河南省2023-2024学年高二年级上册12月联考数学模拟试题（附答案）

河南省2023-2024学年高二上学期12月联考数学模拟试题

1.抛物线-=8y的准线方程为()

A.y=2B.y=-2C.x=-2D.x=2

2.数列-4,7,-10,13,…的一个通项公式为（）

A.。“=（一1）"（3〃+4）B.g=（一1）"（3〃+1）

+1+1

C.a„=（-l）"（3n+4）D.an=（-l）"（3«+l）

3.一条渐近线方程为2x+3y=0,且经过点（3百,2行）的双曲线的标准方程是（）

22222222

A.土-匕=1B.匕-二=1C.二-匕=1D.匕-土=1

94494994

4.若数歹U｛〃〃｝满足q=2,=%-1，则。2024=（）

A.3B.2C.7D.-1

5.设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若率=7,则看=（）

、7»14

1831111

A.—B.-C.—D.—

7276

6.已知E，外是平面内两个不同的定点，则“||上阴|-|九里||为定值”是“动点M的轨

迹是双曲线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.定义[可表示不超过x的最大整数，例如：[0.3]=0,[2.1]=2,[-1.7]=-2.若

〃+2

(〃eN+),数列｛6｝的前〃项和为S“，贝1]邑。=()

A.64B.70C.77D.84

22

8.已知椭圆C*+3=l(a>b>0)的左，右焦点分别为片，F2,/卜形,1)为椭圆。内

一点，对称中心在坐标原点，焦点在x轴上的等轴双曲线E经过点(6,1),点。6)

在E上，若椭圆C上存在一点P,使得小图+1%1=4,则C的离心率的取值范围是

()

2A/22A/22四后'

丁，丁

"V|2"

7

二、多选题（本大题共4小题）

22

9.已知关于X,＞的方程一=+J=i表示的曲线是£,则曲线£可以是（）

4一mm-2

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

10.在数列｛%｝中，％=1,出=3,V〃eN*,a“+2=a”+「a”,S”为｛%｝的前〃项和，则邑"的值

可以为（）

A.0B.3C.4D.5

11.等差数列｛%｝的前〃项和为S“，公差为d,⑸-邑）（凡-邑）＜0，则下列结论正确的

是（）

A.若d＜0,则无＜。B.若4＞0,则当〃=6时，S”最小

C.V〃eN*，42a；D.若％=21,d为整数，则d=-4

12.经过抛物线C:/=2px（p＞0）的焦点厂的直线/交C于45两点，O为坐标原点，

设5（尤2,%乂%〉%），|/冏的最小值是4,则下列说法正确的是（）

A.OAOB=3

B.|/斤|+忸厂|=|4F|忸尸|

C.若点加］|,1］是线段的中点，则直线/的方程为2x-y-2=0

D.若刀=4方，则直线/的倾斜角为60°或120°

三、填空题（本大题共4小题）

13.已知数列｛%,｝的通项贝!1。5+4«=__________.

n+5

14.已知椭圆£:2+/=1的左，右顶点分别为4,B,上顶点为C,则直线。，

C8的斜率之积为.

22

15.已知尸，/分别是双曲线二-a=1（。＞0力＞0）的左焦点和右顶点，过点下作垂直于

ab

x轴的直线/,交双曲线于M,N两点，若则双曲线的离心率

为.

47〃+33

16.已知两个等差数列｛%｝和也｝的前"项和分别为4和瓦,，且苗=）不，则使得

Dn“十3

乎为整数的正整数n的集合是.

四、解答题(本大题共6小题)

17.已知等差数列｛%｝的前〃项和为&=-2,%=25.

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

(2)求S”的最小值及取得最小值时n的值.

18.已知数列｛。“｝的前〃项和为5“，且S“=-；/+5〃("eN*).

(1)求数列｛与｝的通项公式；

⑵求数列｛寓|｝的前n项和

19.如图，过抛物线C:f=2/(°>0)的焦点/的直线与C相交于4,8两点，当直

线4B与y轴垂直时，MB1=4.

(1)求C的方程；

(2)以为直径的圆能否经过坐标原点0?若能，求出直线的方程;若不能，请说

明理由.

7〃—12*

20.已知数列｛。"｝满足q=1,。用=、(*N).

