,

则04=(3,2),OB=(-1,4),

所以8A=04-08=(4,-2),则向量BA对应的复数为4-2i,

故选:B.

9.已知复数Z在复平面内对应的点的坐标为(2,-1),则∣iz+2∣=()

A.2B.√5C.2√2D.√13

【答案】D

【详解】解：由题意，复数Z在复平面内对应的点的坐标为(2,-1),

z=2-i,

.∙.iz+2=i(2-i)+2=3+2i,

∣iz+2∣=√32+22=√13.

故选：D.

3.课后作业

设计意图：巩固提升.

1.课本73页练习

2.课本习题7.1复习巩固及综合运用与拓广探索

7.2复数的四则运算（单元教学设计）

一、【单元目标】

本节内容讨论复数集中的四则运算问题,即研究复数的加、减、乘、除运算,

其中加法、乘法运算是核心,减法、除法运算分别是它们的逆运算.除此之外,还讨

论了复数加法、减法运算的几何意义.本节侧重提升学生的数学运算、直观想象

素养,以及概括理解能力、分析计算能力.

二、【单元知识结构框架】

三、【学情分析】

1.认知基础

本节内容是本章的核心，也是学好复数的重中之重.在学习本节之前，学生已经学习了

物理中矢量的加减运算，力的合成与分解等知识，为本节内容有一定的正向的推进作用。

2.认知障碍

一方面，学生对于知识的把握是零碎、分散的.对复数概念是不了解的，需要在老师的

启发引导下探究体会复数运算的的要素；另一方面，学生相等的问题常常会默认为是数量上

的相等，缺乏严谨的思维习惯.复数相等和复数的运算是本节解决问题的关键所在。

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约2课时

教学重点：1.复数的加、减运算及其几何意义

2.复数的乘、除运算

教学难点：复数的四则运算综合应用

教学方法/过程：

uɪMa∙

复数的四则运算■■2«RW.MiMm佝■义IwI

seeaw≡wτmιra>

五、【教学问题诊断分析】

7.2.1复数的加减运算及其几何意义

问题1：如何定义复数的加、减运算？

【破解方法】从课本定义出发，让学生理解复数加法和减法运算的定义。

问题2：如何理解复数加减运算的运算律问题以及与向量加法与减法运算相统一？

【破解方法】在学习过程中，利用例题理解复数运算的基本方法，以及比较与向量加减

的区别与联系。

【教学过程】

复数的加法运算及其几何意义

(1)复数的加法法则

设Zl=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么z∣+z?

=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(h+d)i.

(2)复数的加法满足的运算律

对任意Z∣,Z2*3∈C,有

①交换律：Zl+z2=z2+zt；

②结合律：(Z∣+Z2)+Z3=Z∣+(Z2+Z3).

(3)复数加法的几何意义

在复平面内，设z∣=α+历，Z2=c+di(“力,c,"eR)对应的向量分别为。Zi,OZ2,则。Zl=Qb),

酝=(c,0.以词，理对应的线段为邻边作平行四边形OZIZZ2(如图所示)，则由平面向量

的坐标运算，可得次=次+酝=("力)+(c,0=(α+c,b+①，即z=(α+c)+S+√)i,即对角线OZ

对应的向量就是与复数(α+c)+3+d)i对应的向量.

2.复数的减法运算及其几何意义

(1)复数的减法法则

类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足

(c+di)+(x+yi)="+历的复数

x+yi(x,yCR)叫做复数a+b∖(a,b^R)减去复数c+di(c,dGR)的差，记作(α+历)-(c+4i).

根据复数相等的定义，有c+x=",d+y^b,因此x=α-c,y^b-dt所以x+yi=(α-c)+S∙√∕)i,

艮[](〃+")・(c+di)

=m-c)+s∙√)i.这就是复数的减法法则.

(2)复数减法的几何意义

两个复数Zι="+bi,Z2=c+"i(q/,C,4WR)在复平面内对应的向量分别是。z∣,OZ2,那么

这两个复数的差

Zι-Z2对应的向量是OZl-OZ2,即向量Z?Z1.

如果作文=工N,那么点Z对应的复数就是ZLZ?(如图所示).

这说明两个向量词与词的差五N就是与复数(α-c)+S∕)i对应的向量.因此，复数的

减法可以按照向

量的戒法来进行，这是复数减法的几何意义.

例1计算(5-6)+(-2-i)-(3+4i).

解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

=(5-2-3)+(-6-l-4)i

=-lli.

问题3；如何解决复平面内两点之间的距离问题？

【破解方法】利用学习过程的探究，完善数学认知结构。

例2.根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Zia,y),4(%,%)之间的距离.

