2024届山东省泰安市数学九年级上册期末联考试题含解析

2024届山东省泰安市数学九上期末联考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处”O

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在ABC中，D、E分别在AB边和AC边上，DEHBC,M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM

交DE于点N,则（）

ADAN«BDMNCDNNECDNNE

A-----=------B------=-------C------=-------D------=-------

ANAEMNCEBMMC'MCBM

2.如图，将AABC绕点A,按逆时针方向旋转120。，得到ΔA'B'C（点3的对应点是点8',点C的对应点是点C'）,

连接BB'.若AC//的，则NOB的度数为（）

C.30°D.45°

3.关于X的一元二次方程（X-3）（x-2）-/J?=。的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.没有实数根

C.有两个相等的实数根D.不确定

4.已知点A（-2,y）、B（—1,y2）、C（3,y3）都在反比例函数y=3的图象上，则yi、y2、y3的大小关系是

（）

A.yι<y2<j,3B.y3<y2<y1C.y3<y1<y2D.y2VyKy3

5.若一次函数y=ax+b（a≠0）的图像与X轴交点坐标为（2,0）,则抛物线y=ax?+bx+c的对称轴为（）

A.直线x=lB.直线x=-lC.直线x=2D.直线x=-2

6.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

7.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互增了182件.如果全组共有X名同

学，则根据题意列出的方程是().

A.X(x+l)=182B.X(x+l)=182XL

2

C.X(X-I)=182D.X(X-I)=182×2

8.抛物线y=-2χ2经过平移得到y=-2(x+1)2-3,平移方法是()

A.向左平移1个单位，再向下平移3个单位B.向左平移1个单位，再向上平移3个单位

C.向右平移1个单位，再向下平移3个单位D.向右平移1个单位，再向上平移3个单位

9.“一般的，如果二次函数y=αχ2+∕>χ+c的图象与X轴有两个公共点，那么一元二次方程α√+%χ+c=o有两个不相等的

实数根.——苏科版《数学》九年级(下册)P21''参考上述教材中的话,判断方程χ2-2X=L-2实数根的情况是()

X

A.有三个实数根B.有两个实数根C.有一个实数根D.无实数根

10.点尸(3,5)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-3,5)B.(3,-5)C.(5,3)D.(-3,-5)

11.二次函数y=(xT)(x-,"+l)(m是常数)，当-2≤X≤0时，y>0,则m的取值范围为()

A.m<()B.m<lC.0<m<lD.m>l

12.已知二次函数y=aχ2+bχ+c(awθ)图象的一部分如图所示，给出以下结论：①abc>O;②当χ=-l时，函

数有最大值；③方程aχ2+bx+c=0的解是x∣=l,X2=-3;④4a+2b+c>0,其中结论错误的个数是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题(每题4分，共24分)

13.在平面直角坐标系中，点AB的坐标分别是A(4,2),8(5,0),以点。为位似中心，相们比为;，把ABO缩小,

得到44。，则点A的对应点Al的坐标为

ab3a-b

14.若二二二■,rtl则---的值为__________.

533a-2b

15.方程χ2+2x+m=0有两个相等实数根，则m=

16.如图，BCJ_y轴，BC<OA,点A、点C分别在X轴、y轴的正半轴上，D是线段BC上一点，BD=LOA=2,

4

AB=3,ZOAB=45o,E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持NDEF=45。，将AAEF沿一条边翻折，翻

折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则线段OE的值为

17.如图,AB是以点。为圆心的圆形纸片的直径，弦CD_LAB于点E,AB=IO,BE=3.将阴影部分沿着弦AC翻折

压平，翻折后，弧AC对应的弧为G,则点。与弧G所在圆的位置关系为

18.如图，D是反比例函数y="(kv())的图象上一点，过D作DEl.x轴于E,DCj_y轴于C,一次函数y=-x+m

X

与y=-3x+2的图象都经过点C,与X轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4,则k的值为.

3

EOIABχ

三、解答题（共78分）

19.（8分）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏OB与底板所在水平线的夹角为120。时，感觉最舒适

（如图1）,侧面示意图如图2.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'8'位置（如图3）,

侧面示意图为图4.已知QA=QB=24。〃，O'C_LQ4于点C,O'C=∖2cm.

