人教版初中数学同步7年级上册第2讲有理数(学生版+解析)

第2讲有理数掌握有理数的概念及分类；掌握数轴的概念、三要素、与有理数的关系；掌握相反数的概念、求法及表示方法；掌握绝对值的代数定义、几何定义以及其性质。知识点01有理数1.有理数的定义：⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。2.有理数的分类:①按正、负分类:②按有理数的意义来分:总结：①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数1．在﹣3.5，，，0.161161116…中，有理数有()个．A．1 B．2 C．3 D．42．最大的负整数是()A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在3．在数﹣，﹣1，，﹣，0中，负分数有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．在﹣125%；；25；0；﹣0.3；0.67；﹣4；中，非负数有()A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．在有理数﹣4.2，6，0，﹣11，﹣中，负整数有个．6．把下列各数填在相应的集合中：15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，．正数集合{…}；负分数集合{…}；非负整数集合{…}；有理数集合{…}．知识点02数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如，数轴上的点π不是有理数)3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。7．数轴上表示数5的点和原点的距离是()A． B．5 C．﹣5 D．﹣8．下列数轴表示正确的是()A． B． C． D．9．数轴上，把表示2的点向左平移3个单位长度得到的点所表示的数是()A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．510．数轴上表示3的点和表示﹣1的点的距离是个单位长度．11．在数轴上离开原点的距离为6个单位的数是．12．画一条数轴，并在数轴上标出下列各数．﹣3，2，﹣1.5，0，+3.5，4知识点03相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵0的相反数是0；⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。4.相反数的求法⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如：5的相反数是-5)；0的相反数还是0；⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简(如；5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b)；注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-(-5)，化简得5)；)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数5.相反数的表示方法⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。当a>0时，-a<0(正数的相反数是负数)当a<0时，-a>0(负数的相反数是正数)当a=0时，-a=0，(0的相反数是0)6.多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。13．﹣2021的相反数等于()A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣14．下列各组数中互为相反数的是()A．﹣4和 B．4和﹣4 C．﹣4和﹣ D．和415．若x与3互为相反数，则x+1等于()A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．216．如果一个数的相反数大于它本身，则这个数为数．17．若m是﹣6的相反数，则m的值是．18．若a+12与﹣8+b互为相反数，求a与b的和．知识点04绝对值⒈绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。2.绝对值的代数定义⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0.可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。可归纳为①：a≥0，<═>|a|=a(非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。)②a≤0，<═>|a|=-a(非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。)3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；绝对值是0的数是0.即：a=0<═>|a|=0；⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.绝对值可表示为：或；即：|a|≥0；绝对值的问题经常分类讨论19．﹣2021的绝对值是()A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣20．在0，1，﹣5，﹣1四个数中，最小的数是()A．0 B．1 C．﹣5 D．﹣121．若|x|＝5，|y|＝2且x＜0，y＞0，则x+y＝()A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣322．当x＜1时，化简：|x﹣1|＝．23．已知﹣3＜y＜2，化简|y﹣2|+|y+3|＝．24．已知|a|＝2，|b|＝3，且b＜a，试求2a﹣3b的值．一．选择题1．﹣的相反数是()A． B． C．2021 D．﹣20212．﹣的绝对值是()A．﹣ B． C． D．﹣3．下列说法中，正确的是()A．0不是有理数 B．只有0的绝对值等于它本身 C．有理数可以分为正有理数和负有理数 D．任何有理数都有相反数4．在0，1，﹣5，﹣1四个数中，最小的数是()A．0 B．1 C．﹣5 D．﹣15．在，125%，﹣25，0，﹣0.3，0.67，﹣4，中，非负数有()A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．下列关于数轴的图示，画法不正确的有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动3个单位至点B，则点B对应的数是()A．﹣ B．﹣2 C．3 D．8．适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有()A．4个 B．5个 C．7个 D．9个二．填空题9．在﹣8，2020，3，0，﹣5，+13，，﹣6.9中，正整数有个．