乜J-3

(1)求证：数列｛占｝为等差数列；

(2)求数列缶“｝的通项公式与最大值.

22

21.已知椭圆C:三+4=l(a>b>0)的短轴长与焦距均为2,A,3是椭圆上的动点，

ab

O为坐标原点.

⑴求椭圆的标准方程；

⑵若直线。4与斜率的乘积为-；，动点尸满足方=刀+/彷，(其中实数几为常数

),若存在两个定点耳，F2,使得|尸耳|+十£卜2C，求丹，鸟的坐标及2的值.

22.已知曲线C上的任意一点到直线x=警的距离是它到点(石,0)的距离的手倍.

(1)求曲线C的方程;

(2)设M(-2,0),N(2,0),过点G(4,0)的直线/在夕轴的右侧与曲线c相交于aB两

点，记直线瓦V的斜率分别为七"，kBN,求直线/的斜率左的取值范围以及

后BN+3kAM的值.

答案

1.【正确答案】B

【详解】由抛物线方程可知，抛物线焦点在J轴正半轴，且=所以所求准线

方程为；-—―--2.

■

2.【正确答案】B

【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是

数值4,7,10,13,…满足3〃+1,所以通项公式可以是。“=(-1)"(3〃+1).

故选B.

3.【正确答案】A

【详解】由题意设双曲线的方程为4./-9/=2，

将点362近代入双曲线方程得2=4x(3G『-9x(20y=36,

所以双曲线的方程为4/-9/=36,即《一仁=1.

94

故选A.

4.【正确答案】C

2

【详解】因为数列｛%｝满足q=2,an+lan=a„-1,所以％=1，%=T，«4=>

1

%=5'…'

故数列的周期为3,故*=%=；•

故选C.

5.【正确答案】A

【详解】在等差数列｛%｝中，'，儿-凡，星「几成等差数列，即

2($14-H)=S+(S211sl4)，

设$7=7〃(加#0),则&4=7加，于是12加=加+(邑1-7加)，解得邑1=18羽，所以

5JI__18

丁丁

故选A.

6.【正确答案】B

【详解】充分性：当"IISHMII为定值”，但“U肛a比工I”时，“动点M

的轨迹不是双曲线”，不满足充分性；

必要性：双曲线上的动点"满足龙阴1-1〃居||为定值"，满足必要性；

因此TIM为定值”是“动点"的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.

故选B.

7.【正确答案】C

〃+2

【详解】因为4=亍，所以当时，an=l；

当4W〃W6/EN+时，。〃=2；

当7W〃W9,〃£N+时，%=3;…；

当3左一2W〃（3左，左£N+时，an=k.

所以q9=出。=7,S20=3（1+2+…+6）+7x2=77.

故选C.

8.【正确答案】B

【详解】因为等轴双曲线E经过点（百/），所以将（百」）代入可得双曲线£

的方程为二-仁=1,

22

由点0（。,6）在£上，得/一片=2,

所以椭圆C的左焦点£的坐标是卜板,0）,

因为|P/|+p周=4,所以户闻+（2a-户用）=4,即卢/|-|尸凰=4一2%

又归山-归耳忖阳|=1,当且仅当尸,4月共线时等号成立，

a5

所以|4一2441,解得］VaW；①,

又因为点止也」）在椭圆c内，所以怖+\<1,即

解得/<1（舍去）或/>4②,

5211

由①②得2K万,

cV2、2母母、

所以e=-=——e

aa52

故选B.

22

【思路导引】根据题意求出双曲线E的方程为由点。（凡6）在E上可求得。与6

的关系与椭圆的焦点坐标，由-图+产引=4及椭圆的性质可知|尸/|-|尸片1=4-2a,再根据点

。（。,与在£上和/卜后,1）为椭圆。内一点，求出。的取值范围进而即可得到离心率的取值

范围.

9.【正确答案】ABC

22

【详解】当4-加=冽-2〉0时，m=3,方程/一+上二=1可以化简为/+/=],曲线

4一加m-2

石是圆；

当4一加〉0,加一2〉0且4一次。机一2时，2＜加＜3或3＜加＜4,曲线E是椭圆；

当（4—加）（加—2）＜0时，冽＜2或加＞4,曲线后是双曲线.

