2023年江西省中考一轮复习数学专题练-14锐角三角函数

2023年江西省中考数学专题练——14锐角三角函数一、选择题（共3小题）1．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长．如图，正十二边形的边长是4，则可求出此十二边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面π的值正确的是（）A．π=6sin15° B．π=12sin15° C．π＝6sin15° D．2．锐角三角函数tan45°的值为（）A．12 B．22 C．32 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，则下列结论正确的是（）A．sinA=13 B．cosB=24 C．tanA＝22 D二、填空题（共3小题）4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值为．5．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点E，则tan∠AEP＝．6．如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上，则tan∠ACD＝．三、解答题（共17小题）7．图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）8．图1是某小型汽车的示意图，图2是其后备厢的箱盖打开过程侧面简化示意图，五边形ABCDE表示该车的后备厢的厢体侧面，在打开后备厢的过程中，箱盖AED可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖AED落在AE′D′的位置．若∠EAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∠AED＝150°，AE＝80厘米，ED＝40厘米，DC＝25厘米，且后备厢底部BC离地面的高CN＝25厘米．（1）求点D′到地面MN的距离（结果保留根号）；（2）求箱盖打开60°时的宽D，D′两点的距离（参考数据：3≈1.73，5+23≈8.464≈9．图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实景图与示意图，此时运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，且G，E，D三点共线．若滑雪杖EM长为1m，EF＝0.4m，∠EMD＝30°，∠GFE＝62°，求此时运动员头部G到斜坡AB的距离GD的长度．（精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）10．如图1，是某校操场上边的监控摄像头，图2是其侧面结构示意图，四边形ABCD为机罩，AD∥BC，∠D＝90°，∠A＝75°，机头部分为EFBG，点G在CB的延长线上，已知EF∥CB∥AD，∠E＝90°，BC＝32cm，CD＝20cm，EF＝6cm，EG＝15cm．（1）求监控摄像头的总长GC；（2）若GC与水平地面所成的角为15°，且点G到地面的距离为400cm，求点D到地面的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，结果精确到0.1cm）11．“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知AB＝BC＝BD＝60cm，∠CBD＝30°．（1）如图③A处离地面多高？（2）如图④芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身高GH为158cm，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为45°，求此时CH的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin15°≈0.256，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，2≈1.414，312．图1所示是某跑步机实物图，图2是其侧面轮廓示意图，该跑步机置于水平地面上，跑步板AB和置物架CD均与地面平行，支架AE与置物架CD的交点E是CD中点．经测量，支架AE长1m，置物架CD长60cm，控制台CF长40cm，支架AE与跑步板AB的夹角∠BAE＝53°，置物架CD与控制台CF的夹角∠DCF＝127°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）求控制台顶端F到跑步板AB的距离；（2）若跑步板的左端点A离墙30cm，求控制台顶端F到墙面的距离．