10．若|﹣1﹣2|＝．11．若a，b互为相反数，则a(a+b)的值为．12．在数轴上，已知点A所表示的数为﹣2，则点A移动4个单位长度后所表示的数是．13．数a的位置如图，化简|a|+|a+4|＝．三．解答题14．把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内：﹣11，，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%．(1)整数集合：{…}；(2)分数集合：{…}；(3)非负整数集合：{…}；(4)负有理数集合：{…}．15．请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数：﹣3，，4．16．在数轴上表示下列各数，并用“＜”符号将它们连接起来．﹣4，|﹣2.5|，﹣|3|，﹣1，﹣(﹣1)，017．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，D，C，其中AB＝2，BD＝3，DC＝1，如图所示，设点A，B，D，C所对应数的和是p．(1)若以B为原点，写出点A，D，C所对应的数，并计算p的值；(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝1，求p的值．18．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，b﹣a0，c﹣a0．(2)化简：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|．第2讲有理数掌握有理数的概念及分类；掌握数轴的概念、三要素、与有理数的关系；掌握相反数的概念、求法及表示方法；掌握绝对值的代数定义、几何定义以及其性质。知识点01有理数1.有理数的定义：⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。2.有理数的分类:①按正、负分类:②按有理数的意义来分:总结：①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数1．在﹣3.5，，，0.161161116…中，有理数有()个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：﹣3.5是负分数，故是有理数；是正分数，故为有理数；，0.161161116…都是无限不循环小数，故不是有理数；∴有理数有两个，故选：B．2．最大的负整数是()A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在【解答】解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是﹣1．故选：C．3．在数﹣，﹣1，，﹣，0中，负分数有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：﹣和﹣是负分数，故选：B．4．在﹣125%；；25；0；﹣0.3；0.67；﹣4；中，非负数有()A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：在﹣125%；；25；0；﹣0.3；0.67；﹣4；中，非负数有，25，0，0.67，共4个．故选：C．5．在有理数﹣4.2，6，0，﹣11，﹣中，负整数有1个．【解答】解：在有理数﹣4.2，6，0，﹣11，﹣中，负整数有﹣11这1个，故答案为：1．6．把下列各数填在相应的集合中：15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，．正数集合{15，0.81，，171，3.14，π，…}；负分数集合{﹣，﹣3.1…}；非负整数集合{15，171，0…}；有理数集合{15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，…}．【解答】解：正数集合{15，0.81，，171，3.14，π，…}；负分数集合{﹣，﹣3.1…}；非负整数集合{15，171，0…}；有理数集合{15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，…}．故答案为：15，0.81，，171，3.14，π，；﹣，﹣3.1；15，171，0；15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，．知识点02数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如，数轴上的点π不是有理数)3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。7．数轴上表示数5的点和原点的距离是()A． B．5 C．﹣5 D．﹣【解答】解：数轴上表示数5的点和原点的距离是5；故选：B．8．下列数轴表示正确的是()A． B． C． D．【解答】解：A选项，应该正数在右边，负数在左边，故该选项错误；B选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误；C选项，没有原点，故该选项错误；D选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确；故选：D．9．数轴上，把表示2的点向左平移3个单位长度得到的点所表示的数是()A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【解答】解：由数轴可知：把表示2的点向左平移3个单位长度得到的点所表示的数是﹣1．故A、C、D错误，故选：B．10．数轴上表示3的点和表示﹣1的点的距离是4个单位长度．【解答】解：由题意可知：3﹣(﹣1)＝4．故答案为：4．11．在数轴上离开原点的距离为6个单位的数是±6．【解答】解：根据绝对值的意义，得：数轴上到原点的距离是6个单位长度的点表示的数，即绝对值是6的数是±6．故答案为：±6．12．画一条数轴，并在数轴上标出下列各数．﹣3，2，﹣1.5，0，+3.5，4【解答】解：如图：知识点03相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵0的相反数是0；⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。4.相反数的求法⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如：5的相反数是-5)；0的相反数还是0；⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简(如；5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b)；注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-(-5)，化简得5)；)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数5.相反数的表示方法⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。