2023年上海市15区中考一模数学试题知识点汇编 相似、锐角三角比的应用与圆含详解

2023年上海市15区中考数学一模汇编

专题07相似、锐角三角比的应用与圆（13题）

一.选择题（共1小题）

1.（2022秋•杨浦区校级期末）下列说法正确的是（）

A.三个点确定一个圆

B.当半径大于点到圆心的距离时，点在圆外

C.圆心角相等，它们所对的弧相等

D.边长为R的正六边形的边心距等于近R

2

二.填空题（共2小题）

2.（2022秋•杨浦区校级期末）已知与。3两圆外切，0102=5,。01的半径为3,那么G）O2的半径r为.

3.（2022秋•杨浦区校级期末）如图，矩形ABCo中，AB=S,AD=6,以A为圆心，r为半径作G）A,使得点。在

圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是.

Ξ.解答题（共10小题）

4.（2022秋•杨浦区校级期末）已知：如图，AB是OO的直径，C是。。上一点，COL48,垂足为点。，尸是废

的中点，OF与AC相交于点E,AC=∖2,EF=3.

（1）求AO的长；

5.（2022秋•杨浦区校级期末）如图，在aABC中，点。在边AB上，点尸、E在边AC上，且D尸〃BE,空望

FECE

（1）求证：DE//BC；

（2）如果生1」，S^ADF=2,求SMBC的值.

AE2

A

F

6.（2022秋•浦东新区期末）如图，在RtZ∖E4C中，NEAC=90°,NE=45°,点8在边EC上，BDLAC,垂足

为。，点尸在BO延长线上，ZFAC=ZEAB,BF=5,tan/AFB=3.

4

求：（1）AO的长；

7.（2022秋•青浦区校级期末）如图，在直角梯形ABCO中，AB∕∕DC,∕DAB=90°,AB=8,C£）=5,BC=3娓.

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）联结B£）,求/OBC的正弦值.

8.（2022秋•静安区期末）如图，己知在AABC中，为锐角，A。是BC边上的高，cosB=-",AB=I3,BC=

13

21.

（1）求AC的长；

（2）求/BAC的正弦值.

9.（2022秋•黄浦区校级期末）如图，在RtZ∖48C中，∕C48=90°,SinC=旦，AC=8,3。平分NCBA交AC边

5

于点ZX求:

(1)线段AB的长；

(2)ImZDBA的值.

10.(2022秋•青浦区校级期末)如图，已知在RtZXABC中，NC=90°,tan/ABC萼，点。在边BC上，BD=

4

8,连接AZλtanNDAC

(1)求边AC的长；

(2)求cot∕8AO的值.

A

11.(2022秋•徐汇区期末)如图，已知在BC中，CDLAB,垂足为点。，AD=2,80=6,tanB=2,点E是边

3

8C的中点.

(1)求边AC的长；

(2)求NE4B的正弦值.

12.(2022秋•杨浦区期末)如图，已知AABC是等边三角形，AB=6,点。在AC上，AD=2CD,CM是/AC8的

外角平分线，连接并延长与CM交于点E.

(1)求CE的长；

(2)求NEBC的正切值.

A

M

B

13.(2022秋•金山区校级期末)如图，在四边形ABCD中，BO平分NABC,/8。C=NA=90°,cos,ZABD=-.

5

(1)求证：ZXABQS/JBC且求出的值;

5CD

(2)如果8C=25,求四边形ABCO的面积.

2023年上海市15区中考数学一模汇编

专题07相似、锐角三角比的应用与圆（13题）

一.选择题（共1小题）

1.（2022秋•杨浦区校级期末）下列说法正确的是（）

A.三个点确定一个圆

B.当半径大于点到圆心的距离时，点在圆外

C.圆心角相等，它们所对的弧相等

D.边长为R的正六边形的边心距等于近R

2

【分析】分别根据确定圆的条件，点与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系及圆内接正六边形的性质对各选项

进行逐一判断.

【解答】解：A、只有不在同一条直线上的三点才可以确定一个圆，故本选项错误；

B、当半径大于点到圆心的距离时，点在圆内，故本选项错误；

C、只有在同圆或等圆中圆心角相等，它们所对的弧相等，故本选项错误；

D、边长为R的正六边形的边心距等于近R,故本选项正确.

2

故选：D.

【点评】本题考查的是确定圆的条件，点与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系及圆内接正六边形的性质，熟

练掌握以上知识是解答此题的关键.