（1）求NC4O'的度数.

（2）显示屏的顶部B'比原来的顶部B升高了多少？

（3）如图4,垫入散热架后，要使显示屏O8'与水平线的夹角仍保持120。，则显示屏08'应绕点按顺时针方向

旋转多少度？并说明理由.

20.（8分）已知：如图，平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点，连接CG,CG的延长线交

BA的延长线于点F,连接FD.

(1)求证：AB=AF;

（2）若AG=AB,ZBCD=120o,判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论.

21.（8分）甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘分别被分成面积相等的3个扇形）做游戏，游戏规则：甲转

动A盘一次，乙转动B盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜;数字之和为奇数时乙获胜.若

指针落在分界线上，则需要重新转动转盘.请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；

并求出甲获胜的概率.

ASBS

22.（10分）已知等边A4BC,点D为Be上一点,连接AD

图1图2

（1）若点E是AC上一点，且CE=8,连接BE,BE与AO的交点为点P,在图（1）中根据题意补全图形，直接

写出NAPE的大小；

（2）将4。绕点A逆时针旋转120。，得到AH连接交AC于点。，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示

线段4。和CZ）的数量关系，并证明.

23.（10分）如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在

AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE.设BE的长为X米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米.

（1）求y与X之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；

（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少

米？

24.（10分）如图，要设计一幅宽为20cm,长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条宽度相等，如

2

果要使余下的图案面积为504tvn,彩条的宽应是多少cm.

25.（12分）如图，方格纸中有三个点AB,C,要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上,

且四边形的顶点在方格的顶点上.

（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;

（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形;

（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.

（注：图甲、图乙、图丙在答题纸上）

4TT

26.如图，在AABC中，ZC=60o,AB=4.以AB为直径画。O,交边AC于点D.AD的长为——，求证：BC是。O

3

的切线.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得AADNS∕∖ABM,AANESAAMC,再根据相似三角形的性质即

可得到答案.

DNANANNEQDNNE

【详解】；Λ∆ADN<^∆ABM,∆ANE<^∆AMC,Λ——=——,——,故选C.

BMAMAMMC,~BM~MC

【点睛】

本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质.

2、C

【分析】根据旋转的性质得到NBAB，=NCACF20。，AB=ABS根据等腰三角形的性质易得NAB，B=30。，再根据平

行线的性质即可得NCAB，=NAB，B=30。.

【详解】解：T将AABC绕点A按逆时针方向旋转120。得到AABe,

ΛZBAB,=ZCAC,=120o,AB=AB,,

.∙.NAB'B=L(180O-120O)=30°,

2

VAC,√BB,,

ΛNC'AB'=NAB'B=30°,

二NCAB=NC'AB'=30°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等

于旋转角.

3、A

【分析】将方程化简，再根据A=〃-44c判断方程的根的情况.

【详解】解：原方程可化为丁-5%+6-p2=0,

.∙,Δ=(-5)2-4(6-p2)=l+p2>0

所以原方程有两个不相等的实数根.

故选：A

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的情况，灵活利用ZI的正负进行判断是解题的关键.

当Zl>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=O时，方程有两个不相等的实数根；当/<0时，方程没有实数根.

4、D

4

【分析】分别把各点坐标代入反比例函数y=—,求出yι,y2,yι的值，再比较大小即可.

X

4

【详解】Y点A(-2,yι)、B(-1,y2)ʌC(Lyl)都在反比例函数y=-的图象上，

X

4

..yι=-2,y2=-4,yι=y,

4

V-4<-2<-,

3

,y2Vy1Vy1∙

故选D∙

【点睛】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此

题的关键.

5、A

【分析】先将(2,0)代入一次函数解析式y=ax+b,得到2a+b=0,即b=-2a,再根据抛物线y=aχ2+bx+c的对称

b

轴为直线X=--即可求解.

2a

【详解】解：•一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与X轴的交点坐标为(2,0),

Λ2a÷b=0,即b=-2a,

1ɔ

.∙.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线X=--=一二4=1.

