《高数总复习下》课件

高数总复习下contents目录极限与连续一元函数微分学一元函数积分学多元函数微分学多元函数积分学常微分方程01极限与连续函数在某一点的变化趋势，即当自变量趋于某一值时，函数值所趋于的确定值。极限定义唯一性、有界性、保号性、夹逼性等。极限性质根据自变量趋于的值不同，可分为数列极限、函数极限等。极限分类极限概念及性质极限存在准则夹逼准则、单调有界准则等，用于判断极限是否存在。极限运算法则包括四则运算法则、复合函数极限运算法则等，用于计算极限。极限与无穷小关系无穷小是极限为0的函数，极限运算中常用无穷小替换。极限存在准则与运算法则

无穷小量与无穷大量无穷小量极限为0的变量，表示一个逐渐减小的量。无穷大量绝对值无限增大的变量，表示一个逐渐增大的量。无穷小量与无穷大量关系通过极限运算，无穷小量可以转化为无穷大量，反之亦然。连续函数定义连续函数性质连续函数运算连续函数与间断点连续函数概念及性质01020304在定义域内，对于任意一点，都有极限值等于函数值，则称函数在该点连续。连续函数具有局部性质，如局部有界性、局部保号性等。连续函数经过四则运算、复合运算等仍为连续函数。不连续的点称为间断点，根据间断点的性质可分为可去间断点、跳跃间断点等。02一元函数微分学掌握导数的定义及其几何意义，了解可导与连续的关系。导数的定义导数的计算高阶导数熟练掌握基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。030201导数概念及计算123理解微分的定义及其几何意义，了解可微与可导的关系。微分的定义掌握微分的基本公式和运算法则，会求复合函数的微分。微分的计算了解微分在近似计算中的应用，如利用微分求函数的近似值、求函数增量的近似值等。微分在近似计算中的应用微分概念及计算03函数图形的描绘了解函数图形的描绘方法，如利用导数判断函数的单调性、凹凸性等。01中值定理理解并熟练掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容及证明方法。02导数的应用掌握利用导数判断函数的单调性、求函数的极值和最值、求曲线的凹凸性和拐点等方法。中值定理与导数应用泰勒公式01理解泰勒公式的概念及其意义，掌握泰勒公式的求法和应用。洛必达法则02理解洛必达法则的内容及其适用条件，掌握利用洛必达法则求未定式的极限的方法。泰勒公式与洛必达法则的综合应用03了解泰勒公式与洛必达法则在求解复杂数学问题中的综合应用。泰勒公式与洛必达法则03一元函数积分学理解不定积分的本质，掌握原函数与不定积分的关系。不定积分定义与原函数熟练掌握基本积分公式，如幂函数、指数函数、三角函数等的不定积分，以及积分法则如加法、减法、乘法、除法的积分运算。基本积分公式与积分法则掌握换元积分法和分部积分法的原理和应用，能够灵活运用解决复杂的不定积分问题。换元积分法与分部积分法不定积分概念及计算定积分定义与性质理解定积分的定义和几何意义，掌握定积分的基本性质。牛顿-莱布尼茨公式了解牛顿-莱布尼茨公式在定积分计算中的应用。定积分的计算方法熟练掌握定积分的计算方法，如换元法、分部积分法在定积分计算中的应用。定积分概念及计算积分上限函数与微积分基本定理积分上限函数及其性质理解积分上限函数的定义和性质，掌握其与原函数的关系。微积分基本定理理解微积分基本定理的几何意义和物理意义，掌握其在积分计算中的应用。定积分在几何中的应用掌握定积分在平面图形面积、体积计算中的应用。定积分在物理中的应用了解定积分在物理中的应用，如变力做功、液体静压力等。广义积分概念与计算理解广义积分的定义和计算方法，包括无穷限积分和瑕积分。广义积分与定积分应用04多元函数微分学多元函数定义设$D$是一个非空的$n$元有序数组的集合，称为定义域。设对应的规则$f$使得$D$中的每一个有序数组$(x_1,x_2,cdots,x_n)$按此规则都对应一个唯一的实数$y$，则称对应关系$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数的极限设二元函数$f(P)=f(x,y)$的定义域为$D$，$P_0(x_0,y_0)$是$D$的聚点，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$epsilon$，总存在正数$delta$，使得当点$P(x,y)inDcapdot{U}(P_0,delta)$时，都有$|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<epsilon$成立，那么就称常数$A$为函数$f(x,y)$当$(x,y)to(x_0,y_0)$时的极限。多元函数的连续性如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，且$lim_{(x,y)to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，那么就称函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。