成都市石室中学2023-2024学年度上期高2024届一诊模拟文科数学试卷（含答案）

成都某中学2023-2024年度上期高2024届一诊模拟

数学试题（文）

（总分：150分，时间：120分钟）

第I卷（共60分）

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1.已知集合/=例、=218=1€刈2*-3区1},则,08=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{1,2,3}D.[1,2]

2.已知纯虚数z满足目=|3+4i|,则zi=（）

A,±5B.3-4iC.-4+3iD.±5i

3.某公司一种型号的产品近期销售情况如表:

月份X23456

销售额y（万元）15.116.317.017.218.4

根据上表可得到回归直线方程_P=0.75x+）,据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额约为（）

A.18.85万元B.19.3万元C.19.25万元D.19.05万元

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体最长的棱长为（）

A.MB.V14C.>/13D.屏

5.下列说法正确的是（）

A.已知非零向量a，b>C>若a,C=6,C，则a=b

B.设x,yeR,则“是“xz2且的充分不必要条件

C.用秦九韶算法求这个多项式/（》）=十+2/-3/+4必一x+1的值，当

x=2时，匕的值为14

D.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”是两个

互斥且不对立的事件

6.已知2sina-sin夕=百，2cosa-cos/7=1,则cos（2a-2p）=（）

A1R厉C-n-

',飞B'—CI4D，-8

1

7.公差为d的等差数列｛q｝的首项为《，其前〃项和为可，若直线y=4x+加与

圆（x-2）2+y=l的两个交点关于直线y=-±广对称,则数列，U,的前100项和

I〃J

等于（）

100°9998

A.---B.---C.—D.1

10110099

混，氏+/66。/£1^）的图象如图所示，

8.己知函数f（x）=则（)

A.a>0,fe>0,c<0,d<0B.a<0,6>0,c<0,d>0

C.aVO,6>0,c>0,rf>0D.a>0,bVO,c>0,d>0

9.如图，棱长为2的正方体488-4国QA中，点P在线段皿上运动,以下四个命

题:

①三棱锥。-应匕的体积为定值：②G尸，C弁；③若Pe平面月BCD,则三棱锥G-HD

的外接球半径为6：④|c/|+|DP|的最小值为0+百.其中真命题有（）

A.B.(D@@c.(D®@@D.@@

10.执行如图所示的程序框图，则输出N的值与下面的哪个数最接近？（）

A.%B,至工5,103D,乌

Cr.P

999

11.已知函数f（x）=（lnx）2xlnx+gf有三个零点和和与，且玉＜马＜工3，则

2e

生++色土_+屿的取值范围是（）

A.一,0B.C.D.

e-5°

12.已知双曲线--/=1的右焦点为广，河（5.60）,直线MR与抛物线V=4x的准

3

线交于点N,点P为双曲线上一动点，且点P在以为直径的圆内，直线与以

为直径的圆交于点M,。，则花上仆|尸。|的最大值为（）

A.80B.81C.72D.71

第卷（共分）

II90甲队乙队

二、填空题（本题共4道小题，每小题S分，共20分）7o89

2

13.抛物线y=-x的焦点坐标为2219y

0x258

2

13

14.如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据(单位：分).若这两组数

据的中位数相等，且平均值也相等，则乂+y=.

15.在等腰直角三角形中，AB=2,M为斜边BC的中点，以M为圆心，曲为半径作就，点P在线

段BC上，点。在三上，则|万+诚|的取值范围是.

16.已知函数/(x)=，-er-2sinx,不等式f{a-x1")+"2Inx+x)W0对任意的xe(0,+8)恒成立,

则a的最大值为.

三、解答题(本题共6道小题，共70分)

17.(本小题满分12分)已知向量石=(sinx,l),3=(、/5cosx,-2),函数f(x)=(石+孙石.

(1)若石〃6，求COS2K的值；

(2)。，b,c为A43C的内角/,B,。的对边，a=2,且〃/)=；,求A48C面积的最大值.