13．图1是电脑及电脑支架实物图，图2是其示意图，DG是电脑屏幕，托杠AB＝BC＝CD＝24cm，支杠MN＝EF＝10cm，B，M，F为固定点，BF＝10cm，支杠MN，EF可分别绕着点M，F旋转，点E，N分别在AB，BC上滑动．当电脑及电脑支架按如图所示的方式放置时，AE＝6cm．（1）求∠B的度数．（2）当FN＝3cm，MN⊥CD时，试通过计算说明点D是否位于点B的正上方．（参考数据：sin36°≈0.59，cos26°≈0.90，sin18°≈0.31）14．如图1是一种室外红外线测温仪，由三脚支架、角度调节架和测温仪构成．图2是其侧面结构示意图，量得测温仪的长AB＝30cm，角度调节架BC＝20cm，测温仪AB⊥BC且平行于地面，点B固定，点C可以转动，三脚支架的三只脚长度相等且可以收缩．（1）如图3，若将BC按顺时针方向旋转20°，求此时测温仪的仰角∠ABF的度数；（2）为了保证测温仪支撑稳定，又能最有效地测量进入校园师生的体温，经测算，当测温仪的仰角∠ABF＝10°，从其侧面看，三脚支架的脚与地面的夹角为50°，且点A到地面的距离为150cm时效果最佳．请你通过计算说明，此时三脚支架的脚CE应调整到多长？（结果保留整数．参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）15．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝°，EF与AB的位置关系；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）16．如图①是大家熟悉的柜式空调，关闭时叶片竖直向下．如图②，当启动时，出风口叶片会同步开始逆时针旋转到最大旋转角90°时返回，旋转速度是每秒10°，同时空调风从叶片口直线吹出．AB由5个叶片组成的出风口，经过测量，A点、B点距地面高度分别是170cm、145cm在空调正前方100cm处站着一个高70cm的小朋友（线段EF表示）．（1）从启动开始，多长时间小朋友头顶E处感受到空调风；（2）若叶片从闭合旋转到最大角度的过程中，小朋友的头顶E处有多长时间感受到空调风；（3）当选择上下扫风模式时，叶片会旋转到最大角度后原速返回．从启动到第一次返回起始位的过程中，该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了多长时间．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．17．如图1是一个长方体形家用冰箱，长宽高分别为0.5米、0.5米、1.7米，在搬运上楼的过程中，由于楼梯狭窄，完全靠一名搬运师傅背上楼．（1）如图2，为便于搬运师傅起身，冰箱通常与地面成60°角，求此时点D与地面的高度；（2）如图3，在搬运过程中，冰箱与水平面成80°夹角，最低点A与地面高度为0.3米，门的高度为2米，假如最高点C与门高相同时，刚好可以搬进去．若他保持冰箱与平面夹角不变，他要下蹲几厘米（结果保留整数）才刚好进门？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.16，tan80°≈5.67）18．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要有可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O是摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．（1）求显示屏所在部分的宽度；（2）求镜头A到地面的距离．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果保留一位小数）19．八一起义纪念碑坐落于江西省南昌市中心八一广场．1977年八一起义五十周年时破土兴建，1979年1月8日落成．如图，为测量八一起义纪念碑的大致高度AB（AB⊥CD），贝贝在广场平地上的点C处，测得纪念碑的顶部的仰角为30°，贝贝又向纪念碑走近了些测量，于点D处的位置，测得纪念碑的仰角为75°，测得CD＝66米．（1）求贝贝站在D点处仰望纪念碑顶点A的距离AD为多少米？（2）求八一起义纪念碑的大致高度AB．（参考数据2≈1.4，3≈20．2021年11月9日是我国第30个“全国消防宣传日”，该年“119消防宣传月”活动的主题是“落实消防责任，防范安全风险”．为落实该主题，江西省南昌市消防大队到某小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC可伸缩（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m．