分析：由于复平面内的点Z∣(x∣,y),22(孙，2)对应的复数分别为4=%+卯，22=超+短,

由复数减法的几何意义知，复数Z2-4对应的向量为从而点Z∣,心之间的距离为

∣Z,Z2∣=∣z2-zl∣.

解：因为复平面内的点Zl(X∣,y),Z?(%,%)对应的复数分别为Zl=Xl+卬，z-l=x2+y2i,

所以点乙，4之间的距离为

zz

∣ι2∣=∣ZlZ2∣=∣z2-zl∣=∣(x2+y2i)-(xl+y,i)∣

=∣(¾-x1)+(γ2-yl)i∣

2,,2

=√(^-^)+(J2-3I)

六、【教学成果自我检测】

1.课前预习

一、单选题

1.已知4、Z2∈C,且IZIl=1,若Z∣+Z2=2i,则IZl-Z2∣的最大值是().

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

22

【详解】设Z]=α+没,(α,bwR),∣z1∣=l,⅛α+b=l,z1+z2=2i,则z2=-α+(2-6)i,

2222

∣z,-z2∣=∣2α+(2⅛-2)i∣=y∣(2b-2)+(2a)=√4⅛-8⅛+4+4α=√8-8⅛,

⅛∈[-l,l],当b=-l时，％-Z2∣有最大值为4.

故选：C

2.设复数Z满足∣z+i∣=2,z在复平面内对应的点为(x,y),贝IJ()

A.(x-l)2+y2=4B.(χ+l)2+y2=4

C.X2+(y-l)-=4D.X2+(y+l)2=4

【答案】D

【详解】Z在复平面内对应的点为(x，y),则复数z=x+γU,ywR,

则∣z+i∣=∣x+(y+l)i∣=2,由复数的模长公式可得Λ-2+(γ+l)2=4,

故选：D.

23

3.⅛z=l-3i+3i,则IZI=()

A.√13B.5C.3D.1

【答案】B

【详解】因为i2=T,i3=-i,所以Z=I-琛+货=1+3-4=4-3,

22

∣z∣=λ∕4+(-3)=5.

故选：B.

二、填空题

4.(2+3i)-(4+5i)=.(其中i是虚数单位)

【答案】-2-2i

【详解】(2+3i)-(4+5i)=-2-2i

故答案为：-2-2i

5.在平行四边形ABCQ中，若点A,C分别对应于复数-l+i,-4-3i,则A,C两点间的

距离为.

【答案】5

【详解】依题意得AC对应的复数为(T-3i)-(-l+i)=-3-4i,

所以A,C两点间的距离为卜,=卜3-4i∣=J(-l+4)2+(1+3『=5.

故答案为：5.

三、解答题

2+4i

6.已知复数z=α+0i(a,⅛∈R),存在实数f,使彳=-----34成立.

t

(1)求证：%+匕为定值；

(2)若|z-2∣≤α,求。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析(2)[2,5]

2+4i2/4、2/4、

【详解】⑴ɪ=-----3ati=y+∖y-3at∖il贝IJa-为=7+(7-30/Ji,

2

a=—

由复数相等‘，消去/得2α+0=6,

b=3at——

It

故2〃+》为定值.

(2)Vz-2=a-2+bit且IZ-2∣≤α

a≥0

(Λ-2)2+⅛2<a2'

2

又/2a+b=6,即6=6—2α,贝∣J(α-2)~+(6-2〃)？<a整理得/-7Q+IO≤O,

.・原不等式组即为解得a

•F?,1ιn^n.∈[2,5],

∖a-7Q+10≤0

故。的取值范围为[2,5].

2.课堂检测

设计意图：例题变式练.

一、单选题

1.在复平面上，一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为l+2i,-2+i,0,则第四个

顶点对应的复数不可能为()

A.3-iB.-l+3iC.3+iD.-3-i

【答案】A

【详解】设第四个点对应复数为z,

贝1]2+1+方=-2+1+0或2—2+1=1+方+0或2+0=1+21—2+「

所以Z=-3-i或z=3+i或Z=-I+3i.

故选：A.

2.复数Z满足l<z—2+i<3,则IZl的范围是()

A.(√5-l,√5+3)B.(√I0,2√6)C.[θ,√5+3)D.(√10,√26)

【答案】D

【详解】设z=α+历(α,b∈R),贝∣Jz-2+i=(α-2)+(b+l)i,

,.(l<a-2<3-[3<a<5

由o题t意可得\,解传〈,

[Z?+l=0[0=-1

贝IMZI=yja2+h2=√(a2+l∈(√K),√2δ).

故选：D.

