3用公式法求解一元二次方程

第二章一元二次方程初中数学（北师大版）九年级上册知识点一

用公式法求解一元二次方程求根公式一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是

x=

,这个公式叫做一元二次方程的求根公式公式法把一元二次方程的各系数代入求根公式,直接求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做公式法步骤(1)把方程化为一般形式;(2)确定a、b、c的值;(3)计算b2-4ac的值;(4)当b2-4ac≥0时,把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式,求得方程的根;当b2-4ac<0时,方程没有实数根例1用公式法解下列方程:(1)3x2=4x+1;(2)y2+2=2

y;(3)5x2=4x-1.解析(1)移项,得3x2-4x-1=0,a=3,b=-4,c=-1.∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28>0,∴x=

=

,故x1=

,x2=

.(2)移项,得y2-2

y+2=0,a=1,b=-2

,c=2.∵b2-4ac=(-2

)2-4×1×2=0,∴y=

=

,即y1=y2=

.(3)移项,得5x2-4x+1=0,a=5,b=-4,c=1.b2-4ac=(-4)2-4×5×1=-4<0,因为在实数范围内负数不能开平方,所以此方

程无实数根.点拨用公式法解一元二次方程,首先要将方程化为一般形式,然后确

定a,b,c及b2-4ac的值,最后代入求根公式计算,就可以求出方程的根,注意

b2-4ac<0时,方程无实数根.根的判别式一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用符号“Δ”来表示,即Δ=b2-4ac根的情况与判别式的关系

Δ>0方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,即x=

Δ=0方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,

即x1=x2=-

Δ<0方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根重点解读(1)应用根的判别式时,要将一元二次方程化为一般形式,并准确确定a、b、c的值;(2)一元二次方程有实数根包含两种情形:方程有两个相等的实数根和方程有两个不相等的实数根;(3)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当a、c异号时,方程一定有两个不相等的实数

根;当c=0时,方程一定有一个根为0知识点二

一元二次方程根的判别式根的判别式的应用(1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况;(2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围例2不解方程,判断下列方程的根的情况:(1)2x2+3x-4=0;(2)16y2+9=24y;(3)5(x2+1)-7x=0.分析利用一元二次方程求根公式中有根的条件b2-4ac≥0来判断.解析(1)∵a=2,b=3,c=-4,∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)将方程化成一般形式为16y2-24y+9=0,∵a=16,b=-24,c=9,∴b2-4ac=(-24)2-4×16×9=0,∴方程有两个相等的实数根.(3)将方程化成一般形式为5x2-7x+5=0,∵a=5,b=-7,c=5,∴b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0,∴方程无实数根.方法点拨在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=

(b2-4ac≥0)中,“b2-4ac≥0”是保证一元二次方程有实数根的前提条件.题型一

利用b2-4ac由根的个数确定字母的值或范围例1已知关于x的一元二次方程2x2-4x+k=0.(1)当k

时,方程有两个不相等的实数根;(2)当k

时,方程有两个相等的实数根;(3)当k

时,方程没有实数根.解析(1)当方程有两个不相等的实数根时,b2-4ac>0,即(-4)2-4×2k>0,∴k<2.(2)当方程有两个相等的实数根时,b2-4ac=0,即(-4)2-4×2k=0,∴k=2.(3)当方程无实数根时,b2-4ac<0,即(-4)2-4×2k<0,∴k>2.答案(1)<2(2)=2(3)>2点拨根的判别式在解一元二次方程的相关问题中应用十分广泛,可以

利用它判断方程根的情况,也可以根据根的情况用它来确定方程中未知

字母的值或范围.题型二

用公式法解一般的一元二次方程例2解下列方程:(1)2x2-4x-1=0;(2)5x+2=3x2.解析(1)∵a=2,b=-4,c=-1,∴b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0,∴x=

=

=

.(2)将原方程变形为3x2-5x-2=0,∴a=3,b=-5,c=-2,∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0,∴x=

