思想篇　数学思想方法的应用 【答案】听课手册

第一部分高考专题讲练思想篇数学思想方法的应用思想一1.A[解析]∵{an}为递减的等比数列,∴a2a7=a3a6=32,a3+a6=18,解得a3=2,2.D[解析]以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),C(1,2),D(-1,2).设P(x,y),则PA=(-1-x,-y),PB=(1-x,-y),因为PA·PB=0,所以PA·PB=-(1-x2)+y2=0,即x2+y2=1,故点P的轨迹为在正方形内部的半圆弧,所以-1<x<1,0<y≤1,则CP=(x-1,y-2),DP=(x+1,y-2),0<y≤1,故CP·DP=x2-1+(y-2)2=-y2+(y-2)2=-4y+4∈[0,4).故选D.3.B[解析]由asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,得ca=sin∠PF2F1sin∠PF1F2=|PF1||PF2|=|PF1|2a-|PF1|,得|PF1|=2aca+c,又|PF1|4.43-3[解析]将题中不等式变形为2b+13+3×2b+1≤a3+3a.因为a,b都是正数,所以a>0,2b+1>0,从而可构造函数f(x)=x3+3x,x>0,易知该函数在(0,+∞)上单调递增,所以f2b+1≤f(a),所以a≥2b+1,则2a+3b≥4b+1+3b=4b+1+3(b+1)-3≥24b+1·3(b+1)-3=43-3,当且仅当a=2b+1,4

思想二1.B[解析]∵F1,A分别是椭圆x216+y27=1的左焦点和右顶点,∴F1(-3,0),A(4,0).∵PF1·PA=0,∴P在以F1A为直径的圆上,该圆与椭圆x216+y27=1有三个公共点,如图所示,又点P与点A不重合2.D[解析]如图,由|OA|=|OF1|,得|OA|=|OF1|=|OF2|=c,故∠F1AF2=90°.因为直线F2A的斜率为-3,所以tan∠F1F2A=3,所以|AF1|=3|AF2|,又|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=3a2,|AF2|=a2,又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,故94a2+14a2=4c2,得c2a2=58,所以3.D[解析]设函数g(x)=x,x≥0,2x,x<0,作出g(x)的图象如图所示.函数f(x)=x-c,x≥0,2x-2c,x<0的图象可由g(x)=x,x≥0,2x,x<0的图象分段平移得到.易知当c=0时,函数f(x)恰有一个零点,满足题意;当c<0时,图象向上平移,显然f(x)没有零点,不满足题意;当c>0时,图象向下平移,当0<2c<1时,函数f(x)有两个零点,不满足题意4.259[解析]因为∠PQR=∠PQF,所以QP为∠FQR的平分线,又PR⊥QR,且|PR|=|PF|,根据角平分线的性质知,PF⊥QF,如图所示,令Pm24,m,m>0,则直线PQ的方程为y-m=34x-m24,令x=-1,则yQ=16m-3m2-1216.由FP·FQ=m24-1,m·-2,16m-3m2-1216=2-m22

思想三1.B[解析]由题意,要使a5最小,则a1,a3,a5都是负数,则a2和a4选择1和4,设等比数列{an}的公比为q(q<0),当a4=4时,a2=1,所以a4a2=q2=4,所以q=-2,所以a5=a4×q=4×(-2)=-8;当a4=1时,a2=4,所以a4a2=q2=14,所以q=-12,所以a5=a4×q=1×-12=-12.2.D[解析]若双曲线C的离心率为2,则e2=c2a2=1+b2a2=4,所以b2a2=3.若双曲线C的焦点在x轴上,则渐近线方程为y=±bax=±3x;若双曲线C的焦点在y轴上,则渐近线方程为y=±abx=±33x.所以“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线方程为y=3x”的充分条件.反之,双曲线C的一条渐近线方程为y=3x,若双曲线C的焦点在x轴上,则渐近线方程为y=±bax=±3x,所以ba=3,离心率e=1+b2a2=2;若双曲线C的焦点在y轴上,则渐近线方程为y=±abx=±3x,所以ba=33,离心率e=1+b2a2=233,所以“C3.-720[解析]x+2x-y10的展开式中含y7的项为T8=C107x+2x3(-y)7,x+2x3的展开式中含x的项为C31x4.2[解析]由偶函数图象的对称性知,f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上各有一个零点且f(0)=0,所以f(0)=2(a+1)(a-2)=0,则a=-1或a=2.若a=-1,当x∈(0,+∞)时,f(x)=(x+2)ex-2,则f'(x)=(x+3)ex>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=0,此时,f(x)的图象与x轴只有一个交点,不合题意;若a=2,当x∈(0,+∞)时,f(x)=(x-4)ex+4,则f'(x)=(x-3)ex,所以f(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,又f(0)=0,f(3)=4-e3<0且f(4)=4>0,故f(x)在(0,+∞)上有一个零点,此时,f(x)的图象与x轴有三个交点,符合题意.综上,a=2.

思想四1.A[解析]因为实数x,y满足x2+4y2=5,所以可设x=5cosθ,2y=5sinθ,θ∈[0,2π),所以x+2y=5cosθ+5sinθ=10sinθ+π4,所以当θ=π4,即x=102,y=104时,x+2y2.A[解析]当A,B相邻时,不同的排列方式有A55A22=240(种),当A,B,C相邻,且B在A有2A44=48(种),故A,B相邻,且B,C不相邻的不同的排列方式有240-48=192(种).故选3.A[解析]sin7π6-α=sinπ+π6-α=-sinπ6-α=-cosπ3+α=513,cos2π3-α=-cosπ-2π3-α=-cos4.11[解析]圆C:(x-6)2+(y-8)2=1的圆心为C(6,8),半径r=1,∵圆心C到坐标原点O(0,0)的距离为62+82=10,∴圆C上的点到点O的距离的最大值为10+r=11.由∠APB=90°,可得以AB为直径的圆和圆C有交点,可得|PO|=12|AB|=m,故有m≤11,5.8π[解析]设球O与正四棱台的上底面、下底面分别切于点O1,O2,与侧面ADD1A1,侧面BCC1B1分别切于点E