当a>0时，-a<0(正数的相反数是负数)当a<0时，-a>0(负数的相反数是正数)当a=0时，-a=0，(0的相反数是0)6.多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。13．﹣2021的相反数等于()A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣【解答】解：﹣2021的相反数是2021，故选：A．14．下列各组数中互为相反数的是()A．﹣4和 B．4和﹣4 C．﹣4和﹣ D．和4【解答】解：A、﹣4和中的符号不同，数不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意；B、4是相反数是﹣4，故本选项符合题意；C、﹣4和中的数都不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意；D、4和中的符号相同，数不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意．故选：B．15．若x与3互为相反数，则x+1等于()A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．2【解答】解：∵x与3互为相反数，∴x＝﹣3,∴x+1＝﹣3+1＝﹣2．故选：A．16．如果一个数的相反数大于它本身，则这个数为负数．【解答】解：负数的相反数是一个正数，大于它本身．故这个数是负数．故答案为：负．17．若m是﹣6的相反数，则m的值是6．【解答】解：∵m是﹣6的相反数，∴m＝6．故答案为：6．18．若a+12与﹣8+b互为相反数，求a与b的和．【解答】解：∵a+12与﹣8+b互为相反数，∴a+12﹣8+b＝0，则a+b＝﹣4．知识点04绝对值⒈绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。2.绝对值的代数定义⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0.可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。可归纳为①：a≥0，<═>|a|=a(非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。)②a≤0，<═>|a|=-a(非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。)3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；绝对值是0的数是0.即：a=0<═>|a|=0；⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.绝对值可表示为：或；即：|a|≥0；绝对值的问题经常分类讨论19．﹣2021的绝对值是()A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，故选：B．20．在0，1，﹣5，﹣1四个数中，最小的数是()A．0 B．1 C．﹣5 D．﹣1【解答】解：∵﹣5＜﹣1＜0＜1，∴最小的数是﹣5，故选：C．21．若|x|＝5，|y|＝2且x＜0，y＞0，则x+y＝()A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2，∴x＝±5，y＝±2，∵x＜0，y＞0，∴x＝﹣5，y＝2，∴x+y＝﹣3．故选：D．22．当x＜1时，化简：|x﹣1|＝1﹣x．【解答】解：∵x＜1，∴x﹣1＜0，∴原式＝﹣(x﹣1)＝1﹣x．23．已知﹣3＜y＜2，化简|y﹣2|+|y+3|＝5．【解答】解：∵﹣3＜y＜2，∴|y﹣2|+|y+3|＝2﹣y+y+3＝5．故答案为：5．24．已知|a|＝2，|b|＝3，且b＜a，试求2a﹣3b的值．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3，又∵b＜a，∴a＝2，b＝﹣3或a＝﹣2，b＝﹣3．当a＝2，b＝﹣3时，2a﹣3b＝2×2﹣3×(﹣3)＝4+9＝13；当a＝﹣2，b＝﹣3时，2a﹣3b＝2×(﹣2)﹣3×(﹣3)＝﹣4+9＝5．一．选择题1．﹣的相反数是()A． B． C．2021 D．﹣2021【解答】解：﹣的相反数是．故选：A．2．﹣的绝对值是()A．﹣ B． C． D．﹣【解答】解：﹣的绝对值为，故选：B．3．下列说法中，正确的是()A．0不是有理数 B．只有0的绝对值等于它本身 C．有理数可以分为正有理数和负有理数 D．任何有理数都有相反数【解答】解：0是有理数，故A错．非负数的绝对值等于其本身，故B错．有理数分为正有理数和负有理数及0，故C错．任意有理数都有相反数，故D正确．故选：D．4．在0，1，﹣5，﹣1四个数中，最小的数是()A．0 B．1 C．﹣5 D．﹣1【解答】解：∵﹣5＜﹣1＜0＜1，∴最小的数是﹣5，故选：C．5．在，125%，﹣25，0，﹣0.3，0.67，﹣4，中，非负数有()A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：在，125%，﹣25，0，﹣0.3，0.67，﹣4，中，非负数有在，125%，0，0.67共4个．故选：C．6．下列关于数轴的图示，画法不正确的有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：通过观察易知(1)数轴单位长度不一致故错误；(2)数轴没有原点，故错误；(3)数轴原点，单位长度，正方向都具有，故正确；(4)数轴没有正方向，故错误；故不正确的由(1)(2)(4)共三个，故选：B．7．如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动3个单位至点B，则点B对应的数是()A．﹣ B．﹣2 C．3 D．【解答】解：∵点A对应的数是，将点A向左移动三个单位，∴﹣3＝，即点B表示的数为．故选：D．8．适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有()A．4个 B．5个 C．7个 D．9个【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离，|a﹣3|表示a到3点的距离，由﹣5到3点的距离为8，故﹣5到3之间的所有点均满足条件，即﹣5≤a≤3，又由a为整数，故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个，故选：D．二．填空题9．在﹣8，2020，3，0，﹣5，+13，，﹣6.9中，正整数有2个．【解答】解：正整数：既要是正数，又要是整数所以符合题意的正整数只有2020，+13正整数只有2个，故答案为：2．10．若|﹣1﹣2|＝3．【解答】解：|﹣1﹣2|＝|﹣3|＝3，故答案为：3．11．若a，b互为相反数，则a(a+b)的值为0．【解答】解：∵a，b互为相反数，∴a+b＝0，∴a(a+b)＝0，故答案为：0．12．在数轴上，已知点A所表示的数为﹣2，则点A移动4个单位长度后所表示的数是﹣6或2．【解答】解：﹣2﹣4＝﹣6，﹣2+4＝2．故点A移动4个单位长