=

,∴x1=2,x2=-

.点拨用公式法解一元二次方程时,一定要把方程化为一般形式,在解

答过程中要注意各项的符号,正确应用公式,准确计算.题型三

实际应用题例3张大叔从市场上购买了一张矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角

各剪去一个边长为1m的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱,且此长方体运输箱底面的长比宽长2m.现已

知购买这种铁皮每平方米需100元钱,问张大叔购买这张铁皮共花了多

少钱?解析设长方体运输箱底面的宽为xm,则长为(x+2)m,根据题意,得x(x+

2)·1=15,整理,得x2+2x-15=0.∵a=1,b=2,c=-15,∴b2-4ac=22-4×1×(-15)=64>0,∴x=

,∴x1=3,x2=-5(不合题意,舍去).当x=3时,原矩形铁皮的宽为x+2=3+2=5(m),长为x+4=3+4=7(m).共花了5×7×100=3500(元).答:张大叔购买这张铁皮共花了3500元钱.点拨本题是一个实际问题,对于方程的根要结合实际问题进行取舍.易错点

用求根公式解一元二次方程时,没有把其化为一般形式(1)在利用求根公式解一元二次方程时,一定要弄清a,b,c的具体含义是:

在一般形式下的二次项系数、一次项系数和常数项,所以用求根公式时

必须先把方程化为一般形式;(2)公式中a,b,c本身有符号,公式中也有符

号,要特别注意符号问题;(3)求根公式是指一元二次方程的求根公式,只

有当一个方程确定是一元二次方程时,才能代入公式求解.解析移项,得2x2+3x-4=0.因为a=2,b=3,c=-4,所以b2-4ac=32-4×2×(-4)=9+32=41>0,所以x=

=

=

,所以原方程的解为x1=

,x2=

.易错警示用求根公式解一元二次方程时,必须先把方程转化为一般形

式,然后确定a,b,c的值.例用公式法解方程2x2+3x=4.知识点一

用公式法求解一元二次方程1.(2017天津红桥复兴中学模拟)用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,

首先要确定a、b、c的值,下列叙述正确的是()A.a=3,b=2,c=3

B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=-3

D.a=3,b=-2,c=3答案

D方程3x2-2x+3=0为一般形式,可确定a=3,b=-2,c=3.故选D.2.用公式法解下列方程:(1)x2-2

x+3=0;(2)

x2-

x+

=0;(3)

x=

(x+1)(x-1).解析(1)a=1,b=-2

,c=3,∵b2-4ac=(-2

)2-4×1×3=0,∴x=

=

,∴x1=x2=

.(2)在方程的两边同乘8,得4x2-4x+1=0.a=4,b=-4,c=1,∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0,∴x=

=

=

,∴x1=x2=

.(3)将原方程化为一元二次方程的一般形式为

x2-

x-

=0.a=

,b=-

,c=-

,∵b2-4ac=(-

)2-4×

×(-

)=11>0,∴x=

=

,∴x1=

,x2=

.知识点二

一元二次方程根的判别式3.(2017河南中考)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根

D.没有实数根答案

B

Δ=(-5)2-4×2×(-2)=25+16=41>0,所以该一元二次方程有两个

不相等的实数根,故选B.4.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.(1)当m=3时,判断方程的根的情况;(2)当m=-3时,判断方程的根的情况;(3)当m=1时,判断方程的根的情况.解析(1)当m=3时,原方程为x2+2x+3=0,∴a=1,b=2,c=3,b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,∴原方程无实数根.(2)当m=-3时,原方程为x2+2x-3=0,∴a=1,b=2,c=-3,b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(3)当m=1时,原方程为x2+2x+1=0,∴a=1,b=2,c=1,b2-4ac=22-4×1×1=0,∴原方程有两个相等的实数根.1.一元二次方程x2-2x-1=0的解是