（1）当起重臂AC长度为15m，云梯消防车最高点C距离地面BD的高度为11m，求张角∠CAE的大小；（2）已知该小区层高为2.8m，若某9楼居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由．（参考数据：3≈1.73221．如图（1）是一盏台灯，它可以灵活调节高度，图（2）、图（3）是它的抽象示意图，其中MN是桌面，底座OA始终垂直MN，点A，B，C处可转动，CD始终平行桌面MN．现测得OA＝1cm，AB＝36cm，BC＝32cm．（1）如图（2），当AB与MN垂直，∠ABC＝150°时，求点D到桌面MN的距离．（结果精确到0.1）（2）如图（3），将（1）中的AB绕点A逆时针旋转，使得∠OAB＝150°，当点D到桌面MN的距离为50cm时，求∠ABC的大小．（结果精确到0.1°）（参考数据：3≈1.73，sin55.9°≈0.83，cos55.9°≈0.56，sin34.1°≈0.56，cos34.1°≈0.8322．首钢滑雪大跳台是世界上首个永久性的单板大跳台，其优美的造型，独特的设计给全球观众留下深刻的印象，大跳台场地分为助滑区、起跳台、着陆坡和终点区域4个都分，现将大跳台抽象成如图的简图，FC表示运送运动员上跳台的自动扶梯，CD表示助滑区，Rt△DEH表示起跳台，EB表示着陆坡．已知∠CFA＝60°，∠EBF＝30°，在助滑区D处观察到顶点C处的仰角是30°，且自动扶梯的速度是2m/s，运送运动员到达跳台顶端C点处需要30秒，BE＝24m，DE∥BF，CA、DG、EF都垂直于BF．（1）求大跳台AC的高度是多少米（结果精确到0.1m）；（2）首钢滑雪大跳台主体结构采用装配式钢结构体系和预制构件，“助滑区”和“着陆坡”赛道面宽35米，面板采用10mm耐候钢，密度为7850kg/m3，求铺装“助滑区”和“着陆坡”赛道的耐候钢总重量是多少吨（结果精确到1吨）．（2≈1.41，3≈23．长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD＝BC＝3AE＝24cm，AB＝30cm，CD＝22cm，且CD∥AB．壶嘴EF＝80cm，∠FED＝70°．（1）求FE与水平桌面l的夹角；（2）如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF∥l，求此时点F下落的高度．（结果保留一位小数）．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75．

2023年江西省中考数学专题练——14锐角三角函数参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长．如图，正十二边形的边长是4，则可求出此十二边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面π的值正确的是（）A．π=6sin15° B．π=12sin15° C．π＝6sin15° D．【解答】解：如图，由正十二边形的性质可知，∠AOB=360°12=30°，则∠AOM在Rt△AOM中，AM＝OA•sin15°，∴AB＝2AM＝2sin15°•OA，∴正十二边形的周长为2sin15°•OA×12，∴π=2sin15°⋅OA×122OA故选：D．2．锐角三角函数tan45°的值为（）A．12 B．22 C．32 【解答】解：根据锐角三角函数的意义可得，tan45°＝1，故选：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，则下列结论正确的是（）A．sinA=13 B．cosB=24 C．tanA＝22 D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，所以BC=AB2所以sinA=BCAB=tanA=BCAC=tanB=AC故选：C．二．填空题（共3小题）4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值为12【解答】解：如图，过C作CD⊥BA交BA的延长线于D，∴CD=12+12=2，BD∴CD2+BD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，∴∠ABC的正切值=CD故答案为：125．