高二上学期期末数学试卷（提高篇）（解析版）

高二上学期期末数学试卷（提高篇）参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023下·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2，则PO⋅PA+A．109 B．263 C．8【解题思路】将PA转化为PO+OA，PB转化为PO+OB，由三棱锥是正三棱锥可知PO⊥AO，PO⊥BO，即可将PO⋅PA转化为【解答过程】∵P-ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，AO、BO⊂平面∴PO⊥AO，PO⊥BO，△ABC是等边三角形，∴PO⋅OA=0故PO⋅PO⋅则PO⋅故选：D.

2．（5分）（2023下·广东广州·高二校联考期末）已知双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，设点P为C右支上一点，P点到直线x=A．d+PF1的最小值为2C．直线l的斜率的取值范围是3,+∞ D．△PF1【解题思路】根据题意作图，结合双曲线的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程，可得答案.【解答过程】由题意，a=1，c=1+3

对于A，由题意以及图象可知：当P与右顶点重合时，d+PF1取得最小值为a-对于B，令Px,y且x≥12，则P对于C，由渐近线方程为y=±3x，过F2结合图象可知：直线l的斜率的取值范围为-∞,-3对于D，若内切圆与△PF1F则PD=PE，F1D=即F1由F1F=a+c=3，F2F=c-a=1，即F与右顶点重合，易知△PF1故选：D.3．（5分）（2023下·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知fx是可导函数，且f'x<fxA．f(1)<ef(0)，f(2023)>e2023f(0)C．f(1)>ef(0)，f(2023)<e2023f(0)【解题思路】构造函数g(x)=f(x)【解答过程】设g(x)=f(x)ex，则g'(x)=所以g(x)是R上的减函数，∴g(0)>g(1)>g(2023)，即f(0)>f(1)即f(1)<ef(0)，故选：D．4．（5分）（2023上·安徽滁州·高二校联考期末）已知等比数列an的公比为-13，其前n项和为Sn，且a1，a2+43，a3A．2 B．76 C．103 D【解题思路】由已知可求得Sn=32-32⋅-13n，n为奇数时，Sn=32+32⋅13n，根据单调性可得：3【解答过程】等比数列an的公比为-13，因为a1，a2+43所以Sn当n为奇数时，Sn=32+32当n为偶数时，Sn=32-32所以Sn的最大值与最小值分别为2，4函数y=t-2t在0，B≥Sn-2S故选：B．5．（5分）（2023下·四川成都·高二校联考期末）如图，已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线C

①若a2+3m②若|PF1|⋅|PF2③△F1P④若∠F1PF2=60°，则当A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解题思路】对于①，由椭圆和双曲线的定义结合a2+3m2=4c2得到b=3n，①正确；对于②，由椭圆定义和双曲线定义结合|PF1|⋅|PF2| =2得到a2-m【解答过程】①∵a∴aa2+3m∴b=3n，故②∵P在第一象限，且|PF1|(|PF即a2-m③设椭圆的焦距为2c，∠F1PF2=θ，解得|PF1∵c2=∴Pcosθ=|PFS△F1④设椭圆的焦距为2c，则|PF1|解得|PF1在△F1P整理得4c2=e1当且仅当e22=3故选：D．6．（5分）（2023上·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）对于圆x-a2+y-b2=r2r>0上任意一点Px,y①点a,b的轨迹是一个圆；