18.(本小题满分12分)下图甲是由直角梯形/8CD和等边三角形组成的一个平面图形，其中

AB1BC,AD=2BC=2AB=2,将

ACDE沿CD折起使点E到达点P的位

图乙)，使二面角P-CD-8为直二面角.

(1)证明：AC上PD；

(2)求点B到平面PAC的距离.

19.(本小题满分12分)石室中学社团为庆祝石室中学2166年校庆，为同学们准备了礼物，计划采用无人

机空投的形式发放，进行游戏.现有甲、乙两种类型无人机性能都比较出色，但为了确保实际空投过程中的

学生安全得到保障，需预先进行测试。现在社团分别收集了甲、乙两种类型无人机在5个不同的地点测试

的某项指标数七，y,(i=L2,3,4,5),数据如下表所示:

地点1地点2地点3地点4地点5

甲型无人机指标数X24568

乙型无人机指标数y34445

(1)试求y与x间的相关系数r,并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；(若卜|>0.75,则线性

3

相关程度很高)

(2)从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人机指标数均高于乙型无人机指标数的

概率.

卮«0.95.

20.(本小题满分12分)已知函数/'(x)=ox2-xcosx+sinr-l.

(1)若a=l时，求曲线y=〃x)在点(0,〃0))处的切线方程；

(2)若a=l时，求函数f(x)的零点个数；

(3)若对于任意xw0,；,f(x)Nl-2。恒成立，求。的取值范围.

21.(本小题满分12分)已知8(-2,0),。(2,0)为入48。的两个顶点，P为A4BC的重心，边上

的两条中线长度之和为3#.

(1)求点P的轨迹「的方程；

(2)过C作不平行于坐标轴的直线交「于D,E两点，若DA/_Lx轴于点M,轴于点N,直线DN

与磔/交于点0.

①求证：点。在一条定直线上，并求此定直线；

②求面积的最大值.

选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

［选修44：坐标系与参数方程］(10分)

x=t2-2t-3

22.(本小题满分10分)在直角坐标系域8中，曲线G的参数方程为，(。为参数且),

y=t2-t-2

G分别与X轴、y轴交于2、B两点.以坐标原点。为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线G

的极坐标方程为22=16

1+3C0S*

4

(i)G与坐标轴交于aB两点，求m却；

(2)求上的点。到直线月B距离的范围.

［选修45不等式选讲］(10分)

9

23.(本小题满分10分)己知函数/"(x)=|x+4a|+X-晨节(。＞0).

(1)当a=g时，求不等式/'(x)W8的解集；

(2)若/'(x)的最小值为AM,求(加+1)2+16/+8a+1的最小值.

5

成都石室中学2023-2024年度上期高2024届一诊模拟

文科数学(A卷)参考答案

1.B【解析】/={小=2，/叫=例y21},B={xeN||2x-3|<l)={l,2},故/CI8={1,2}.故选：B.

2.A【解析】令z=bi(bo0),贝=|历|=|3+4i|=5,故6=±5,zi=±5.故选：A.

3.D【解析】由表中数据可得X=](2+3+4+5+6)=4,y=^(15.1+16.3+17+17.2+18.4)=16.8,

因为回归直线过样本点的中心，所以16.8=0.75x4+2,解得2=13.8，

所以回归直线方程为夕=0.75x+13.8,

则该公司7月份这种型号产品的销售额为^=0.75x7+13.8=19.05万元.

故选：D.

4.B【解析】由三视图可知多面体是如图所示的三棱锥"C-A，由图可知

222222

AB=2,BC=3,AC=V2+3=而，AD1=Vl+3=y/w,CD1=V2+l=下，

222

^D1=Vl+3+2=714

所以最长的棱长为y.

