陕西省西安市部分学校2023-2024学年高三下学期二模考试理科数学试题

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2．请将各题答案填写在答题卡上。3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，则（）A． B． C． D．3．已知，则（）A． B． C． D．4．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（）（参考公式，棱台的体积，其中分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高）A． B． C． D，5．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（）A．4 B．6 C．8 D．106．在中，内角的对边分别是，且的面积，则（）A． B． C． D．7．已知，则（）A． B． C． D．8．老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（）A．248种 B．168种 C．360蚛 D．210种9．已知函数，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知函数的图象与直线的两个相邻交点是，若，则（）A．1 B．1或7 C．2 D．2或611．如图，在矩形中，分别在线段上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．12．如图，已知双曲线的左，右焦点分别为，点在上，点在轴上，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．3第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，且，则向量的夹角是_______．14．设实数满足不等式组，则的最大值是_______．15．若一组数据的平均数为3，方差为，则这6个数的平均数为_______，方差为_______．16．已知函数满足，则_______．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个数作为比赛成绩（单位：个）.为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩分成这6组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）估计该校学生跳绳比赛成绩的中位数；（2）若跳绳比赛成绩不低于140分的为优秀，以这50名学生跳绳比赛成绩的频率作为概率，现从该校学生中随机抽取3人，记被抽取的比赛成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列与期望．18．（12分）已知数列满足．（1）求的通项公式；（2）证明：．19．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，且．（1）证明：平面．（2）若，点满足，求二面角的大小．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为．右顶点为，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且斜率大于0的直线交椭圆于两点，线段的中点为，若，求直线与直线的斜率之的的最小值．21．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，且在上单调递减，求的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为报轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若，直线与曲线交于两点，求的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数的最小值是．（1）求的值；（2）若，且，证明：．

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案（理科）1．D因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限．2．A由题意可得，则．3．C因为，所以．4．A四羊方尊的容积约为．5．B设，则解得，则．6．C由余弦定理可得，所以，则．因为，所以，所以．因为，所以，所以，所以．7．A．8．D不同的分法有种．9．D由题可知的定义域为，所以在上单调递增，由，可得，即，故的取值范围是．10．D设的最小正周期为，则或，即或，解得或．11．A如图1，取的中点，连接，依题意可得为等腰直角三角形，则．因为，所以．如图2，因为，所以，所以的外心为的中点．设四面体的外接球的球心为，则底面．易证，则，由，得，解得，则，所以四面体的外接球的表面积为．图1图212．B由题意可知为等边三角形，则．在中，由题意可得，则．因为，所以，所以，根据正弦定理可得，解得．由双曲线的定义可得，即，则．13．因为，所以，所以．因为，所以，则．14．3画出可行域（图略），当直线经过时，取得最大值，最大值为3．15．4；8这6个数的平均数为，由题可知，解得，所以这6个数的方差为．16．10100令，得．令，得，则，所以，即，所以．17．解：（1）因为，所以该校学生比赛成绩的中位数在内．设该校学生比赛成绩的中位数为，则，解得，即该校学生比赛成绩的中位数为111.25．（2）由频率分布直方图可知比赛成绩优秀的频率为，则从该校学生中随机抽取1人，被抽取的学生比赛成绩优秀的概率是0.2．由题意可知，则．从而的分布列为01230.5120.3840.0960.008故．18．（1）解：当时，．当时，由，得则，则．因为也符合上式，所以．（2）证明：由（1）可得，则．19．（1）证明：如图，取为的中点，连接．因为，所以．因为平面平面，且两平面相交于，所以平面．因为平面，所以．又，且，所以平面．（2）解：过点作的平行线．以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，，，．设平面的法向量为．则即令，得．易知平面的一个法向量为，所以．由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为．20．解：（1）设椭圆的焦距为．因为，所以．因为的面积为，所以，解得．故椭圆的标准方程为．（2）设直线的方程为，联立整理得，则．从而，故点的坐标为．因为，所以．因为直线的斜率，所以，当且仅当时，等号成立，即直线与直线斜率之积的最小值为2．21．解：（1）当时，，则，故所求切线方程为，即．（2）若在上单调递减，则对恒成立．设，则，的导数．由，得或．当时，必存在，使得当时，，则在上单调递增，所以当时，，则在上单调递增，同理得，当时，，则在上单调递增，这与在上单调递减矛盾，所以不合题意．当时，，所以不合题意．当时，恒有．①当时，，则在上单调递减；②当时，，得在上单调递增．所以，所以对恒成立．综上，的取值范围是．22．解：（1