二.填空题（共2小题）

2.（2022秋•杨浦区校级期末）已知Ool与OO2两圆外切,0102=5,OOi的半径为3,那么。。2的半径r为2.

【分析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径的和，即可求得结果.

【解答】解：∙.∙∈）01与。。2两圆外切，.∙.5=3+r,.）=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了两圆的位置关系:两圆外切时两圆的圆心距与两圆半径的关系，掌握这一关系是解题的关键.

3.（2022秋•杨浦区校级期末）如图，矩形ABC。中，AB=8,AD=G,以A为圆心，r为半径作。A,使得点。在

圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是6<r<10.

【分析】首先利用勾股定理得出AC的长，利用以A为圆心，r为半径作GM，使得点。在圆内，点C在圆外,

得出厂的取值范围即可.

【解答】解：如图，连接AC,

；矩形矩形ABCZ)中，AB=S,AO=6,

，AC=10,

：以A为圆心，r为半径作。A,使得点£>在圆内，点C在圆外，

半径，的取值范围是：6<r<10,

故答案为:6<r<10.

【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出r的取值范围是解题关键.

Ξ.解答题(共10小题)

4.(2022秋•杨浦区校级期末)己知：如图，AB是。。的直径，C是。。上一点，Col_A8,垂足为点O,尸是菽

的中点，O尸与AC相交于点E,AC=12,EF=3.

(1)求Ao的长；

【分析】(1)由尸是菽的中点，根据垂径定理的推论，得AEVAC，OFLAC,在RtEO中，利用勾股定理

求解即可；

(2)由Cf)L48,利用同角的余角相等得到ZC=NAOE,COSC=COSZAOE,在RtZ∖AEO,即可得到COSNAoE

的值.

【解答】解：⑴设40=r,贝∣JθB=r,

是标中点，

∙'∙AE=^^AC=6旦OF∙L4C,

在RtZ∖AEO中，AE2+OE1=OA2,

.,.62+(r-3)2=/,

解得：「』，

r2

OA号

(2)VOELAE9

：.ZA+ZAOE=90o,

,

∖CO-LABf

ΛZA+ZC=90o,

ΛZC=ZAOE9

9

"2"3

.∙.cosC=cos×AOE=TTT-=V∙

■L3D

~Γ

【点评】本题考查了垂径定理以及推论，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键.

5.(2022秋•杨浦区校级期末)如图，在AABC中，点。在边AB上，点尸、E在边AC上，KDF//BE,空望

FECE

(1)求证：DE//BC-,

(2)如果迎」，SMDF=2,求SΔABC的值.

AE2

【分析】(1)由。尸〃BE可得他望，再结合已知比例，可得他望，即可得证；

BDFEDBCE

(2)由图可知△?1£)尸与AOE尸等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由DE〃BC,得出aAOE

SZ∖ABC,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解.

【解答】(1)证明：［£)υ〃8E,

•.∙ADAF,

BDFE

ʌV∙∙∙AF二AE，

FECE

•・•—A■■D——~—AE,

DBCE

DE//BC.

(2)解：：空」，AE=AF+FE,

AE2

∙'∙AF=FE=yAE,

"SΔ∙ADF=2^^∆ADE,

5L'JDE∕∕BC,

：.∕∖ADE<^^ABC,

又∙.∙迪qL=i，

ECFE

∙'∙AEVAo

,

**SA&E=（万）2.SΔABC

∙'∙SZXABC=4,sʌADE=8SΔADF=16.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例.关键是利用平行线得出相

似三角形及比例，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题.

6.（2022秋•浦东新区期末）如图，在RtAEAC中，NEAC=90°,ZE=45o,点8在边EC上，BDlAC,垂足

为。，点F在B。延长线上，ZFAC^ZEAB,BF=5,tan∕AFB=3.

4

求：（1）A0的长；

【分析】(1)由锐角的正切定义，三角形面积公式，即可求解;

(2))由锐角的余切定义，即可求解.