故选:B.

rzrrx

5.C【解析】对于A选项，若=贝0所以一口-以不能推出"=否，故A错误;

对于B选项，x22,y22成立时，必有f+j/Nd成立,

反之，取x=3,y=0,则成立，但xN25y22不成立,

因此“炉+/24”是“xN2,”2"的必要不充分条件，故B错误；

对于选项C,因为/卜)=/+2--3/+4/-;<;+1,

所以可以把多项式写成如下形式：fM=((((x+2)x-3)x+4)x-l)x+1,

按照从内而外的顺序，依次计算一次多项式当x=2的值：

%=2,片=2+2=4,v2=4x2-3=5,匕=5x2+4=14,故C正确；

对于选项D,至少有一个黑球包含的基本事件有“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件有“一

黑一红，两红”，所以两事件不互斥，故D错误；

故选：C.

1

6.D【解析】因为2sina-sin/=JJ，2cosa-cos夕=1,

所以平方得，(2sina-sin/?)?=3，(2cosa-cos/『=1,

即4sin2a-4sinasin/y+sin2^3=3,4cos2a-4cosacos/7+cos2^=l,

两式相力口可得4-4sinasin/?-4cosacos/7+1=4,

即cosacos/7+sinasin夕二一,

故cos(a-/)二L

4

cos(2a—2夕)=2cos~(a—/1=2x—1=—.

故选：D.

7.A【解析】因为直线y=qx+m与圆(x-2)?+y2=l的两个交点关于直线》=-三对称,

所以直线旷=-与0经过圆心，且直线y=qx+桁与直线^=-三垂直，

所以2-1=0,即1=2,且4=2,

n(n-l)1111

则S“=2〃+-^----x2=n(n+l),不=/口、=------7>

v7

〃2Snn(n+l)nw+1

所以数列的前100项和为1一1+工一1+…+」——-=1--=—.

[Sn\223100101101101

故选：A.

8.B【解析】由图可知，XHI且XH5,

贝ljax2+bx+c=0的两根为1,5,

bc

由根与系数的关系，得-2=6,-=5,

aa

:.a,b异号，a,c同号，排除A、C;

又f(O)=m〈O,d异号，排除D,只有B项适合.

c

故选：B

9.A【解析】正方体4B8-4耳GA中，45/ADC，M=D£,所以四边形为平行四边形，所以

ADJ/BC}9

又皿＜z平面8Z)q,8qu平面8Z)G,

2

所以3//平面BDC、,即当点尸在线段阳上运动时为>恒为定值，

=X

又^D-BPCt"P-BDC、=飞SaBDC、%,SaBDC、也为定值,

所以三棱锥。-8PG的体积为定值，①正确；

在正方体ABCD-44GA中，48_L平面BCC\BnCBlu平面BCC^，所以C3J羔，

在正方形3CC£中：CBJBQ,

又袒I8。1=3,>15,比^平面/3701，所以C^J■平面ZBCQi，

又C/u平面々CQi，所以GP_LC用，②正确；

因为点尸在线段皿上运动，若Pe平面刘8,则点尸与点月重合，则三棱锥G-P3。的外接球即为三棱

锥G-Z3D的外接球，故半径为J?，③正确；

如图所示：将三角形皿沿力A翻折90。得到该图形，连接。q与NR

相交于点P,此时|C0+|DP|取得最小值DG，延长CQ1，过。作

DE上孰耳于点、E,

在R2EC］中，DQ=+(2+&丫=，8+4立，

故|C0+|QP|的最小值为78+45/2，④错误.

故选：A.

10.B【解析】该程序框图相当于在［0,3］上任取10000对数对(r)，其中满足丫2+ywl的数对有N对.

显然该问题是几何概型.

不等式组所表示的区域面积为9,

p<y<3

0<x<3

<0<^<3所表示的区域面积为?，

炉+好si4

P

-3

故4N2.5,IO

因此N»

-一

9

104

故选：B.