②点a,b的轨迹是一条直线；③当m-n=4时，r有最大值255；

④当r=5，其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】由d=5⋅(|x-2y+m|5+|x-2y+n|5)，将已知条件看作且已知圆在平行线x-2y+m=0、x-2y+n=0之间得|m-n|5≥2r【解答过程】令d=5⋅(|x-2y+m|5+|x-2y+n|5)，可看作由x-2y+m+x-2y+nm≠n所以距离之和与P在圆上的位置无关，故已知圆在平行线x-2y+m=0、x-2y+n=0之间，而两线距离为|m-n|5当|m-n|5=2r时，a,b的轨迹是平行于x-2y+m=0、x-2y+n=0直线，当|m-n|5>2r时,a,b的轨迹不是直线③m-n=4时，r≤|m-n|2④r=5，m=1时r=5≤|1-n|25所以正确的有③.故选：A.7．（5分）（2023下·福建三明·高二统考期末）设函数fx=eA．函数fx的单调递减区间为-1,B．曲线y=fx在点1,3e处的切线方程为C．函数fxD．若方程fx=k有两个不等实根，则实数k的取值范围为【解题思路】根据导数的运算法则及初等函数的导数公式，利用导数值的定义及求过点处的切线方程的步骤，结合导数法求函数的极值的步骤及将方程fx=k有两个不等实根转化为y=k与f【解答过程】由题意可知fx的定义域为-f'令f'(x)=0，即exx当x∈-∞当x∈-1,0∪所以fx在-∞,-1和12,+∞故A错误；当x=-1时，fx取得极大值为f当x=12时，fx因为1e<4e对于B，切线斜率k=f曲线y=fx在点1,3e处的切线方程为即y=e(2x+1)，故对于D，由上分析可作出fx要使方程fx=k有两个不等实根，只需要y=k与由图可知，k∈0,所以实数k的取值范围为0,1e∪4e故选：D.8．（5分）（2023上·北京密云·高二统考期末）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，且满足AB=AC=AA1=1，点PA．当λ=1时，△ABP的面积S的最大值为2B．当μ=1时，三棱锥P-AC．当λ=12时，有且仅有一个点PD．当μ=12时，存在点P，使得A【解题思路】根据选项A，可得点P在CC1上运动，当点P运动到点C1时，△ABP的面积取得最大值，则S根据选项B，可得点P在B1C1上运动，则V设BC的中点为M，B1C1的中点为N，根据选项C，可得点P在B1C1上运动，则点P在MN上运动，可证得建立空间直角坐标系，设出点P的坐标，求得出点P的坐标，即可判断选项D.【解答过程】当λ=1时,BP=BC+μBB则当点P与C1AC由于直三棱柱ABC-A1B1C1，则AB⊥AA1,△ABC为等腰直角三角形,则AB⊥AC因为AC1⊂面ACC1则S△ABP=S△AB当μ=1时，则BP=λBC+BB1，点由于点A1到平面BPC的距离为定值22，点P到线段BC则S△BCP=12×2当λ=12时，BP=12BC+μBB1,设BC的中点为M，B1C1MN∩A1N=N，MN,A1N⊂平面又因为A1P⊂面A1当点P与点N重合时，A1N⊥面BCC1B则A1P⊥BP,故选项如图建立空间直角坐标系，设BB1的中点为H，CC1的中点为G，当μ=12时，BPA设平面APB1的法向量为m则A当a=12时，则A1B与m平行，则存在点P，使得A1B⊥故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知数列an满足a1=8，a2=1，an+2=-aA．a11=-2 BC．T99=-2049 D．T【解题思路】根据递推关系式可求得n为奇数和n为偶数时an的通项公式，进而确定T2n，知AB正误；由T99=T98+a99可确定C正确；分别讨论【解答过程】对于A，当n为奇数时，an+2=a∴an=8+n-12对于B，当n为偶数时，an+2=-an，又由A知：当n为奇数时，an则当n为偶数时，T2n当n为奇数时，T2n∴T2n=对于C，T99=T对于D，当n=2kk∈N*当k为偶数时，Tnmax=T8当n=2k-1k∈N*当k为偶数时，Tnmax=T7综上所述：Tnmax=T故选：ACD.10．（5分）（2023下·甘肃临夏·高二统考期末）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，正方形ABCD的中心为O，棱CC

A．OEB．SC．异面直线OD1与EFD．点F到直线OD1【解题思路】建立空间直角坐标系，结合空间向量逐项判断；【解答过程】故以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