3.如图，在复平面内，复数4.2对应的向量分别是OAOB,则∣z∣+z2∣=()

【详解】由题意可得：z∣=2+i,Z2=T+i,则ZI+z?=l+2i,

22

⅛Izl+z21=Vl+2=∖∣5.

故选：B.

4.已知z+彳=4,IZl=逐，贝∣Jz=()

A.l+2iB.l+2i或l—2i

C.2+iD.2+i或2-i

【答案】D

【详解】设z=α+bi,(”,6∈R),则W=α-bi,

所以z+5=24=4,即α=2,

因为IZI=Ja°+层=∖∣4+h2=石，所以b=±l,

所以z=2+i或2-i,

故选：D

5.若复数Z满足z-l=3i+i3,则∣z∣=()

A.√3B.√5C.√6D.√10

【答案】B

【详解】因为z=l+i3+3i=l-i+3i=l+2i,

所以IZl=Jl?+22=石,

故选：B.

6.若复数Z满足2(z+W)+3(z二)=2+3i,则Z=()

A.-H—iB.-------i

2222

C.2+2iD.2-2i

【答案】A

【详解】设z=α+bi(α,bwR),则历，

所以z+z=(α+bi)+(α-bi)=2α,

z-z=(α+Z>i)-(α-⅛i)=2bi,

所以2卜+2)+3卜-2)=44+g=2+3"

UU71111.

所以ɑ=彳,bl=7,z=7+,ι.

2222

故选：A

二、多选题

7.已知机,〃eR,复数4=,"+3i,Z2=z∣+4-2i,且z?为纯虚数，复数Zl的共辗复数为三,

则（）

A.m=-4B∙忤|=2

C.1=T-3iD.复数I的虚部为-3i

【答案】AC

【详解】由题可知z2=m+3i+4-2i=(4+〃z)+i,

对于A：因为Z?为纯虚数，所以加=T,故A正确；

对于B"Z2∣=1,故B错误;

对于C：ZI=T-3i,故C正确；

对于D:复数］的虚部为-3,故D错误.

故选：AC.

8.对任意复数Z=X-M(乂yeR),i为虚数单位，则下列结论错误的是()

A.z-z=2yB.Z2=X2+yz

C.∣z-z∣≥2xD.∣z∣≤∣x∣+∣γ∣

【答案】ABC

【详解】对于A,Z=X-M(X,y€R),zτ=k+yi-x+刈=∣2yi∣=∣2y∣,故不正确：

对于B,z2=X2-y^+2xyi,故不正确：

对于C,z-Z=∣2y∣≥2x不一定成立，故不正确：

对于D,IZl=A/匹+4≤Jχ2+y2+2M3=W+3,故正确.

故选：ABC.

三、填空题

9.在平行四边形ABe。中，若点A,C分别对应于复数-l+i,-4-3i,则A,C两点间的

距离为.

【答案】5

【详解】依题意得AC对应的复数为(T-3i)-(T+i)=-3-4i,

所以A,C两点间的距离为∣AC∣=∣-3-4i卜J(-l+4)2+(l+3)2=5.

故答案为：5.

IO.复平面上有4、B、C三点，点A对应的复数为2+i,BA对应的复数为l+2i,BC对应

的复数为3-i,则点C的坐标为.

【答案】(4,-2)

【详解】因为BA对应的复数是l+2i,BC对应的复数为3-i,又AC=BC-8A,

所以AC对应的复数为(3-i)-(∣+2i)=2-3i,又OC=CM+AC,

所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,

所以点C的坐标为(4,-2).

故答案为：(4,-2).

四、解答题

11.已知复平面内平行四边形ABCQ,A点对应的复数为2+i,向量8A对应的复数为l+2i,

向量BC对应的复数为3-i,求：

(1)点。对应的复数；

⑵平行四边形ABeQ的面积.

【答案】(1)5(2)7

【详解】(1)向量R4对应的复数为l+2i,所以向量BA=(1,2),

BC对应的复数为3—i,所以向量8C=(3,-1),

BD=BA+BC=(1,2)+(3,-1)=(4,1),

C>β=(9A-BA=(2,1)-(1,2)=(1,-1),

.∙.(9D=6)B+BZ)=(1,-1)+(4,1)=(5,0),

点。对应的复数为5.

(2)β⅛∙BC=|BAHBC∣cosB,

BABC3-21

.∙.cosB=

∣BA∣∣BCΓ√5×√10-5√2

β∈[0,π],.∙.SinB=口=

5√21

7

S=∣βA∣∣βC∣sinB=√5×√iθ×=7

5√2

故平行四边形ABCO面积为7.