3

11.D【解析】令/(x)=0,得(1^)2-g才取+@炉=0,整理得(蛆1)2一区庄+3=0.

2ex2xe

令/=叱。>0),x>0,原方程化为『―@/+色=0.

x2e

设g(x)=g<x>0),

X

,、1-lnx.„、Kg「，、Ine1

则g(x)=--;—,令g(x)=。，解得x=e,且g(e)=---=-,

xee

当xe(0,e)时，g'(x)X),则g(x)单调递增，

当xw(e,+8)时，gr(x)<0,则g(x)单调递减，

则g(x)在x=e时，有最大值为g(e)=4，

e

画出简图，如右图所示，

因为原方程为t~/H—=0.

2e

由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根乙，

结合g(x)=四三(x>0)图象可得：^<0,0</2<1,

xe

〃(0)<0o

设力--,则,.得到一二VqVO,

2e〃(一)>0

ee

InxInx,Inx,

因为。=----，，2=----=----，所以

项X2X3

皿+3+3=24+2-e二,0

e

XX2工3

故选：D.

12.A【解析】由题可知，点。在以为直径的圆上,故NM?尸=90°,

^\PM\-\PQ\=-1w|.|py|.COSAMPN=-PM•PN,其中

-PM^PN=-fPF+或)•(而+丽［-(而+FM)»(PF-FM)=-{PF2-兹)

=M72-PF2=81-PF2,

由图可知，当点P运动到双曲线右顶点时，即当|而1=1时，|灯"|・|尸°1取最大值为80.

故选:A.

4

13.（0/）【解析】抛物线y=的标准方程为f=4y,焦点在N轴正半轴上，焦点坐标为（0』）.

14.3【解析】由题意得，甲的中位数为：名型=16,故乙的中位数坦1152=16①

22

—7+12+12+20+20+X+31102+x

2-----------6-----------=-'

—_8+9+19+10+^+25+28_99+y

"L6=工，

因为平均数相同，所以3券=吟?②，

66

由①®可得y=3,x=o,

所以x+y=3,

故答案为：3.

15.[0,V10]【解析】以M为圆心，以M4,MC为％），轴，建立如图所示的平面直角坐标系,

由于AB=AC=2,所以BC=2-^2,BM—CM=5/2,

由于点。在定，不妨设。（0cos。,亚sin。），0e0,^

/（0,立）,尸（凡0）,其中近,

存+闲=(a,-V^)+(0cos仇应sin®)=(a+5/2cos/一&+

所以|-4P+MQ^=J(a+0cos。)+10+应5山6),

J(a+0cos4+(一五+啦sin"可看作是AC上的点。(&cos&0sin到点R(-a,匈的距离,

由于点R（-d啦）在线段,=0（-五W五）上运动,

故当点4-4五）运动到点七（一6&）时，此时距离最大，为CE=JC尸+E『=+（2&J=M,

当点R（-a,0）运动到点N（0,五）时，此时距离最小为0,

综上可知：p+w|e[0,>/i0].

16.1【解析】因为/(一幻=尸一屋-")一2sin(-幻=b-eX+2sinx=-f(x),

所以/(x)为R上的奇函数.

又f(x)=qX+e'_2cosx>2^]exe-x-2cosx=2-2cosx>0，

所以/（x）在（—,+8）上单调递增.

5

不等式/9一/炉)+/(2111》+劝40对任意的工€(0,+«>)恒成立，

即〃21nx+x)W/(/e'-a)对任意的xw(0,+8)恒成立，

所以2卜工+*4/炉-。对任意的*€(0,+8)恒成立，

即。4*2/_(21nx+x)=eh/-(21nx+x)=e21nx+'_(21nx+x)对任意的XG(0,+8)恒成立.

令Zj(x)=e*-x,所以〃'(x)=e*-l,

所以当x>0时，，(x)>0,〃(x)在(0,+8)上为增函数；

当x<0时，A'(x)<0,6(x)在(-8,0)上为减函数.