【解答】解：⑴∙.∙4EAC=90°,

ΛZEΛB+ZBAC=90o,

VZMC=ZEAB,

.∙.∕E4C+/BAC=90°,

ΛZfiAF=90o,

Ytan/AFB=旭=2,

AF4

令A8=3x,则AF=4x,

'：BF1=AB1+AF2,

.".BF2=(3x)2+(4x)2,

.∙.BF=5x=5,

Vx=L

∙∖AB=3x=3,AF=4X=49

,.*BF*AD=AB*AF=2S^ABF^

.∙.5AO=3X4=12,

.∙.AO=乌

5

(2)在RtZVlB尸中，ADlBF,

.".AB2=BD∙BF,

.∙.32=5BD,

.∙.BQ=9

5

.∙.DF=BF-BD=H

5

VZEAC=90o,NE=45°,

ΛZBCD=45o,

；.NDBC=45°,

：.DC=BD=^-,

5

【点评】本题考查锐角的正切，余切的概念，关键是由勾股定理求出A3,4F的长；由射影定理求出BO的长.

7.(2022秋•青浦区校级期末)如图，在直角梯形ABC。中，AB//DC,ND4B=90°,AB=S,CD=5,BC=3√5.

(1)求梯形A8CZ)的面积；

(2)联结BD,求NOBC的正弦值.

【分析】(1)过C作CELA8于E,推出四边形A。CE是矩形，得到AO=CE,AE=CO=5,根据勾股定理得到

C£=VBC2-BE2=6,于是得到梯形ABCo的面积X(5+8)×6=39;

(2)过C作CHLBD于H,根据相似三角形的性质得到里山，根据勾股定理得到BD=JAB2+A∏2=

ADBDVAD+AU

√S2+62=10,于是得到结论.

【解答】解：(1)过C作CE_LA8于E,

∖,AB∕∕DC,∕OA8=90°,

ΛZADC=90°,

NA=/AOC=/AEC=90°,

.∙.四边形A。CE是矩形，

.∖AD=CE,AE=CD=5,

：.BE=AB-AE=3,

•：BC=3层,

ΛCE=√BC2,BE2=6,

梯形ABCZ)的面积=工X(5+8)×6=39;

2

(2)过C作CHLBD于H,

∖'CD∕∕AB,

：.ZCDB^ZABD,

：NCHO=NA=90°,

JXCDHs∕∖DBA,

.CHCD

"ADW

•：BD=>∕AB2+AD2=√82+62=10，

.CH_5

•∙—―，

610

：・CH=3,

：.ZDBC的正弦值=里='Xɪ

BC3√55

【点评】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助

线是解题的关键.

8.（2022秋•静安区期末）如图，已知在AABC中，NB为锐角，AO是BC边上的高，cosB=-S-,AB=13,BC=

13

21.

（1）求AC的长；

【分析】（1）由NB的余弦求出8。长，得到。C长，由勾股定理即可解决问题;

（2）过C作C4"L4B于H,由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题.

【解答】解：（I）TcosB=股=巨，AB=I3,

AB13

ΛβD=13×-^-=5,

13

：.CD=BC-BD=2l-5=16,

7ΛD≈VAB2-BD2=V132-52"⑵

∙'∙^C=VAD2+CD2=V122+162=20;

(2)作C〃_LA8于H,

CD

'：∆ABC的面积=工

22

Λ13CH=21×12,

13

252

ΛZBAC的正弦值是《旦=」工=生■.

AC2065

【点评】本题考查解直角三角形，关键是过C作CHLAB于”，由三角形的面积公式求出C”的长.

9.(2022秋•黄浦区校级期末)如图，在RtZwWC中，NCAB=90°,SinC=3,AC=S,BO平分NCaA交AC边

5

于点D.求：

(1)线段AB的长；

(2)tanNOBA的值.

【分析】(1)先解RtZ∖A8C,得出SinC=姻∙=2∙,设出AB=3&,则BC=5晨⅛BC1-AB2=AC2,得出方程(5A)

BC5

2-(382=82,解方程求出左的值，进而得到A8；

(2)过O点作。EJ_8C于E,设4O=x,贝IJCO=8-x.根据角平分线的性质得出。E=4O=x,利用"乙证明

RtΔβDE^RtΔBDΛ,得至IJBE=BA=6,那么CE=BC-8E=4.然后在RtZ∖CDE中利用勾股定理得出Z)E2+CE2

=CD2,即/+42=(8-χ)2,解方程求出X的值，即为AO的长，再根据正切函数的定义即可求解.

【解答】解：(1)：在RtZXABC中，ZCAB=90o,

.∙.sinC=例■=旦，BC1-AB2=AC2,

BC5

.∙.可设A5=3h则BC=5h

VAC=8,

.,.(5k)2-(3k)2=82,

∙.k=2(负值舍去)，

∙.ΛB=3×2=6;

(2)过。点作。E_L8C于E,设Af>=x,则CQ=8-χ.