12.已知复数z∣=-2+6i,Z2=α+i.

(1)若4=z21求α和b的值；

(2)α=-2,⅛=4,求4+z2.

【答案】(Da=-2,6=1

⑵T+5i

【解析】⑴因为复数ZT+玩Z2=α+i

故由Zl=z2可得α=-2,6=l;

(2)由于°=一2,人=4故zl+z2=_2+4i+(-2)+i=_4+5i

3.课后作业

设计意图：巩固提升.

1.课本77页练习

2.课本习题7.2复习巩固1,2.

7.2.2复数的乘、除运算

问题4：如何定义复数的乘、除运算？

复数的乘法运算

(1)复数的乘法法则

设Z∣=4+历，Z2=c+"i(α,6,c,dWR)是任意两个复数，那么它们的积(α+历)(c+"i)="c+6ci+adi+

bd∖2

=(ac-bd)+(ad+hc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i?换成】

并且把实部与

虚部分别合并即可.

(2)复数乘法的运算律

对于任意z∣,z2,z3ec,有

①交换律:ZlZ2=Z2Zl；

②结合律：(z∣z?)Z3=Z∣(Z2Z3)；

③分配律：Z∣(Z2+Z3)=Z∣Z2+Z∣Z3.

在复数范围内，正整数指数募的运算律仍然成立.即对于任意复数Z,Z∣,Z?和正整数见〃,

有z"z"=z"'+",

(z")"=Z"：(ZIZ2)"=ZfZ*.

例3.计算。-R(3+4i)(-2+i).

解:(l-2i)(3+4i)(-2+i)

=(ll-2i)(-2+i)

=-20+15i.

复数的除法

⑴定义

我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=α+历(c+di≠O)的复数x+yi叫

做复数a+bi除

以复数c+di的商，记作(a+力i)÷(c+商或(4,6,c,d∈R,且c+d#0).

(1)复数的除法法则

,...z..a+b∖(α+6i)(c—di)(ac÷bd)+(be—ad)iac+bdbe—ad

m+小)s)=7ψ7r=(c+di)(c一di)=-------------------------------=+

i(ɑ力CdWR,且

c+di≠O).

由此可见，两个复数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的复数.

例4.计算(l+2i)÷(3-4i).

解：(l+2i)+(3-4i)=黑

(l+2i)(3+4i)3-8+6i+4i

-(3-4i)(3+4i)^―32+42^

-5+IOi12.

=----------=------1---1.

2555

问题5符合理解复平面内的距离？

Iz-Zol(z,zo∈C)的几何意义

设复数Zι=α+bi,Z2=c+di(α力,c√∕0R)在复平面内对应的点分别是ZIm力)，Z2(c,d)i贝IJIZl

2222

Z21=√(α-c)+(6-√),又复数Zi-Z2=(a-c)+(h-d)∖,则Z-z?I=y∕(a—c)+(b—d).

故∣z∣z?I=IA-Z?即IZl-Z21表不复数z∣,z?在复平面内对应的点之间的距离.

例6.设复数zι,Z2满足IZlI=IZ2∣=2,zι+z2=V5+i,则IZI-Z2I等于()

A.2√3B.2√2C.2D.3

222

【解题思路】设z∖=a+bifz2=c+db利用已知条件得到i∕+⅛=4,c+∕=4,ac+bd=

-2,然后由模的计算公式表示出IZl-Z2∣,即可得到答案.

【解答过程】解：设zι=α+次，Z2=c+cli,

因为IZlI=IZ2∣=2,

所以廿+房=%c2÷d2=4,

又zι+∑2=λ∕3+i,

所以〃+c=√5,b+d=∖,

则ac+hd=-2,

所以IZI-Z2∣=∣(。-C)+(b-d)z∣

=J(Q-C-+(b-d-

z222

=yja+C+b+d-2(αc+bd)

=2y∕3.

故选:A.

问题6如何理解复数范围内实数系一元二次方程的根？

若一元二次方程"χ2+fev+c=θ3≠o,且”,"c∈R),则当A>0时，方程有两个不相等的实

根Xi

-⅛+∖Jb2—4αc__b-y/b2—4ac

五'超二；

当A=O时，方程有两个相等的实根X尸乃=-4；

.ʌ.__rr.—b-∖-ix∕Aac—b~-h—iʌ/4cιc—b^_ʌ.

当△<()时，方程有两个虚根Xl=--------五-------,X2=-------%------,且两个虚

数根互为共版复

数.

例7.在复数范围内解下列方程：

⑴X2+2=0；

(2)ax2+hx+c=O,其中a,b,c∈R,且4xθ,∆=b2—4«c<0.