Ia2a

故选：A.

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中.用到的知识点：

点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-2.

2a

6、B

【分析】中心对称图形绕某一点旋转180。后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着

对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可.

【详解】A是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；

B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；

C不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；

D不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；

故选B

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握其定义即可快速判断出来.

7、C

【解析】试题分析：先求每名同学赠的标本，再求X名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系

可得到方程.

每名同学所赠的标本为：(X-I)件，

那么X名同学共赠：X(X-I)件，

根据题意可列方程：X(x-l)=182,故选C.

考点：本题考查的是根据实际问题列一元二次方程

点评：找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解答本题的关键.

8、A

【分析】由抛物线y=-2χ2得到顶点坐标为（0,0）,而平移后抛物线y=-2（x+1）?一3的顶点坐标为（-1,一3）,

根据顶点坐标的变化寻找平移方法.

【详解】根据抛物线y=-2χ2得到顶点坐标为（0,0）,

而平移后抛物线y=-2（x+1）2-3的顶点坐标为（一1,一3）,

二平移方法为：向左平移1个单位，再向下平移3个单位.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握相关概念是解题关键.

9、C

【解析】试题分析：由x：-2x=l∙2得=（X-D1ɪɪ-l,即是判断函数：=（χ-D'与函数

XXX

∙.=LI的图象的交点情况.

X

X2-2x=ɪ-2

X

X2-2x+l≡ɪ-1

X

,1

因为函数=（X-L-与函数=2∙1的图象只有一个交点

X

所以方程1Ix=L-二只有一个实数根

X

故选C.

考点：函数的图象

点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.

10、D

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，横纵坐标的坐标符号均相反，根据这一特征求

出对称点坐标.

【详解】解：点P（3,5）关于原点对称的点的坐标是（-3,-5）,

故选D.

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律.

11、D

【分析】根据二次函数的性质得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可.

【详解】∙.∙二次函数y=(χ-i)(χ-s+i),

...图像开口向上，与X轴的交点坐标为(l,O),(m-l,O),

T当-2≤x≤0时，y>O,

Λm-l>(),

Λm>l.

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质和图象和解一元一次不等式，能熟记二次函数的性质是解此题的关键.

12、A

b

【解析】由抛物线开口方向得到a<l,根据抛物线的对称轴为直线X=—-=-1得bVl,由抛物线与y轴的交点位置

2a

得到c>l,则abc>l;观察函数图象得到X=-I时，函数有最大值；

利用抛物线的对称性可确定抛物线与X轴的另一个交点坐标为(-3,1),则当x=l或x=-3时，函数y的值等于1；观察

函数图象得到x=2时，y<l,即4a+2b+cVl.

【详解】解：•••抛物线开口向下，

Λa<l,

b

Y抛物线的对称轴为直线X=--=-1,

2a

.*.b=2a<l,

V抛物线与y轴的交点在X轴上方，

Λc>l,

Λabc>l,所以①正确；

Y抛物线开口向下，对称轴为直线x=-l,

.∙.当x=-l时，函数有最大值，所以②正确；

∙.∙抛物线与X轴的一个交点坐标为(1,1),而对称轴为直线X=-L

.∙.抛物线与X轴的另一个交点坐标为(-3,1),

.∙.当x=l或x=-3时，函数y的值都等于1,

二方程aχ2+bx+c=l的解是：Xi=LX2=-3,所以③正确；

Vx=2时，y<l,

Λ4a+2b+c<l,所以④错误.

故选A.

【点睛】

解此题的关键是能正确观察图形和灵活运用二次函数的性质，能根据图象确定a、b、C的符号，并能根据图象看出当

X取特殊值时y的符号.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、(2,1)^(-2,-1)

【解析】利用位似图形的性质可得对应点坐标乘以L和-L即可求解.

22

【详解】解：以点。为位似中心，相似比为;，把ABo缩小，点A的坐标是A(4,2)

则点A的对应点A的坐标为(4xg,2x£|或(-4χg,-2χg),即(2,1)或(一2,-1),

故答案为：(2,1)或(—2,—1).

【点睛】

本题考查的是位似图形，熟练掌握位似变换是解题的关键.