()A.x1=x2=1

B.x1=1+

,x2=-1-

C.x1=1+

,x2=1-

D.x1=-1+

,x2=-1-

答案

C∵a=1,b=-2,c=-1,∴b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴x=

=

=1±

,∴x1=1+

,x2=1-

.故选C.2.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是

()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根答案

D

Δ=(-4)2-4×1×5=-4<0,所以方程x2-4x+5=0没有实数根.故选D.3.(2016山东新泰期末)若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+1=0有实数根,

则m的取值范围是

()A.m<

B.m>

C.m≤

D.m≤

且m≠1答案

C当m-1=0,即m=1时,x+1=0,解得x=-1;当m-1≠0时,Δ=12-4×(m-1)

×1≥0,解得m≤

且m≠1,所以m的取值范围为m≤

.4.已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0.求当k取何值时:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)方程有两个相等的实数根;(3)方程没有实数根.解析

Δ=b2-4ac=[-(4k+1)]2-4×2(2k2-1)=8k+9.(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0,即8k+9>0,解得k>-

.(2)∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=0,即8k+9=0,解得k=-

.(3)∵方程没有实数根,∴Δ<0,即8k+9<0,解得k<-

.1.(2015贵州安顺中考)若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根,则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经过第

象限.

()A.四

B.三

C.二

D.一答案

D因为一元二次方程x2-2x-m=0无实数根,所以Δ=(-2)2+4m=4+4m<0,所以m<-1,所以m+1<0,m-1<0,所以一次函数的图象经过第二、三、

四象限,故不经过第一象限,故选D.2.关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是()A.k为任何实数,方程都没有实数根B.k为任何实数,方程都有两个不相等的实数根C.k为任何实数,方程都有两个相等的实数根D.不能确定答案

B

Δ=4k2-4(k-1)=(2k-1)2+3,∵(2k-1)2≥0,∴(2k-1)2+3>0,即Δ>0,∴方程有两个不相等的实数根.3.在等腰三角形ABC中,三边分别为a,b,c,其中a=5,若关于x的方程x2+(b+

2)x+6-b=0有两个相等的实数根,求△ABC的周长.解析∵关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,∴Δ=(b+2)2

-4(6-b)=0,即b2+8b-20=0,解得b=2或b=-10(不合题意,舍去).①当a为底,b为腰时,三角形的三边长分别为2,2,5.∵2+2<5,∴2,2,5不能构成三角形,此种情况不成立.②当b为底,a为腰时,三角形的三边长分别为5,5,2,∵5-2<5<5+2,∴5,5,2能构成三角形.此时△ABC的周长为5+5+2=12.4.(2018江苏无锡宜兴丁蜀第一次段测)已知关于x的一元二次方程mx2-

(m+2)x+2=0.(1)证明:无论m为何值,方程总有实数根;(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?解析(1)证明:由题意知m≠0,Δ=[-(m+2)]2-8m=m2-4m+4=(m-2)2.∵无论m

为何值,都有(m-2)2≥0,即Δ≥0,所以方程总有实数根.(2)解关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0,得x=

=

,∴x1=

,x2=1.∵方程的两个根都是正整数,∴

是正整数,∴m=1或2.∵两根不相等,∴m≠2,∴m=1.∴当m=1时,方程有两个不相等

的正整数根.1.(2015广西南宁中考)对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,

b}表示a,b中较大的数,如max{2,4}=4,按这个规定,方程max{x,-x}=

的解为

()A.1-

B.2-

C.1-

或1+

D.1+

或-1答案

D分类讨论:当x>-x,即x>0时,max{x,-x}=x,则x=

,∴x2-2x-1=0,解得x1=1-

,x2=1+

,经检验,x=1+

符合题意;当x<-x,即x<0时,max{x,-x}=-x,则-x=

,∴x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1,经检验,符合题意.因此符合题意的方程的解是1+

或-1.2.利用公式法解方程:4(x-3)2-20(x-3)+25=0.解析解法一:原方程化为4(x2-6x+9)-20x+60+25=0,4x2-24x+36-20x+60+25=0.整理,得4x2-44x+121=0.配方,得(2x-11)2=0.∴x1=x2=

.解法二:原方程化为[2(x-3)]2-2×2(x-3)×5+52=0.则[2(x-3)-5]2=0,即(2x-11)2=0.∴x1=x2=

.3.将一块长18m,宽15m的矩形荒地建成一个花园,使花园所占的面积

为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)(1)设计方案1(如图1):花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.(2)设计方案2(如图2):花园每个角的扇形休息区域的面积都相同.