分析：利用复数的乘法容易得到(1)中方程的根.对于(2),当4=〃-4改<0时，一元二

次方程0χ2+⅛r+c=0无实数根.利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，类似于

(1),就能在复数范围内求得(2)中方程的根.

解：(1)因为所以方程f+2=0的根为x=±及i.

(2)将方程52+法+O=0的二次项系数化为1,得

2bCʌ

X+—X+—=0.

aa

配方，得

(bYb2-4ac

[x+2a)4a2

由知=厂类似()可得

∕<o,、C'rr>o.1,

(2α)(2a)

2a2a

所以原方程的根为X=上土HbjaC).

在复数范围内，实系数一元二次方程"?+加+c=0(α≠0)的求根公式为：

-b±∖Jb2-4ac

(1)当△≥0时，X=

2a

(2)当∕<0时，X:"土JY"4"c)i.

2a

六、【教学成果自我检测】

1.课前预习

一、单选题

1.定义：若z2=α+6i（α,6eR）,则称复数工是复数α+例的平方根.根据定义，复数9-4Oi的

平方根为（）

A.3-4i,-3+4iB.4+3i,4-3i

C.5-4i,-5+4iD.4-5i,-4+5i

【答案】C

【详解】设复数9—4（）i的平方根为χ+M（χ,蚱R）,则（x+M>=9-40i,

化简了2-）/+2刀）臼=9-40。所以χ2-y2=9,2xy=-40,解得

x=5,y=-4或x=-5,y=4,即复数9-4Oi的平方根为5-4i或-5+4i,

故选：C

2.若复数Z满足（l+2i）∙z=3+4i（其中i是虚数单位），复数Z的共版复数为口贝IJ（）

A.Z的实部是日_2

B∙Z的虚部是

C,复数三在复平面内对应的点在第四象限D.忖=5

【答案】A

3+4i(3+4i)(l-2i)∣∣-2i112.

［详解］(l+2i)∙z=3+4iΛ-----------1

l+2i-(l+2i)∙(l-2i)^555

z∖∣5≠5,故D错误

∙∙∙z=⅛+fi,三的虚部是故B错误，"?+夕在复平面上对应的点为性M所以

为第一象限点，故C错误.

故选：A

二、填空题

3.设复数z∣=l-i,z2=3+i,贝IJz=2々+34在复平面内对应的点位于第象限.

【答案】一

【详解】z=2(l-i)+3(3+i)=2-2i+9+3i=ll+i,则z=2z∣+3z?在复平面内对应的点的坐

标为(11,1),位于第一象限.

故答案为：一

4.已知i为虚数单位，则复数i(2-3i)对应的点的坐标为.

【答案】(3,2)

【详解】i(2-3i)=3+2i,所以复数3+2i在复平面内对应的点的坐标为(3,2).

故答案为：(3,2).

5.(IT?。为.

【答案】-1024

【详解】(l-i)2°=[(l-i)2]l0=(l-2i+i2)'0=(-2)l0(i2)5--1024

故答案为：-1024

三、解答题

6.已知复数z=〃/_2m-15+(m2-9)i,其中加eR.

⑴若Z为实数，求W的值；

⑵若Z为纯虚数，求言的值.

1+1

【答案】(l)∕n=±3

(2)8+8i

【详解】⑴若Z为实数，则＞_9=0,解得，〃=±3.

m2-2m-15=0_

(2)若Z为纯虚数,则'解传加=5,，z=16i

故六=F=黑W=8+8i,

l÷ιl+i(l+ι)(l-ι)

2.课堂检测

设计意图：例题变式练.

一、单选题

1.已知复数z="+历(0b∙R,i是虚数单位)，4,Z2∈C,定义：。(Z)=M=M+1班

D(Z1N)=Ih-J.给出下列命题：

①对任意zeC,都有D(z)>O;

②若之是复数Z的共轨复数，则叩)=D(z)恒成立；

③若。(ZJ=Z)(Z2)。、z2eC),则4=Z2；

④对任意Z］、Z2、Z3∈C,结论D(Zl,z3)≤D(z1,Z2)+D(z2,Z3)恒成立.

则其中真命题是().

A.(TX2X3)Φ；B.(2W)；c.(2)@;D.0X3).

【答案】C

【详解】对于①：由定义知，当Z=O时，D(z)=O,故①错误

对于②：由题意得三=a-bi,所以D(z)=D(z)=∖a∖+∖k∖,故②正确；

对于③：设z∣="+历■=c+di,。(ZI)=Zl=∣θ∣+∣⅛∣,P(z2)=z2=∣c∣+∣J∣

若。(亦。仁)(2€0