多元函数概念及极限与连续函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)$，如果极限$lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)}{Deltax}$存在，则称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数。偏导数的定义一般来说，求初等函数在定义域内的偏导数，可以直接用一元函数的求导方法和公式来计算。这是因为一元函数的求导方法和公式都可以直接推广到多元函数偏导数的计算中。偏导数的计算偏导数概念及计算全微分的定义设函数$z=f(x,y)$在点$P(x,y)$的某邻域内有定义，如果函数在点$P$的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A$、$B$不依赖于$Deltax$、$Deltay$而仅与$x$、$y$有关，且$rho=sqrt{(Deltax)^2+(Deltay)^2}$，则称函数$z=f(x,y)$在点$P(x,y)$可微分，而$ADeltax+BDeltay$称为函数$z=f(x,y)$在点$P(x,y)$的全微分。要点一要点二全微分的计算全微分的计算通常是通过求偏导数来实现的。如果函数$z=f(x,y)$的偏导数$frac{partialz}{partialx}$、$frac{partialz}{partialy}$在点$P(x,y)$连续，那么函数在该点可微分，且全微分为$dz=frac{partialz}{partialx}dx+frac{partialz}{partialy}dy$。全微分概念及计算多元函数的极值：设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于$(x_0,y_0)$的所有点$(x,y)$，都有$f(x,y)<f(x_0,y_0)$（或$f(x,y)>f(x_0,y_0)$），则称$f(x_0,y_0)$是函数$z=f(x,y)$的极大值（或极小值）。多元函数极值与最值05多元函数积分学二重积分的定义设$f(x,y)$在有界闭区域$D$上有界，将区域$D$任意分成$n$个小区域$Deltasigma_i(i=1,2,...,n)$，并以$Deltasigma_i$的面积记作$Deltasigma_i$，在每个$Deltasigma_i$上任取一点$(xi_i,eta_i)$，作乘积$f(xi_i,eta_i)Deltasigma_i$，并作和$sum_{i=1}^{n}f(xi_i,eta_i)Deltasigma_i$，如果当各小区域的直径中的最大值$lambdarightarrow0$时，这个和式的极限总存在，则称此极限为函数$f(x,y)$在闭区域$D$上的二重积分。二重积分的计算二重积分可以通过直角坐标、极坐标等不同的坐标系进行计算。在直角坐标系中，可以通过先对$x$积分再对$y$积分（或反之）的方式计算二重积分；在极坐标系中，可以通过先对$r$积分再对$theta$积分的方式计算二重积分。二重积分概念及计算VS三重积分是二元函数在空间上的积分，同二重积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。三重积分的计算三重积分一般采用直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系进行计算。在直角坐标系中，可以通过先对$x$、$y$积分再对$z$积分（或其他顺序）的方式计算三重积分；在柱面坐标系中，可以通过先对$r$、$theta$积分再对$z$积分的方式计算三重积分；在球面坐标系中，可以通过先对$rho$、$phi$积分再对$theta$积分的方式计算三重积分。三重积分的定义三重积分概念及计算曲线积分的定义曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。曲线积分的计算对于第一类曲线积分，可以通过将曲线参数化后直接计算；对于第二类曲线积分，可以通过格林公式将其转化为二重积分进行计算，或者通过直接计算曲线上的线元素和函数值的乘积进行求和。曲线积分概念及计算曲面积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲面，称为积分曲面。曲面积分有很多种类，积分路径为曲面时，称为第一型曲面积分；积分路径为三维空间中的曲线，但处处都有与曲线垂直的等速移动的平面，且平面速度与路径速度的比值恒定，称为第二型曲面积分。对于第一型曲面积分，可以通过将曲面投影到某一平面上后直接计算；对于第二型曲面积分，可以通过斯托克斯公式将其转化为曲线积分进行计算，或者通过直接计算曲面上的面元素和函数值的乘积进行求和。曲面积分的定义曲面积分的计算曲面积分概念及计算06常微分方程微分方程基本概念微分方程的定义含有未知函数及其导数（或微分）的方程称为微分方程。微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。解、通解、特解满足微分方程的函数称为解，含有任意常数的解称为通解，不含任意常数且满足特定初始条件的解称为特解。通过变量分离法求解，将方程化为两个独立变量的积分形式。可分离变量方程利用常数变易法或积分因子法求解，得到通解表达式。一阶线性微分方程对于非线性一阶微分方程，可通过寻找恰当方程或积分因子的方法求解。恰当方程与积分因子一阶微分方程求解常系数线性微分方程利用特征根