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点E，则tan∠AEP＝12【解答】解：方法一：连接BP，由题意得AP∥BQ，AP＝BQ，∴∠PAE＝∠QBE，∠APE＝∠BQE，∴△PAE≌△QBE（ASA），∴PE＝QE，设BQ＝a，则PQ=2a，EQ=1∴EQBQ=2∴EQBQ∵∠EQB＝∠BQP，∴△EQB∽△BQP，∴∠QEB＝∠QBP，∴tan∠QEB＝tan∠QBP=1∵∠AEP＝∠QEB，∴tan∠AEP=1故答案为12方法二：如图，延长QP交格点于D，连接AC交QD于O，则∠AOP＝90°，AO＝OP=12DP=由题意得AP∥BQ，AP＝BQ，∴∠PAE＝∠QBE，∠APE＝∠BQE，∴△PAE≌△QBE（ASA），∴PE＝QE=12∴OE＝2AO，∴tan∠AEP=AO故答案为126．如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上，则tan∠ACD＝13【解答】解：连接BD交AC于点O，设每个小正方形的边长为1，如图所示：由勾股定理可知：AC=32+32=AB＝BC＝CD＝AD=2∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，在Rt△OCD中，tan∠OCD=OD∴tan∠ACD=1故答案为：13三．解答题（共17小题）7．图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，Rt△APG中，sinA=PG∴PG7.8=∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高为7.5m．8．图1是某小型汽车的示意图，图2是其后备厢的箱盖打开过程侧面简化示意图，五边形ABCDE表示该车的后备厢的厢体侧面，在打开后备厢的过程中，箱盖AED可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖AED落在AE′D′的位置．若∠EAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∠AED＝150°，AE＝80厘米，ED＝40厘米，DC＝25厘米，且后备厢底部BC离地面的高CN＝25厘米．（1）求点D′到地面MN的距离（结果保留根号）；（2）求箱盖打开60°时的宽D，D′两点的距离（参考数据：3≈1.73，5+23≈8.464≈【解答】解：（1）延长CD，AE相交于点F，过点E′作E′G⊥AF，垂足为G，过点D′作D′H⊥BC，垂足为H，交AF于点P，过点E′作E′Q⊥D′H，垂足为Q，由题意得：E′G＝QP，AB＝PH＝FC，∠GE′Q＝90°，∠AFD＝90°，∵∠AED＝150°，∴∠FED＝180°﹣∠AED＝30°，在Rt△EFD中，ED＝40厘米，∴FD=12ED＝∵DC＝25厘米，∴AB＝PH＝FC＝FD+CD＝45（厘米），由旋转得：DE＝E′D′＝40厘米，AE′＝AE＝80厘米，∠AED＝∠AE°D′＝150°，∠E′AE＝60°，∵∠AGE′＝90°，∴∠AE′G＝90°﹣∠E′AG＝30°，∴∠D′E′Q＝∠AE′D′﹣∠AE′G﹣∠GE′Q＝30°，在Rt△D′E′Q中，D′Q=12D′E′＝20（在Rt△AE′G中，E′G＝AE′•sin60°＝80×32=403∴QP＝E′G＝403厘米，∴点D′到地面MN的距离＝D′Q+QP+PH+CN＝20+403+45+25＝（90+403）厘米∴点D′到地面MN的距离为（90+403）厘米；（2）连接AD′，AD，DD′，由旋转得：AE＝AE′＝80厘米，∠DAD′＝60°，AD＝AD′，∴△ADD′是等边三角形，∴DD′＝AD，在Rt△EFD中，∠FED＝30°，DF＝20厘米，∴EF=3DF＝203∴AF＝AE+EF＝（80+203）厘米，在Rt△ADF中，AD=AF∴AD＝DD′＝116厘米，∴箱盖打开60°时的宽D，D′两点的距离约为116厘米．9．图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实景图与示意图，此时运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，且G，E，D三点共线．若滑雪杖EM长为1m，EF＝0.4m，∠EMD＝30°，∠GFE＝62°，求此时运动员头部G到斜坡AB的距离GD的长度．（精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）【解答】解：如图，连接GE，则GE⊥EF，GD＝GE+ED．在直角△GEF中，∵∠GEF＝90°，∠GFE＝62°，EF＝0.4m，∴GE＝EF•tan62°≈0.4×1.88＝0.752，在直角△EDM中，∵∠EDM＝90°，∠EMD＝30°，EM＝1m，∴ED=12EM＝∴GD＝GE+ED≈1.3m．故此刻运动员头部G到斜坡AB的高度h约为1.3m．10．如图1，是某校操场上边的监控摄像头，图2是其侧面结构示意图，四边形ABCD为机罩，AD∥BC，∠D＝90°，∠A＝75°，机头部分为EFBG，点G在CB的延长线上，已知EF∥CB∥AD，∠E＝90°，BC＝32cm，CD＝20cm，EF＝6cm，EG＝15cm．