B1,1,0,O12,12OE⋅BC=OF⋅OF=5根据三角函数两角正余弦关系解得：sinS△FOE=1ODOD1=62点F到直线OD1的距离为：而cosOF,所以OFsinOF,故选：ABD.11．（5分）（2023上·福建莆田·高二校考期末）已知抛物线C:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=5交于A、B两点，且AB=4，直线l过C的焦点A．p=2B．1C．存在某条直线l，使得MFD．若点G2,2，则△GFM周长的最小值为【解题思路】由AB=4则A、B两点坐标(1,2),(1,-2)且在抛物线C:y2=2px上，代入方程进而判断选项A；直线方程为x=my+1与抛物线联立，再根据韦达定理代入1MF+1NF可求其值则可判断选项B；利用选项B中1MF+1NF=1代入MF+2NF利用不等式求最小值后进行判断选项C；画出大致图像，过点M作准线的垂线，垂足为M'，交【解答过程】由对称性得点(1,2)在抛物线C:y所以22=2p，解得p=2，故设直线l和双曲线交于M(x设直线方程为x=my+1，代入抛物线方程可得：y2-4my-4=0，所以y1所以：1MF+1则MF+2当且仅当MF=1+2,如图，过点M作准线的垂线，垂足为M'，交y轴于M1，取MF的中点为D，过点D作y

过G作GH垂直于准线，垂足为H，所以△GFM的周长为MG+当且仅当点M的坐标为(1,2)时取等号，故D选项正确．故选：ABD．12．（5分）（2023下·辽宁·高二统考期末）已知函数fx=-1A．当fx有三个零点时，b的取值范围为B．gxC．设fx的极大值为M，极小值为m，若M+m=2，则D．若过点P1,1可以作fx图象的三条切线，则b【解题思路】由fx=0可得出b=13x3-x，利用导数分析函数hx=13x3-x的单调性与极值，数形结合可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用导数求出函数fx的极大值和极小值，结合M+m=2求出【解答过程】对于A选项，令fx=0可得令hx=13xh'x=x2x--1-1,111,+h+0-0+h增极大值2减极小值-增如下图所示：由图可知，当-23<b<23时，直线y=b对于B选项，gx=fg-x故函数gx=f对于C选项，f'x=-x2x--1-1,111,+f-0+0-f减极小值增极大值减所以，M=f1=b+2所以，M+m=2b=2，解得b=1，C错；对于D选项，设切点坐标为t,-13t所以，曲线y=fx在x=t处的切线方程为y+将点P的坐标代入切线方程得1+13t令pt=-23t令p't=0，可得t=0t-00,111,+p-0+0-p减极小值0增极大值1减若过点P1,1可以作f则直线y=b与函数pt由图可知，当0<b<13时，直线y=b与函数pt的图象有三个交点，合乎题意，故选：ABD.第Ⅱ卷三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022上·福建福州·高二校考期末）若对于圆C:x2+y2-2x-2y-2=0上任意的点A，直线l:4x+3y+8=0上总存在不同两点M，N，使得∠MAN≥90°，则【解题思路】将问题转化为直线l:4x+3y+8=0上任意两点为直径的圆包含圆C，结合直线上与圆C最近的点，与圆上点距离的范围，即可确定MN的最小值.