故选ABC.

10.【正确答案】ACD

【详解】=3,4+2=%+「4，

**43=CL[Q]—,〃4=—02~—，々5=々4—々3=一，46=二—2，

%=a6~a5=1,%=%—4=3,…

，｛。”｝为以6为周期的数列，且久=1+3+2-1-3-2=0,

而V〃eN*，2"被6除的余数只能为0,2,4,

•••邑”的值只能为邑=1+3=4,邑=1+3+2-1=5,$6=0,

故ACD正确，B错误.

故选ACD.

【思路导引】利用列举法计算出。1,。2,。3,。4,。5,。6的值，进而得出｛%｝为以6为周期的数

列，又艮=1+3+27-3-2=0,进而可得邑"的值只能为邑，邑,艮，计算即可.

11.【正确答案】ABD

【详解】因为⑸-邑）（\-邑）＜0,

）＜X

所以（/+。6+%）（。5+。6+。7+。80，即342（O6+«7）＜0,

即a6（a6+a7）＜0'

若d<0,等差数列｛%｝为递减数列,

则得&>0,Q+%<0,则52=12（%；%2）=6（&+%）<0,故A正确；

若d>0,等差数列｛%｝为递增数列，

贝!!&<0，&+。7>°，则%>0，久最小，故B正确；

由。6（。6+%）<0，得城<-a6a7，所以同<卜。6%］，

所以㈤<|%|，<a7>故C错误；

若为=21,结合0；<-&07，知。6。7<0，则必有d<0,贝!|R>0，%<0，

由4=%+5d>0,%+%=24+1M<0,

2142

解得-（<〃<-■1P又d为整数，所以1=-4,故D正确，

故选ABD.

12.【正确答案】BC

【详解】尸（1，0），由题意可知直线/的斜率存在且不为0，可设直线/的方程为

P

x=my+—,

y2=2px

联立,p，y2-2pmy-p2=0,

x=my+—

A=4p2m2+4p2>0，

2

%>2=-p2，%+丁2=2pm,xt+x2=m(yl+y2)+p=2pm+p,

222

2p2P4

所以|4a=再+%2+2=22(加2+1"22,当冽=0时等号成立,

所以2夕=4,p=2,所以抛物线方程为/=4x,

所以再％=1，%%=-4,

所以OAOB=xxx2+yry2=-3,A选项错误；

\AF\=xx+1,|5F|=x2+1,

2

所以\AF\+\BF\=+x2+2=4m+4,

|T4F|X|5F|=(再+l)(x2+1)=xxx2++x2+1=4m2+4,

所以MT+忸用=M用忸引，B正确；

因为点是线段的中点，所以外+%=2,即4加=2,加=g,

所以直线/的方程为2x-y-2=0,C正确；

AB=4FB^所以M尸|=3|产用,即项+1=3（%2+1）,所以玉-3%-2=0,

3

因为再％=1,所以芯2=。，即％；-2项—3=0,解得项=3（演=—1舍去），

%i

又必>力，故M>0>%，所以/（3,26），

所以直线/的斜率为正2=6，直线/的倾斜角为60。，D错误.

3-1

故选BC

【关键点拨】求解直线和抛物线V=2力相交所得弦长，如果直线过焦点，此时直线的斜率

存在且不为0,故可设直线的方程为》=叼+1，这样的设法可以避免讨论直线的斜率是否

存在，减少一定的运算量.

13.【正确答案】工

【详解】由于数列｛%｝的通项4=£

n+5

所以%+%0=B・

14.【正确答案】二

16

【详解】由题意知/（一4,0）,5（4,0）,C（0,l）,所以心.3=雇乙x±=-+,

即直线。，C3的斜率之积为

16

15.【正确答案】2

2272

【详解】设尸（-C,o）,将x=-c代入=v一七=1,得了=±幺，所以

aba

因为/（。⑼，且由双曲线的对称性可知，刊,

所以|MF|=|/司，即欧=q+c,即62=^+皿

a

所以/-QC-2“2=0,BPe2-e-2=09

因为e>l,所以e=2,

所以双曲线的离心率为2,

故2.