（1）求监控摄像头的总长GC；（2）若GC与水平地面所成的角为15°，且点G到地面的距离为400cm，求点D到地面的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，结果精确到0.1cm）【解答】解：（1）过点F作FH⊥GB，垂足为H，∴∠FHG＝∠FHB＝90°∵EF∥BC，∠E＝90°，∴∠G＝180°﹣∠E＝90°，∴四边形EGHF是矩形，∴EF＝GH＝6cm，EG＝FH＝15cm，∵AD∥BC，∴∠A＝∠FBH＝75°，在Rt△FHB中，BH=FHtan75°≈15∴GC＝GH+BH+BC＝42.0（cm），∴监控摄像头的总长GC约为42.0cm；（2）过点G作水平地面的平行线GP，交DC的延长线于点P，过点D作DQ⊥GP，垂足为Q，由题意得：∠CGP＝15°，∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠D＝∠GCP＝90°，∴∠GPC＝90°﹣∠CGP＝75°，在Rt△GCP中，GC＝42.0cm，∴CP=GCtan75°≈42.0∵DC＝20cm，∴DP＝DC+CP＝31.26（cm），在Rt△DGP中，DQ＝DP•sin75°≈31.26×0.97≈30.32（cm），∵点G到地面的距离为400cm，∴点D到地面的距离＝30.32+400≈430.3（cm），∴点D到地面的距离约为430.3cm．11．“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知AB＝BC＝BD＝60cm，∠CBD＝30°．（1）如图③A处离地面多高？（2）如图④芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身高GH为158cm，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为45°，求此时CH的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin15°≈0.256，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，2≈1.414，3【解答】解：（1）如图③，连接AD，∵BC＝BD，∠CBD＝30°，∴∠BCD=12（180°﹣30°）＝∵BA＝BD，∴∠A＝∠BDA=12∠CBD＝∴∠ADC＝90°，∴AD＝AC•cosA≈120×0.966≈116（cm），答：A处离地面约为116m；（2）如图④，过点B作BE⊥DH于E，BF⊥GH于F，则四边形BEHF为矩形，∴BF＝EH，BE＝FH，∵BD＝BC，BE⊥DC，∠CBD＝30°，∴∠EBC＝15°，在Rt△BEC中，sin∠EBC=ECBC，cos∠EBC∴EC＝BC•sin∠EBC≈60×0.256≈15.4（cm），BE＝BC•cos∠EBC≈60×0.966≈58（cm），∴GF＝GH﹣FH＝158﹣58＝100（cm），∵∠GBF＝45°，∴BF＝GF＝100m，∴CH＝100﹣15.4≈85（cm），答：CH的距离约为85cm．12．图1所示是某跑步机实物图，图2是其侧面轮廓示意图，该跑步机置于水平地面上，跑步板AB和置物架CD均与地面平行，支架AE与置物架CD的交点E是CD中点．经测量，支架AE长1m，置物架CD长60cm，控制台CF长40cm，支架AE与跑步板AB的夹角∠BAE＝53°，置物架CD与控制台CF的夹角∠DCF＝127°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）求控制台顶端F到跑步板AB的距离；（2）若跑步板的左端点A离墙30cm，求控制台顶端F到墙面的距离．【解答】解：（1）如图：过点E作EG⊥AB于点G，延长DC交墙面于点H，过点F作FM⊥DH于点M，则控制台顶端F到跑步板AB的距离就是：FM+EG，∵∠BAE＝53°，AE＝1m＝100cm，∴sin∠BAE=EGAE，即sin53°∴EG100≈∴EG＝80（cm），∵∠DCF＝127°，∴∠FCM＝180°﹣∠DCF＝53°．∵CF＝40cm，∴sin∠FCM=FMCF，即sin53°∴FM40≈∴FM＝32（cm），∴FM+EG＝32+80＝112（cm），答：控制台顶端F到跑步板AB的距离112cm；（2）如图，延长BA交墙面于点L，过点A作AN⊥DH于点N，则HN＝AL＝30cm，控制台顶端F到墙面的距离就是：HN+MN，∵点E是CD中点．