【解答过程】由题设圆C:(x-1)2+(y-1)2所以C到l:4x+3y+8=0的距离d=|4+3+8|故圆C上点到直线l:4x+3y+8=0的距离范围为[1,5]，圆C上任意的点A，直线l:4x+3y+8=0上总存在不同两点M、N，使∠MAN≥90°，即以MN为直径的圆包含圆C，至少要保证直线上与圆C最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆C，所以MN≥10故答案为：10.14．（5分）（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）已知数列ann∈N*满足：an>0，其前n项和Sn=an2+2an-34，数列bnn∈N*满足【解题思路】根据给定条件，求出数列an的通项公式，进而求出bn并裂项，再按n分奇偶求出T【解答过程】∀n∈N*，an>0，且4S两式相减得4an=因此an-an-1=2，而4a1于是数列an是首项为3，公差为2的等差数列，即有abnT=14(显然数列{T2n}是单调递增的，∀n∈N*，T2n<因为∀n∈N*，不等式Tn<λ恒成立，则∀n∈N因此λ≥112且λ>2所以λ的取值范围是(2故答案为：(215．（5分）（2023下·河南南阳·高二校联考期末）已知函数fx=13x3-x2-x+ex-1e【解题思路】利用基本不等式判断出f'x>0，则fx在R上递增，求得f'x【解答过程】由题可知f'两处等号不能同时取到，所以f'fx在Rf'当且仅当x=0时等号同时成立，所以f3又f0=0，所以3a故答案为：-116．（5分）（2022下·北京·高一北京师大附中校考期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点，P是侧面①线段A1P②A③A1P与④三棱锥B-A【解题思路】过点A1作出与平面AEF平行的平面A1MN，找出其与面BB1C选项①中线段A1P的最大值可直接得到为A1M=52；选项②通过建系求向量数量积来说明B1D与平面A1MN不垂直，从而A1P⊥B1【解答过程】如图，延长CC1至E1，使得取B1C1的中点M，连接A连接E1M并延长交BB1于点N，则点N因为A1E1//AE，A1E所以A1E1同理可得A1M//平面又A1E1，A1M所以平面A1E1故点P在线段MN上.由图知，A1P≤A以D为原点，DA为x轴，DC为轴，DD1则D0,0,0，B11,1,1，A11,0,1DB1=1,1,1，因为DB1⋅A1而点P在线段MN上，所以条件A1P⊥B如图，连接DE，DA1，ME，则有ME//A故四边形A1DEM为梯形，A1M与因为点M，N分别为B1C1，B又MN⊄平面A1BC1，BC1⊂故线段MN上的点到平面A1BC1的距离都相等.又点所以三棱锥P-A1BC1的体积为定值，即三棱锥故答案为：①④.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023上·新疆昌吉·高二校考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB,AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．证明：