∙.∙B。平分/C8A交AC边于点。，NCAB=90°,

：.DE=AD=x.

在RtABDE与RtABDA中，

[BD=BD

IDE=DA)

.".Rt∆BDE^RtΔβDACHL),

BE=BA=6,

.∖CE=BC-BE=5×2-6=4.

在RtACDf中,

VZCED=90",

.,.∕)E2+CE2=CD2,

.∖X2+42=(8-X)2,

解得X=3,

ΛAD=3,

.".tanZDBA--^-=—

AB62

【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，全等三角形的判定与性质，难度适中.准

确作出辅助线是解决第(2)问的关键.

10.(2022秋•青浦区校级期末)如图，已知在RtZ∖ABC中，ZC=90o,tanNABC^，点。在边上，BD=

4

8,连接A。，tanNDAC=∙∣∙∙

(1)求边AC的长；

(2)求cot/54。的值.

CDB

【分析】(1)设CD=Zr,解直角三角形RtA4CD得到AC=3x,再解RtZXABC得至∣J8C=4x,则BD=2x,由此

得到2Λ=8,解方程即可得到答案；

(2)先利用勾股定理得到A8=20,解RtZXABC得到COSB=刍，SinB=旦，再解RtaBOE,得至打后势，BE=->

5555

则AE=AB-BE窄，即可得到cot/BAD=CotNDAE萼/•

DDD0

【解答】解：（I）设cn=2x,

在RtZ∖ACD中，ZACD=90o,tanZDAC=I-

.CD2

AC3

；・AC=3x,

在RtZVlBC中，ZACB=90°,tanZABC=ɪ>

4

.AC3

BC4

JBC=4x,

：.BD=BC-CD=2x,

VBD=8,

•∙2x=8，

解得x—4,

∙*∙AC=3x=12；

(2)如图所示，过点。作。LAB于E,

由（1）得AC=12,BC=I6,

AB=VAC2+BC2=20）

...在RtAABC中，co≡B=-ɪʌ,sinB=-ɔɪ.

AB5AB5

.∙.在RtZ）E中，DE=BDsinB-,BE=BDcosB--

55

∙'∙AE=AB-BE=^,

0

∙*∙cotZBAD=cotZDAE

UDO

【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知相应的锐角三角函数的定义是解题的关键.

11.(2022秋•徐汇区期末)如图，已知在aABC中，CDlAB,垂足为点。，AD=2,8。=6,tanB=2,点E是边

3

BC的中点.

(1)求边AC的长；

(2)求NEAB的正弦值.

【分析】（1）利用/B的正切值先求出CZλ再利用勾股定理求出AC；

（2）过点E作EnLAB,垂足为凡先判断E尸是三角形的中位线，再求出EADF,AF及AE,最后求出NE48

的正弦值.

【解答】解：（1）-JCDYAB,

...△AC。、Z∖BCZ）均为直角三角形.

在Rt∆CDB中，

•：BD=6,tanB=型=2,

BD3

.,.CD=4.

在RtACDA中，

ΛC=VCD2+AD2

=V⅛2+22

=2«.

（2）过点E作EFLAB,垂足为凡

'JCDA-AB,EFVAB,

.'.CD//EF.

又；点E是边BC的中点，

C.EF是ABCD的中位线.

：.DF=BF=3,EF=^CD=2.

2

.".AF=AD+DF^5.

在RtAAEF中，

AE=JAF2+EF2

=Vδ2+22

=√29.

sin/EAB=空

AE

_2

√29

="♦

【点评】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系以及三角形的中位线定理是解

决本题的关键.

12.(2022秋•杨浦区期末)如图，已知AABC是等边三角形，AB=6,点。在AC上，AD=2CD,CM是NACB的

外角平分线，连接8。并延长与CM交于点£

(1)求CE的长；

(2)求/EBC的正切值.

【分析】(1)首先证明CE〃AB,则4ABOsaCEC,根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；

(2)过点E作£7/_LBC于点H,在直角△(7£：”中，利用三角函数求得C”和EH的长度，即可求得BH的大小,

即可求得三角函数值.

【解答】解：(1)在BC延长线上取一点尸,

VZ∖ABC是等边三角形，

ΛZABC^ZACB=GOQ,AB=B