CD＝60cm，∴CE=12×60＝30在Rt△CFM和Rt△AEN中，CM2＝CF2﹣FM2，NE2＝AE2﹣AN2，∵CF＝40cm，FM＝32cm，AE＝100cm，AN＝EG＝80cm，∴CM2＝402﹣322＝576，NE2＝1002﹣802＝3600，∴CM＝24（cm），NE＝60（cm），∴NC＝NE﹣CE＝60﹣30＝30（cm），∴MN＝NC﹣CM＝30﹣24＝6（cm），∴HN+MN＝30+6＝36（cm），答：控制台顶端F到墙面的距离就是36cm．13．图1是电脑及电脑支架实物图，图2是其示意图，DG是电脑屏幕，托杠AB＝BC＝CD＝24cm，支杠MN＝EF＝10cm，B，M，F为固定点，BF＝10cm，支杠MN，EF可分别绕着点M，F旋转，点E，N分别在AB，BC上滑动．当电脑及电脑支架按如图所示的方式放置时，AE＝6cm．（1）求∠B的度数．（2）当FN＝3cm，MN⊥CD时，试通过计算说明点D是否位于点B的正上方．（参考数据：sin36°≈0.59，cos26°≈0.90，sin18°≈0.31）【解答】解：（1）如图，过点F作FK⊥AB于点K．∵AB＝24cm，AE＝6cm，∴BE＝AB﹣AE＝18cm．∵EF＝BF，∴KB=1∴cosB=BK∴∠B≈26°．（2）∵FN＝3cm，BF＝10cm，∴CN＝17cm，∴sinC=MN∴∠C≈36°．如图，连接BD．∵CD＝BC，∴∠CBD＝∠CDB＝72°，∴∠ABD＝∠CBD+∠CBA＝72°+26°≠90°，∴点D不在点B的正上方．14．如图1是一种室外红外线测温仪，由三脚支架、角度调节架和测温仪构成．图2是其侧面结构示意图，量得测温仪的长AB＝30cm，角度调节架BC＝20cm，测温仪AB⊥BC且平行于地面，点B固定，点C可以转动，三脚支架的三只脚长度相等且可以收缩．（1）如图3，若将BC按顺时针方向旋转20°，求此时测温仪的仰角∠ABF的度数；（2）为了保证测温仪支撑稳定，又能最有效地测量进入校园师生的体温，经测算，当测温仪的仰角∠ABF＝10°，从其侧面看，三脚支架的脚与地面的夹角为50°，且点A到地面的距离为150cm时效果最佳．请你通过计算说明，此时三脚支架的脚CE应调整到多长？（结果保留整数．参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【解答】解：（1）过点C作CH⊥BF，垂足为H，∴∠BHC＝90°，∴∠BCH+∠FBC＝90°，由旋转得：∠BCH＝20°，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠ABF＝∠BCH＝20°，∴此时测温仪的仰角∠ABF的度数为20°；（2）连接DE，过点A作AP⊥DE，垂足为P，交BF于点G，延长HC交DE于点Q，则∠CQD＝90°，AP＝150cm，在Rt△ABG中，∠ABF＝10°，AB＝30cm，∴AG＝AB•sin10°≈30×0.17＝5.1（cm），由（1）可得：∠ABF＝∠BCH，∴∠BCH＝10°，在Rt△BCH中，BC＝20cm，∴CH＝BC•cos10°≈20×0.98＝19.6（cm），∴CQ＝150﹣5.1﹣19.6＝125.3（cm），在Rt△CDQ中，∠CDQ＝50°，∴CD=CQsin50°≈125.3∵CD＝CE，∴CE＝163cm，∴此时三脚支架的脚CE应调整到163cm．15．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝147°，EF与AB的位置关系垂直；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）【解答】解：（1）①∵GH＝MN，MH＝NG，∴四边形GHMN是平行四边形，∵∠NGD＝33°，∴∠M＝∠HGN＝147°，∵AH⊥AB，EF∥AH，∴EF⊥AB，故答案为：147，垂直；②过G作GP⊥EF，垂足为P，∵∠NGD＝33°，∴∠FGP＝57°，∴FP＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，∵GP⊥EF，EF⊥AB，∴GP∥AB，又∵DE∥AB，∴GP∥DE，∵EF∥AH，∴四边形GDEP为平行四边形，∴GD＝PE，∴EF＝DG+PF＝50+50+42≈142.0cm；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P．∴NP＝305﹣50﹣50﹣150＝55cm，∵NG＝GD＝100cm，∴cos∠GNP=NPGN∴∠GNP≈57°，∴∠NGP≈33°，∴∠NGD≈123°，∴∠PGD≈123°﹣33°＝90°，故NF绕着G点顺时针旋转了90°．16．如图①是大家熟悉的柜式空调，关闭时叶片竖直向下．如图②，当启动时，出风口叶片会同步开始逆时针旋转到最大旋转角90°时返回，旋转速度是每秒10°，同时空调风从叶片口直线吹出．AB由5个叶片组成的出风口，经过测量，A点、B点距地面高度分别是170cm、145cm在空调正前方100cm处站着一个高70cm的小朋友（线段EF表示）．