所以Mx)mn=M0)=e°-0=l，

设g(x)=21nx+x,显然g(x)为(0,+00)上的增函数，

因为gd)=21J+1=-2+LvO,g(l)=1>0,所以存在看ed,l),使得g(Xo)=21nXo+Xo=0,

eeee

所以［/hx+'-qinx+x)1nm=1,此时21nx+x=0,

所以aVl,即。的最大值为1.

故答案为：1.

17.解：(1)al/b>V3cosx=-2sinx(贝hanx=-士

------------------------------------2分

•丫

c2.?cos2x-sin2x1-tan2K12

cos2x=cosx-sinx=-----z—=—：----=-r一.---------------------------------5分

sinx+cosxtanx+l(百)

+1

(2)

/(x)=(3+5)3=(sinx+bcosx卜inx+(l-2)xl=sin'x4-V3sinxcosx-1

V3..1_1.吟1

=——sin2x——coszx——=sin2x————,----------------------------------------------------7分

222I6)2

又/(/)=g,所以sin(24图=1,可0微)，得冰;；=：即4-------------------------8分

2J

、、穴

因为a=2,且由余弦定理。2=/+。2-26。85/可知，4=b+c—2becos—,

3

所以/+c?=4+6c,

由基本不等式可得"+。2=4+从22历，

6

所以从■V%（当且仅当6=c=2时取等）---------------------------------------------------11分

故（SMBCL、=；6csin/=g仓必£=6，

即A4BC面积最大值为Ji.----------------------------------------------------------------------------------------------------12分

（注：若求角的函数值域问题，按步骤对应给分）

18.（1）证明：取血中点为尸，连接4C,CF,由4D=2BC得乂F〃BC且AF=BC.

四边形ABCF为平行四边形，

，CF=AF=DF,

：.AC1CD,----------------------------------------2分

又因为二面角P-CD-8为直二面角，且平面PCDn平面=

4CJ■平面PCD,因为POu平面PCD,

所以月C_LPD.---------------------------------------5分

（2）解：过点。作CE_L，P于点E,过点P作P，_LC。于点〃，连接⑷7.

因为PHu平面PCD，所以P"_L平面48,--------------------------------------------------------------------------6分

所以1VQC=gxS树cxP〃=gx（；xlxl）x*=^

------------------------------------------------------------7分

因为工。=?。=五，

22

在A/A4C”中,AH=jAC+CH

在RfAR4H中，AP=\lAH2+PH2=^|+1=2,

所以S“4c=gx2xl=l.--------------------------------------

,9分

令点8到平面尸C4距离为d,

所以崂“BC

痣,-----------------------------------------------------------------------------------------------11分

~T

7

即点8到平面PCA距离为—.--------------------------------------------------------------12分

4

2+4+5+6+8_3+4+4+4+5公

19.解：(1)x=-----------=5,y=-------------=4,---------------------------------1分

所以2^(^,-y)=-3x(-i)+(-1)xo+Oxo+o+3xi=6,

«=1

5,25，r-

由于—%)=9+1+0+1+9=20,一歹)=1+0+0+0+1=72--------------------------3分

1-1

力(七一引(乂-刃6IT

相关系数，==rR=\元/095,-------------------------------5分

际h刁2历近/7V10

V1-1Vi=i

因为r>0.75,所以y与X具有较强的线性相关关系.——......................................6分

(2)将地点1,2,3,4,5分别记为“，B,C,D,E,---------------------------------7分

任抽2个地点的可能情况有:5抽),(4C),(4。),(4团,(8抽),(B,D),(C,D),(C,E),

[D,E),共10种情况，---------------------------------------------------------------9分

其中在地点3,4,5,甲型无人机指标数均高于乙型运输机指标数，即(CD),(C,E),(2E)3种情况，

------------------------------------------------------------------------------------11分