(1)BE//平面PAD；(2)平面PCD⊥平面PAD．【解题思路】（1）由题意可以点A为原点，以AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线BE的方向向量和平面PAD的法向量AB=1,0,0，由（2）求出平面PCD的一个法向量，由n⋅AB【解答过程】（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，又因为AB⊥AD，且PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，依题意，以点A为原点，以AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B1,0,0,C2,2,0由E为棱PC的中点，得E1,1,1，则BE所以AB=1,0,0为平面又BE⋅AB=又BE⊄平面PAD，所以BE//平面PAD．（2）由（1）知平面PAD的法向量AB=1,0,0，PD=设平面PCD的一个法向量为n=则n⋅PD=0n⋅DC=0，即2y-2z=0又n⋅所以n⊥AB，所以平面PCD⊥平面18．（12分）（2023上·广东广州·高二校联考期末）已知圆M：x-22+y(1)若t=0，求以P为圆心且与圆M相切的圆的方程；(2)若过点P的两条直线被圆M截得的弦长均为23，且与y轴分别交于点S、T，ST=34【解题思路】（1）由题意，可设圆P的方程为x+12+y2=r2，判断出点P在圆外，则圆P（2）先排除过点P与x轴垂直的情况，从而设过点P的直线方程为y-t=kx+1，再根据圆的弦长公式建立方程并化简可得8k2+6tk+t2【解答过程】（1）当t=0时，P-1,0，设圆P的方程为x+1因为-1-22+0所以圆P与圆M外切或内切，又M2,0，圆M的半径为2当两圆外切时：PM=2+r=2--1当两圆内切时：PM=r-2=2--1所以以P为圆心且与圆M相切的圆的方程为x+12+y（2）若过点P-1,t的直线与x轴垂直时，直线方程为x圆心M到直线x=-1设过点P的直线方程为y-t=kx+1，即kx-y+k+t=0由题意得，3k+tk化简得8k2+6tk+t2-1=0，设直线则k1+k对过点P的直线y-t=kx+1，令x=0，得y=k+t∴S0,∴ST=k所以t=±1.19．（12分）（2023上·天津宁河·高三校考期末）已知数列an是公差为1的等差数列，且a1+a2(1)求an和b(2)令dn=b(3)记cn=1a2n-1a2n+3,n=2k-1(2【解题思路】（1）结合等差数列与等比数列的通项公式及题目条件，用基本量表达条件中的式子，即可求得两数列的首项与公差公比，代入通项公式即可；（2）根据第一问写出dn（3）将前2n项和分成奇数项之和加上偶数项之和，分别求解奇数项和偶数项再相加即可.【解答过程】（1）∵数列an是公差为1的等差数列，且a∴a1+(a∴an∴数列an的通项公式为：a数列bn是等比数列，且b设数列bn的公比为q∴b1⋅(b∴bn∴数列bn的通项公式为：b（2）由（1）知bn∴d=2×[(∴d=2(1∵n∈N∴12∴1-1∴2(1-∴d（3）由（1）可知an∴cn∴S2n令An=c∴A==1Bn∴22∴-3=-=-=-4+4×=1∴Bn∴S2n∴数列cn的前2n项和S20．（12分）（2023上·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面ACC1A1为菱形，点(1)求点C到侧面ABB(2)在线段A1B1上是否存在点E，使得直线DE与侧面ABB1【解题思路】（1）先由题意证得DB，DC，A1D两两垂直，从而建立空间直角坐标系，再求出AC与平面（2）假设存在满足条件的点E，且A1E=λ⋅A1B1，从而得到DE=(【解答过程】（1）因为点A1在底面ABC上的投影为AC的中点D，所以A1D⊥又AC,BD⊂平面ABC，故A1D⊥AC，因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，点D为AC的中点，故AC⊥BD，所以DB，DC，A1D两两垂直，故以点D为坐标原点，直线DB，DC，A1D分别为x，.因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB=2，所以AC=22，DB=DA=DC=因为侧面AA1C又A1D⊥AC，所以则D(0,0,0)，A(0,-2,0)，B(2,0,0)，则AB=2,2,0设平面AA1B1B取z=1，则x=3,y=-3所以点C到平面AA1B（2）假设存在满足条件的点E，则存在λ∈[0,1]，使得A1则DE=因为直线DE与侧面AA1B所以67即4λ2+6又λ∈[0,1]，故λ=1因此存在满足条件的点E，且A1E=21．（12分）（2023上·江苏盐城·高二校联考期末）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F1作两条直线l1和l2，l1与C交于点A，B，l2与C交于点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，设直线l1和①若k1k2=-1，求证：直线②若k1+k2=32，过点F1作【解题思路】（1）依题意建立a,b,c的方程，求之即可得到椭圆方程；（2）①解法一利用韦达定理求得中点坐标，再利用斜率公式即可；解法二利用点差法求得直线斜率与中点的关系，从而得证；②当直线PQ的斜率不存在时，得k1+k2=0，与题意中的k1+k2=3矛盾，不符合题意；设直线PQ的方程为y=kx+m.由（2）①可知把P,Q的坐标代入可得k1、k2为方程4(k-m)x2+3x-3m=0【解答过程】（1）依题意得，ca=1所以椭圆C的标准方程为x2（2）①解法一：直线AB的方程为y=k1(x+1)，直线CD联立y=k1(x+1)设Ax1,y1同理得xQ=-4则kOP解法二：设Ax则x124则y2-y同理可得k2kOQ②当直线PQ的斜率不存在时，PQ⊥x轴，点P与点Q关于x轴对称，则k1+k故设直线PQ的方程为y=kx+m，由第（2）问可知xP=-4代入直线PQ的方程有-4化简得4(k-m)k同理有4(k-m)k所以k1、k2为方程又k1+k所以直线PQ的方程为y=kx+k+12，得直线PQ过定