图1图2以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图1中的小路的宽和图2中扇形的半径;若不能,请说明理由.解析都能.(1)设小路的宽度为xm,根据题意列方程,得18x+15x-x2=18×15×

,整理,得x2-33x+90=0.∵Δ=(-33)2-4×1×90=729>0,∴x1=3,x2=30(不合题意,舍去).答:题图1中小路的宽为3m.(2)设扇形的半径为ym,根据题意列方程,得πy2=18×15×

,y2≈28.7,直接开平方,得y1≈5.4,y2≈-5.4(不合题意,舍去).答:扇形的半径约为5.4m.1.(2018山西太原期中,5,★☆☆)下列一元二次方程中,有两个相等的实

数根的是

()A.(x-2)2=-1

B.x2-2x+1=0

C.(x-2)2=1

D.x2-2x-1=0一、选择题答案

B

A.∵偶次方非负,∴该方程无实数根,A不符合题意;B.∵Δ=(-2)2-4×1×1=0,∴此方程有两个相等的实数根,B符合题意;C.∵1>0,∴x-2=±1,∴此方程有两个不相等的实数根,C不符合题意;D.∵Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴此方程有两个不相等的实数根,D不符合题意,故选B.2.(2018江苏无锡宜兴丁蜀第一次段测,3,★★☆)关于x的方程(a-5)x2-4x-

1=0有实数根,则a满足

()A.a≥1

B.a>1且a≠5

C.a≥1且a≠5

D.a≠5答案

A分类讨论:①当a-5=0,即a=5时,方程变为-4x-1=0,此时方程一定有实数根;②当a-5≠0,即a≠5时,∵关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,∴16+4(a-5)≥0,∴a≥1且a≠5.∴a的取值范围为a≥1.故选A.二、解答题3.(2017湖北武汉江汉十二中模拟,17,★★☆)4x2-3=12x(用公式法解).解析原方程整理为4x2-12x-3=0,∵a=4,b=-12,c=-3,∴Δ=144-4×4×(-3)=192>0,则x=

=

.4.(2017浙江温州乐清模拟,18,★★☆)关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0.(1)已知x=3是方程的解,求m;(2)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围.解析(1)把x=3代入方程2x2-4x+m=0,得18-12+m=0,解得m=-6.(2)∵关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0有两个不相等的实数根,∴Δ>0,即(-4)2-8m>0,解得m<2,∴m的取值范围为m<2.1.(2018江苏无锡期中,2,★★☆)若关于x的方程x2+x-k=0有两个不相等

的实数根,则k的取值范围为

()A.k>-

B.k≥-

C.k<-

D.k>-

且k≠0答案

A∵关于x的方程x2+x-k=0有两个不相等的实数根,∴Δ=12-4×1

×(-k)=1+4k>0,解得k>-

.故选A.2.(2017天津和平期中,20,★★☆)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=a2.(1)求证:对于任何实数a,方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程的一个根是1,求a的值及方程的另一个根.解析(1)证明:将方程(x-3)(x-2)=a2整理为x2-5x+6-a2=0,∴Δ=25-4(6-a2)=

1+4a2>0,∴对于任何实数a,方程总有两个不相等的实数根.(2)若方程的一个根是1,则(1-3)×(1-2)=a2,即2=a2,∴a=±

,原方程变形为x2-5x+4=0,解得x=

=

,∴x1=4,x2=1.则方程的另一个根为4.3.(2016安徽月考,16,★★☆)用公式法解下列方程:(8分)(1)x2-x-12=0;(2)2x2+5x-3=0.解析(1)a=1,b=-1,c=-12,Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-12)=49>0,∴x=