4

14、-

3

【分析】直接利用已知得出。="，代入答3进而得出答案.

33a-2b

【详解】v⅞=-

53

,5b

∙*∙Cl——

3

*_3__a_—_b—____5_b__-b二__4

3a-2b5b-2b3

4

故填：y.

【点睛】

此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键.

15、1

【分析】当A=O时，方程有两个相等实数根.

【详解】由题意得：A=b2-4ac=22-4m=0,则m=l.

故答案为1.

【点睛】

本题考察了根的判别式与方程根的关系.

16、6-半或6或9-30

【分析】可得到NDOE=NEAF,ZOED=ZAFE,即可判定△DOESAEAF,分情况进行讨论：①当EF=AF时，

△AEF沿AE翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；②当AE=AF时，ZiAEF沿EF翻折，所得四边形为菱

形，进而得到OE的长；③当AE=EF时，AAEF沿AF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长.

【详解】解：连接OD,过点BH_LX轴，

①沿着EA翻折，如图1：；NOAB=45。，AB=3,

.∙.co=逑，

2

VBD=ɪOA=2,

2

ΛBD=2,OA=8,

・R「一0五

•∙15C—ð-3----

29

.rn—<3五

・・CLl——o---;

2

四边形FENA是菱形，

ΛZFAN=90o,

.∙.四边形EFAN是正方形，

.∙∙∆AEF是等腰直角三角形,

VZDEF=450,

ΛDE±OA,

Λ0E=CD=6-1；

2

②沿着AF翻折，如图2：

.∙.B与F重合，

ΛZBDE=45o,

Y四边形ABDE是平行四边形

ΛAE=BD=2,

ΛOE=OA-AE=8-2=6；

③沿着EF翻折，如图3：

，AE=AF,

VZEAF=45o,

.∙.aAEF是等腰三角形，

过点F作FM_LX轴，过点D作DNj_x轴,

Λ∆EFM<^∆DNE,

.FM_EM

"'~DN~~NE,

!&AEAE-^LAE

.2______2

F

.N□-a3夜

・・NE—3^^------f

2

ΛOE=6-+3-^∙=9-3√2；

22

综上所述：OE的长为6-孚或6或9-3及，

故答案为6-上，或6或9-30.

【点睛】

此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、平行四边形、菱形及正方形的性质，利用三角

函数、勾股定理及相似三角形的性质进行求解.

17、点在圆外

【分析】连接OC,作OF_LAC于F,交弧AC于G,判断OF与FG的数量关系即可判断点和圆的位置关系.

【详解】解：如图，连接OC,作OF,AC于F,交弧AC于G,

∙.∙AB=10,BE=3,

：.OA=OB=OC=5,AE=7,OE=2,

VCD±AB,

二CE2=OC2-OE2=52-22=21,

二AC2=CF2+AE2=21+72=70,

VOF±AC,

1

ΛCF=-AC,

2

ΛOF2=OC2-CF2=52--×10=-,

42

吟畤,

：.OF>FG,

.∙.点。与弧G所在圆的位置关系是点在圆外.

故答案是：点在圆外.

【点睛】

本题考查了点和圆位置关系，利用垂径定理进行有关线段的计算，通过构造直角三角形是解题的关键.

18、-1

【详解】解：Ty=x+2的图象经过点C,∙∙∙C(0,1),

3

将点C代入一次函数y=-x+m中，得m=l,.∙.y=-x+l,令y=0得x=l,.∖A(1,0),

I

：.SΔAOC=—×OA×OC=1,

2

∙.∙四边形DCAE的面积为4,.∙.S矩形OCDE=4-1=1,

Λk=-1

故答案为：-L

三、解答题(共78分)

19、(1)Nc40=30°;(2)(36-12√3)cm；(3)30°,理由见解析

【分析】(1)先求出该角的正弦值，根据特殊函数值求出角的度数，即可得出答案;

(2)先求出BD的长度，再证明NAO'B'和NAO'C互补，即8'、。、C三点在同一条直线上，故8'C与BD的差

即为所求;

(3)先根据O///Q4求出NR9'A的度数，再根据NACrB'=120°求出NEO'8'的度数即可得出答案.

