强基计划专题练05 数列（原卷版）

专题训练05数列一、单选题1．已知数列满足，.给出下列四个结论：①数列每一项都满足；②数列的前n项和；③数列每一项都满足成立；④数列每一项都满足.其中，所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②④2．若，且对任意正整数n，均有，则称一个复数数列为“有趣的”．若存在常数C，使得对一切有趣的数列及任意正整数m，均有，则C的最大值为（

）A． B．1 C． D．二、多选题3．定义：若数列满足，则称为“Titus双指数迭代数列”.已知在“Titus双指数迭代数列”中，首项，则（

）A．当时，B．当时，为递增数列C．当时，有最小值D．当取任意非零实数时，一定有最大值或最小值4．已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．若数列满足，则5．利用“”可得到许多与n（且）有关的结论，则正确的是（

）A． B．C． D．6．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（

）A． B．若，则C． D．三、填空题7．已知数列、、的通项公式分别为、、，其中，，，，，令，（表示、、三者中的最大值），则对于任意，的最小值为__________．8．作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.计算可得，其中是正边形的一条边所对圆心角的一半.给出下列四个结论：①；②；③；④记，则，.其中正确结论的序号是__________.9．对任意，函数满足，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则___________.四、解答题10．已知数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意连续三项，均有．(1)分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由：（i）有穷数列：；（ⅱ）无穷数列：．(2)若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；(3)若数列满足性质①和性质②，且，求的通项公式．11．对于每项均是正整数的数列、、、，定义变换，将数列变换成数列、、、、．对于每项均是非负整数的数列、、、，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．(1)如果数列为、、，写出数列、；(2)对于每项均是正整数的有穷数列，证明；(3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．12．已知数列满足，其前8项的和为64；数列是公比大于0的等比数列，，．(1)求数列和的通项公式；(2)记，，求数列的前项和；(3)记，求．13．若无穷数列满足，，则称具有性质．若无穷数列满足，，则称具有性质．(1)若数列具有性质，且，请直接写出的所有可能取值；(2)若等差数列具有性质，且，求的取值范围；(3)已知无穷数列同时具有性质和性质，，且不是数列的项，求数列的通项公式．14．对于一个有穷单调递增正整数数列P，设其各项为，，，，若数列P中存在不同的四项，，，满足，则称P为等和数列，集合称为P的一个等和子集，否则称P为不等和数列．(1)判断下列数列是否是等和数列，若是等和数列，直接写出它的所有等和子集；A：1，3，5，7，9；B：2，4，6，7，10；(2)已知数列P：，，，，是等和数列，并且对于任意的，总存在P的一个等和子集M满足集合，求证：数列P是等差数列；(3)若数列P：，，，是不等和数列，求证：．15．高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段､代表山坡，线段为一段平地.设图中坡的倾角满足，长长长.假设该路段的高铁轨道是水平的（与平行），且端点分别与在同一铅垂线上，每隔需要建造一个桥墩（不考虑端点建造桥墩）(1)求需要建造的桥墩的个数；(2)已知高铁轨道的高度为，设计过程中每放置一个桥墩，设桥墩高度为（单位：），单个桥墩的建造成本为（单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值.16．给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.(1)判断、哪个是规范数集，并说明理由；(2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；(3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.注：、分别表示数集中的最小数与最大数.17．约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；(2)当时，若构成等比数列，求正整数；(3)记，求证：.18．定义圈数列X：；X为一个非负整数数列，且规定的下一项为，记，这样的相邻两项可以统一表示为（的相邻两项为，即；的相邻两项为）.定义圈数列X做了一次P运算：选取一项，将圈数列X变为圈数列：，即将减2，相邻两项各加1，其余项不变.并记下标k输出了一次.记X进行过i次P运算后数列为：（规定）(1)若X：4，0，0，直接写出一组可能的；(2)若进行q次P运算后，有，此时下标k输出的总次数为，记直接写出一组非负实数，使得对任意，都成立，并证明；(3)若X：，0，0，…，0，证明：存在M，当正整数时，中至少有一半的项非零.19．数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称数列是“数列”.(1)数列的前项和，判断数列是否为“数列”，并说明理由；(2)数列是等差数列，其首项，公差，数列是“数列”，求的值；(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立.20．定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到阶和数列，如的一阶和数列是，设n阶和数列各项和为．(1)试求数列的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；(2)设，的前项和，若，求的最小值21．已知数列：，其中，且．若数列满足，当时，或，则称：为数列的“紧数列”．例如，数列：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8．(1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；(2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为；(3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”．若数列A存在“强紧数列”，求的最小值．（用关于N的代数式表示）22．已知和是各项均为正整数的无穷数列，如果同时满足下面两个条件：①和都是递增数列；②中任意两个不同的项的和不是中的项.则称被