=

=

,∴x1=4,x2=-3.(2)a=2,b=5,c=-3,Δ=b2-4ac=52-4×2×(-3)=49>0,∴x=

=

=

,∴x1=

,x2=-3.一、选择题1.(2017山东滨州中考,2,★★☆)一元二次方程x2-2x=0根的判别式的值

为

()A.4

B.2

C.0

D.-4答案

A根的判别式可表示为b2-4ac,在这个方程中,a=1,b=-2,c=0,所

以b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4.2.(2017湖北咸宁中考,6,★★☆)已知a、b、c为常数,点P(a,c)在第二象

限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根C.没有实数根

D.无法判断答案

B∵点P(a,c)在第二象限,∴a<0,c>0,∴ac<0,∴-4ac>0.又∵b2≥0,∴Δ=b2-4ac>0,∴关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.故选B.二、填空题3.(2017甘肃庆阳中考,15,★★☆)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=

0有实数根,则k的取值范围是

.答案

k≤5且k≠1解析∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,∴k-1≠0且42-

4×(k-1)×1≥0,解得k≤5且k≠1.三、解答题4.(2015江苏泰州中考,18,★★☆)已知:关于x的方程x2+2mx+m2-1=0.(8分)(1)不解方程,判断方程的根的情况;(2)若方程有一个根为3,求m的值.解析(1)∵b2-4ac=(2m)2-4×1×(m2-1)=4>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)将x=3代入原方程,得9+6m+m2-1=0,解之,得m1=-2,m2=-4.1.(2017四川德阳中考,5,★★☆)已知关于x的方程x2-4x+c+1=0有两个相

等的实数根,则常数c的值为

()A.-1

B.0

C.1

D.3答案

D若一元二次方程有两个相等实数根,则判别式的值为0,即Δ=

(-4)2-4(c+1)=0,则可得c=3.2.(2017四川宜宾中考,4,★★☆)一元二次方程4x2-2x+

=0的根的情况是

()A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根C.没有实数根

D.无法判断答案

B根的判别式可表示为b2-4ac,在这个方程中a=4,b=-2,c=

,∴b2-4ac=(-2)2-4×4×

=0,故此方程有两个相等的实数根.3.(2017四川攀枝花中考,6,★★☆)关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0

有两个实数根,则实数m的取值范围是

()A.m≥0

B.m>0C.m≥0且m≠1

D.m>0且m≠1答案

C∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,∴m-1

≠0且(-2)2-4×(m-1)×(-1)≥0,解得m≥0且m≠1,∴m的取值范围是m≥0且

m≠1.故选C.4.(2016甘肃白银中考,21,★★☆)已知关于x的方程x2+mx+m-2=0.(1)若此方程的一个根为1,求m的值;(2)求证:无论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.解析(1)把x=1代入方程x2+mx+m-2=0得1+m+m-2=0,解得m=

.(2)证明:Δ=m2-4(m-2)=(m-2)2+4,∵(m-2)2≥0,∴(m-2)2+4>0,即Δ>0,∴此方程有两个不相等的实数根.1.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称

这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有

两个相等的实数根,则下列结论正确的是

()A.a=c

B.a=b

C.b=c

D.a=b=c答案

A∵ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数

根,∴a+b+c=0,b2-4ac=0,∴b=-a-c.把b=-a-c代入b2-4ac=0,得(-a-c)2-4ac=0,

a2+2ac+c2-4ac=0,a2-2ac+c2=0,(a-c)2=0,∴a=c.故选A.2.按下列提供的方法及范例解方程49x2+6x-

=0.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x=

,方程y2+by+ac=0的根为y=

,显然x=

,因此要求ax2+bx+c=0(