【详解】解：(1)'：O'C±OA,OA=OB24cm,

.•.sin/。。=必=处上1

AO'AO242

∙∙∙NC4O'=30°.

(2)如图，过点3作BDLAo交AO的延长线于点。.

OB

：.BD=OBsinzBoD.

VNAoB=I20°，

.∙∙ZDC>B=60∖

ABD=OB-sinZBOD=24×B=∖2瓜

2

'：O'CrθA,ZCAO'^30°,

∙∙∙ZAOC=60°∙

∙∙∙ZAO'6'=120°,

.,.ZAO'B'+ZAO'C=180°.

：.O®+OC-BD=24+12-126=36-12百.

ʌ显示屏的顶部3'比原来顶部8升高了(36-12√3)C7??.

(3)显示屏O'B'应绕点O按顺时针方向旋转30。.理由如下：

设电脑显示屏0'B'绕点0'按顺时针方向旋转α角至。'£处，O'F∕∕OA.

•；显示屏OE与水平线的夹角仍保持120°,

AZEO1F=120°.

VO'FHOA,

，NWA=NC4O=30°∙

YZAOB'=120°,

，NEO8'=NEO'A=30°,即α=30°,

.∙•显示屏。'3'应绕点O'按顺时针方向旋转30。.

【点睛】

本题考查的是锐角三角函数的应用，难度系数较高，解题关键是将生活中的实际问题转化为数学模型进行求解.

20、(1)证明见解析；(2)结论：四边形ACDF是矩形.理由见解析.

【分析】(1)只要证明AB=CD,AF=CD即可解决问题；

(2)结论：四边形ACDF是矩形.根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；

【详解】(1)证明：V四边形ABCD是平行四边形，

ΛAB√CD,AB=CD,

.∙.NAFC=NDCG,

VGA=GD,ZAGF=ZCGD,

Λ∆AGF^∆DGC,

二AF=CD,

二AB=AF.

(2)解：结论：四边形ACDF是矩形.

理由：VAF=CD,AF/7CD,

.∙.四边形ACDF是平行四边形，

四边形ABCD是平行四边形，

ΛZBAD=ZBCD=120o,

.,.ZFAG=60o,

VAB=AG=AF,

Λ∆AFG是等边三角形，

.∙.AG=GF,

V∆AGF^∆DGC,

二FG=CG,VAG=GD,

ΛAD=CF,

.∙.四边形ACDF是矩形.

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角

形解决问题.

21、见解析，—.

【分析】先列表或画出树状图，再根据表格或树状图得出所有可能出现的结果，然后找出结果为偶数的，利用概率公

式计算即可.

【详解】由题意，列表或树状图表示所有可能如下所示:

由此可知，共有9种可能的结果，每一种可能性相同，其中和为偶数的结果有5种

所以甲获胜的概率为

9

【点睛】

本题考查了利用列举法求概率，依据题意，正确列出表格或画出树状图是解题关键.

22、(1)补全图形见解析∙NAPE=60。；(2)补全图形见解析.AQ=JC。，证明见解析.

【分析】(1)根据题意，按照要求补全图形即可；

(2)先补全图形，然后首先证明aA5DgZ∖BEC得出NKW=NC5E,之后通过一系列证明得出尸丝aEQ5,最

后进一步从而得出A。=；Co即可.

【详解】(1)补全图形如下，其中NAPE=60。，

证明：在448D和45EC中,

AB=BC

<NABD=NC=60°

BD=CE

Λ∆ABZ)^∆BEC(SAS)

：.NBAD=NCBE.

,：ZAPE是AABP的一个外角,

：.^APE=ΛBAD+ZABP=ZCBE+ΛABP=ZABC=GQo.

YA尸是由AO绕点A逆时针旋转120。得到，

：.AF=AD,NZM尸=120°.

VNAPE=60°,

：.ZAPE+ZDAP=ISOo.

：.AF//BE

.∙.N1=N2

•：ΛABD^∕∖BEC,

：.AD=BE.

：.AF=BE.

在aAQF和aEQB中，