（1）从启动开始，多长时间小朋友头顶E处感受到空调风；（2）若叶片从闭合旋转到最大角度的过程中，小朋友的头顶E处有多长时间感受到空调风；（3）当选择上下扫风模式时，叶片会旋转到最大角度后原速返回．从启动到第一次返回起始位的过程中，该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了多长时间．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【解答】解：（1）如图，连接AE，过点E作EM⊥AC于M，由题意可知，CF＝100cm＝ME，AC＝170cm，BC＝145cm，EF＝70cm＝MC，∴AM＝170﹣70＝100（cm），在Rt△AEM中，AM＝100cm，ME＝100cm，∴∠MAE＝∠AEM＝45°，∴从启动开始，到小朋友头顶E处感受到空调风所用的时间为45÷10＝4.5（s），答：从启动开始，4.5s小朋友头顶E处感受到空调风；（2）如图，连接BE，则BM＝145﹣70＝75（cm），在Rt△BEM中，∵tan∠BEM=75100∴∠BEM＝37°，∴∠MBE＝90°﹣37°＝53°∴小朋友的头顶E处感受到空调风的时长为5310-4510答：小朋友的头顶E处有0.8s的时间感受到空调风；（3）如图，当BE绕着点B旋转到BE′时，所用时间为90-5310=3.7（所以该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了时长为0.8+3.7×2＝8.2（s），答：该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了8.2s．17．如图1是一个长方体形家用冰箱，长宽高分别为0.5米、0.5米、1.7米，在搬运上楼的过程中，由于楼梯狭窄，完全靠一名搬运师傅背上楼．（1）如图2，为便于搬运师傅起身，冰箱通常与地面成60°角，求此时点D与地面的高度；（2）如图3，在搬运过程中，冰箱与水平面成80°夹角，最低点A与地面高度为0.3米，门的高度为2米，假如最高点C与门高相同时，刚好可以搬进去．若他保持冰箱与平面夹角不变，他要下蹲几厘米（结果保留整数）才刚好进门？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.16，tan80°≈5.67）【解答】解：（1）过点D作DE⊥MN，垂足为E，由题意得：∠∠BAM＝60°，∠BAD＝90°，∴∠DAE＝180°﹣∠BAM﹣∠BAD＝30°，在Rt△ADE中，AD＝0.5米，∴DE=12AD＝∴此时点D与地面的高度为0.25米；（2）过点B作BF⊥MN，垂足为F，过点C作CG⊥MN，垂足为G，过点B作BH⊥CG，垂足为H，过点A作AK⊥BF，垂足为K，交CG于点J，则BK＝HJ，JG＝0.3米，∠BHC＝∠ABC＝90°，BH∥AK，在Rt△ABK中，∠BAK＝80°，AB＝1.7米，∴BK＝AB•sin80°≈1.7×0.98＝1.666（米），∴HJ＝BK＝1.666米，∵BH∥AK，∴∠HBA＝∠BAK＝80°，∴∠CBH＝∠ABC﹣∠HBA＝10°，∵∠BHC＝90°，∴∠BCH＝90°﹣∠CBH＝80°，在Rt△BCH中，BC＝0.5米，∴CH＝BC•cos80°≈0.5×0.16＝0.08（米），∴CH+HJ+JG＝0.08+1.666+0.3≈2.05（米），∴最高点C与地面的距离约为2.05米，∴2.05﹣2＝0.05（米），∴他要下蹲5厘米才刚好进门．18．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要有可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O是摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．（1）求显示屏所在部分的宽度；（2）求镜头A到地面的距离．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果保留一位小数）【解答】解：（1）过点C作CM⊥DF，垂足为F，∵CD∥AB，AB与水平地面所成的角的度数为35°，∴CD与水平地面所成的角的度数为35°，∴∠DCM＝35°，在Rt△DCM中，DC＝15cm，∴CM＝DC•cos35°≈15×0.819≈12.3（cm），∴显示屏所在部分的宽度约为12.3cm；（2）连接AC，过点A作AH⊥CM，交MC的延长线于点H，∵CE＝2ED，DC＝15cm，∴CE=23CD＝10（∵O为AB的中点，∴OA=12AB＝10（∴OA＝CE＝10cm，∵OA∥CE，∴四边形ACEO是平行四边形，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴四边形ACEO是矩形，∴∠ACE＝90°，AC＝OE＝10cm，∵∠DCM＝53°，∴∠ACH＝180°﹣∠ACE﹣∠DCM＝55°，∴∠HAC＝90°﹣∠ACH＝35°，在Rt△AHC中，AH＝AC•cos35°≈10×0.819＝8.19（cm），∵点C到地面的距离为60cm，∴镜头A到地面的距离＝8.19+60≈68.2（cm），∴镜头A到地面的距离约为68.2cm．