16.【正确答案】｛1,2,5)

一+“2〃-1

7（2”-1）+33

【详解】由%=2

bn仄+&-i%-12〃-1+3

2

14〃+267/7+137（〃+1）+6「6

----------=--------------------------=7H--------，

2〃+2n+1n+1n+\

因为?为整数且“eN*，所以〃=125.

b,

故答案为.｛1,2,5｝

17.【正确答案】(1)。“=3〃-14

(2)当〃=4时，S,最小，最小值为-26

【详解】（1）设等差数列｛%｝的公差为小

1nxo

由。4二-2,S10=25,得q+3d=-2,10%H--—d=25,解得％=—11,d=3,

所以〃〃=%+（〃-1”=3〃-14.

（2）方法一：由d=3知｛%｝是递增数列，

当〃W4时，«„<0；当”》5时，a„>0.

所以耳>52>£>邑<55<…，

4x3

所以当〃=4时，S〃最小，最小值为邑=4%+—^-xd=-26.

625

方法二:

~2A

又〃eN*,所以当"=4时，S“最小，最小值为-26.

18.【正确答案】⑴。“=一3〃+21

339

——nH----nA<n<7

22

339

—n2----n+126,n>8

.22

33Q

【详解】(1)由N*),

339T3?39-

当〃22时，=S〃一11=_,“+—n--(H-1)-H^-(«-l)=与〃+21,

当〃=1时，4=5=18,满足上式，

综上，%=-3〃+21.

(2)令420,得21—3〃20,解得〃07,

令%<0,得21—3〃<0,解得〃〉7,

339

则当］<〃(7时，Tn=1^|+|a2|Haj=%+2~1-----1~%=一万"?，

当“28时，Tn=+a2-\----F%)—-----*~Q“)

23239

=2S7-S=2x63-|--n+—n\=—n----n+126,

7"I22)22

32391-

—nH-----w,l<n<l

22

综上所述,

339

—n2---n+126,〃>8

22

19.【正确答案】（l）I=4y

（2）不能，理由见解析

【详解】（I）尸点的坐标是（0,£|,

当直线N3与y轴垂直时，点4,3的坐标分别是［-P,^

\AB\=2p=^,解得p=2,

所以C的方程是，=4），.

（2）以N3为直径的圆不可能经过坐标原点O,理由如下：

如图，

直线的斜率显然存在，设其方程为歹=丘+1,

代入/=4y,消去y并整理得/_4履-4=0,

设力（再,必），B（x2,y2）,贝1］芭%2=—4

因为OA-OB-xxx2+yxy2=再型+>/=-4+1=—3,

■■~16

所以。4与08不垂直.

因此，以为直径的圆不可能经过坐标原点.

20.【正确答案】（1）证明见解析

（2）。“=，+2,最大值是;.

3〃一42

【详解】（1）因为一1一一I

。”+「2an-2

1

=______^=X-5__^=X-6=3_^=_1

7a”-12_2an—2a„—2an—2an—2ax—2,

3a,-5

所以数列是以-1为首项，3为公差的等差数列.

（2）由（1）可得一+^an=—^—+1.

23^-4

当〃22时，由反比例函数的性质知｛4｝单调递减，

所以电>%"A册>…，

又4=1,%=g,ax<a2,

所以数列｛%｝的最大值是，

21.【正确答案】⑴三+/=1;

（2）2=土也，耳卜啊,《（6,0）或耳（代町,巴卜6。）.

【详解】（1）椭圆C的短轴长与焦距均为2,可得26=2c=2,所以b=c=l,

因为/=62+02=2,所以椭圆的标准方程为片+2=1.

2

（2）设尸（xj）,4（再,必）,/%,%）,

由丽=况+4彷，可得%=再+4%2，>=必+4%，

因为点4,5在椭圆一+2歹2=2上，

所以工；+2%之=2,%；+=2,

则%2+2）2=（x；+丸2%；+22毛%2）+2（）；+丸?）；+22必%）

—（x：+2y；）+X?（x；+）+24（/％2+2yly2）=2+24?+2%（/％2+2%,

又因为电,%=二一；，所以石工2+2%歹2=0，

22

所以/+2/=2+2矛，即=

^2+2221+A2

fV2

所以点尸是椭圆一J+上方