令甲型无人机指标数均高于乙型无人机指标数为事件

3

故所求概率尸(A/)=记.-------------------------------------------------------------------12分

20.解：(1)函数/'(x)=f-xcosx+sinx-1,因为/(0)=-1,所以切点为(0,-1),-----------1分

由r(x)=2x-cosx—xsinx+cosx=x(2—sinx),xeR,得/'(0)=0,

所以曲线在点(OJ(O))处的切线斜率为0,------------------------------------------------2分

所以曲线y=f(x)在点(OJ(O))处的切线方程为》=-1.-------------------------------------3分

(2)由(1)可知r(x)=2x-cosx-xsinx+cosx=x(2-sinx),xeR,

因为sinxw[-l,l],所以2-sinx>0,令f'(x)=O,贝IJK=O--------------------------------4分

当工£(一8,0)时，//(x)<0,/⑴单调递减；

当X£(0,+8)时，/^x)>0,单调递增；

8

又因为/(o)=-l<o,(一]]=?-2>0,-----------------------------------------------------6分

华碌）使得

所以，由零点存在定理可知，存在唯一的芭使得/（毛）=0,存在唯一的与

/（x2）=0.故函数f（x）有且仅有两个零点.---------------------------------------------------7分

（3）因为0卷，当x=0时，由/'（0）=721-2a得------------------------------------9分

下面证明：当时，对于任意xe。微,f（x）Nl-2。恒成立，

即证ax2—xcosx+sinx-1>1—2a>即证(x2+2)a—xcosx+siiix_2>0；

而当aNl时，+2)a-xcosx+sinx-2Nx2+2-xcosx+sinx-2=x2-xcosx+sinx,------------10分

由(2)知，x2-xcosx+sinx>0;所以时，+2)a-xcosx+sinx-2N0恒成立；

综上所述，ae[l,+oo).--------------------------------------------------------------------------------------------------------12分

21.解：（1）因为尸为15c的重心，且边NC,力B上的两条中线长度之和为6,

所以归却+|JPC|=-|x3>/6=2>/6>\BC\,-----------------------------------------------------------------------------------1分

故由椭圆的定义可知产的轨迹「是以8（-2,0）,。（2,0）为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）,

且a=-^6,c=2,所以％=y/2，----------------------------------------------------------------------------------------------2分

所以户的轨迹「的方程为=+己

=1(XH±仄)4分，未挖点扣1分

62

(2)①依题意，设直线DE方程为x=ar+2(机工0).

x=my+2

x^+/_,得M+3”2+4叩-2=0,

(~6+~2~

易知A=16而+8(.+3)=24"+1)>0

设。E(x2,y2),则必+8=--%--.-------------------------------------------------5分

因为DA/JLx轴，ENJLx轴，

所以M(x,,0),N⑸0).

9

所以直线DN：y=-^—(x-x2),

直线w：y="(x-x,),

X2一再

联立解得/=(呻+2戊+(吠+2仇=2+2^1=3.___________________

从而点Q在定直线x=3上.--------------------------------------------------------------------8分

②因为S^EO=；|四|•|马—占卜;阂•0—七|=g|必一切1%|，-------------------------------9分

口孙为_1皿ic1必+必I।1rTV6V/«2+i

又必+二2'则532=5必一丁=#「闾=/(乂f)=彳而"

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分

V6t巫I/布

aLmti3c2c=-------;=z-S

2

当且仅当仁即桁=±1时，等号成立，

t

故AC£Q面积的最大值为号.----------------------------------------------------------------12分

22.解：（1）令x=0，则『―2f—3=0，解得f=3,或f=-l（舍），

则夕=32—3-2=4,即3（0,4）,---------------------------------------------------------------------------------2分

令》=0，则/―f—2=0，解得f=2,或，=一1（舍），

贝iJx=22-2x2-3=-3，即，（一3,0）,........................................................................................4分

:.\AB\=40+3）2+（4-Op=5-------------