19．八一起义纪念碑坐落于江西省南昌市中心八一广场．1977年八一起义五十周年时破土兴建，1979年1月8日落成．如图，为测量八一起义纪念碑的大致高度AB（AB⊥CD），贝贝在广场平地上的点C处，测得纪念碑的顶部的仰角为30°，贝贝又向纪念碑走近了些测量，于点D处的位置，测得纪念碑的仰角为75°，测得CD＝66米．（1）求贝贝站在D点处仰望纪念碑顶点A的距离AD为多少米？（2）求八一起义纪念碑的大致高度AB．（参考数据2≈1.4，3≈【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥AC于点H．在Rt△CHD中，∠C＝30°，∴DH=1∵∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝45°，∴AD=2答：贝贝站在D点处仰望纪念碑顶点A的距离AD为46.2米．（2）∵∠HDA＝∠HAD＝45°，HD＝33（米），∴AH＝HD＝33（米），CH=3∴AC＝CH+HA≈56.1+33＝89.1（米）．在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，∴AB=1答：八一起义纪念碑的高度约为44.6米．20．2021年11月9日是我国第30个“全国消防宣传日”，该年“119消防宣传月”活动的主题是“落实消防责任，防范安全风险”．为落实该主题，江西省南昌市消防大队到某小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC可伸缩（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m．（1）当起重臂AC长度为15m，云梯消防车最高点C距离地面BD的高度为11m，求张角∠CAE的大小；（2）已知该小区层高为2.8m，若某9楼居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由．（参考数据：3≈1.732【解答】解：（1）过点A作AM⊥CD，垂足为M，则AE＝MF＝3.5米，∠EAM＝90°，∵CF＝11米，∴CM＝CF﹣MF＝11﹣3.5＝7.5（米），在Rt△ACM中，AC＝15米，∴sin∠CAM=CM∴∠CAM＝30°，∴∠CAE＝∠EAM+∠CAM＝120°，∴张角∠CAE为120°；（2）该消防车不能实施有效救援，理由：当∠CAE＝150°，AC＝20m时，能达到最高高度，∵∠EAM＝90°，∴∠CAM＝∠CAE﹣∠EAM＝60°，在Rt△CAM中，CM＝AC•sin60°＝20×32=103∴CF＝CM+MF＝103+3.5≈20.82（m∵8×2.8＝22.4（m），∴20.82＜22.4，∴该消防车不能实施有效救援．21．如图（1）是一盏台灯，它可以灵活调节高度，图（2）、图（3）是它的抽象示意图，其中MN是桌面，底座OA始终垂直MN，点A，B，C处可转动，CD始终平行桌面MN．现测得OA＝1cm，AB＝36cm，BC＝32cm．（1）如图（2），当AB与MN垂直，∠ABC＝150°时，求点D到桌面MN的距离．（结果精确到0.1）（2）如图（3），将（1）中的AB绕点A逆时针旋转，使得∠OAB＝150°，当点D到桌面MN的距离为50cm时，求∠ABC的大小．（结果精确到0.1°）（参考数据：3≈1.73，sin55.9°≈0.83，cos55.9°≈0.56，sin34.1°≈0.56，cos34.1°≈0.83【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥CE于点F，∵OA⊥MN，AB⊥MN，∴点O，A，B三点共线，四边形OBFE为矩形，∴EF＝OB＝36+1＝37，∠ABF＝90°，∵∠ABC＝150°，∴∠CBF＝60°，在Rt△CBF中，BC＝32，∴CF＝BC•sin60°＝163≈27.68∴CE＝CF+EF＝27.68+37≈64.7，∵CD∥MN，∴点D到桌面MN的距离约为64.7cm；（2）如图，过点B作BH⊥MN于点H，过点C作CI⊥BH，垂足为I，过点A作AG⊥BH于点G，则四边形OAGH为矩形，C，D，I三点共线，∴GH＝OA＝1，∠OAG＝90°，∵∠OAB＝150°，∴∠BAG＝6