人教版2019必修第二册高一物理同步易混易错7.3万有引力理论的成就(原卷版+解析)

第七章万有引力与宇宙航行第三节万有引力理论的成就[核心素养·明目标]核心素养学习目标物理观念(1)理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。(2)理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转化为相关模型后进行求解。科学思维把圆周运动模型引入天体动理论，认为行星绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力。科学探究学习估算地球和太阳质量和密度的科学方法，并且会把方法应用于其他星球质量和密度的求解。科学态度与责任认识万有引力定律的科学成就，体会科学迷人魅力。知识点一“称量”地球的质量1.思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力。2.关系式：mg＝Geq\f(mM,R2)。3.结果M＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他被称为是“能称出地球质量的人”。(4)推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。知识点二计算天体的质量1.思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。2.关系式：eq\f(GmM,r2)＝meq\f(4π2,T2)r。3.结论：M＝eq\f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。4.推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量,这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量，其中T为公转周期，r为轨道半径。(1).利用天体表面的重力加速度求天体质量和密度由mg＝Geq\f(Mm,R2)和M＝ρ·eq\f(4πR3,3)，得ρ＝eq\f(3g,4πGR)。(2).利用环绕天体求中心天体质量和密度若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，中心天体质量M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，联立可得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3).说明(a)当环绕天体贴近中心天体表面飞行时(R＝r)，ρ＝eq\f(3π,GT2)。(b)通过g、R法，环绕法求出M后再进一步求出ρ。(c)知识点三发现未知天体及预言哈雷彗星回归1.海王星的发现英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。2.其他天体的发现近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。3.预言哈雷彗星回归英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。易错易混点1.天体质量和密度的计算易错易混点辨析：类型方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝eq\f(4π2r3,GT2)只能得到中心天体的质量r、vGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(v2,r)m中＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(v2,r)，Geq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝eq\f(v3T,2πG)利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(Gm中m,R2)m中＝eq\f(gR2,G)—密度的计算利用运行天体r、T、RGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)当r＝R时，ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(Gm中m,R2)，m中＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)—例1.(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是()A．核心舱的质量和绕地半径B．核心舱的质量和绕地周期C．核心舱的绕地角速度和绕地周期D．核心舱的绕地线速度和绕地半径解析：选D。根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得eq\f(Gm地m,r2)＝meq\f(v2,r)，解得m地＝eq\f(v2r,G)，D正确；由于核心舱质量在运算中被约掉，故无法通过核心舱质量求解地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由eq\f(Gm地m,r2)＝mω2r得m地＝eq\f(ω2r3,G)，且ω＝eq\f(2π,T)，r约不掉，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误。例2.(多选)(2021·八省联考辽宁卷)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是()A．月球平均密度为eq\f(3v2,4πGR2)B．月球平均密度为eq\f(3v2r,4πGR3)C．月球表面重力加速度为eq\f(v2,R)D．月球表面重力加速度为eq\f(v2r,R2)解析：选BD。根据万有引力提供向心力，有Geq\f(m月m,r2)＝meq\f(v2,r)，解得m月＝eq\f(v2r,G)，月球体积V＝eq\f(4,3)πR3，所以月球平均密度ρ＝eq\f(m月,V)＝eq\f(3v2r,4πGR3)，故B项正确，A项错误；根据月球表面物体的重力等于万有引力，有Geq\f(m月m,R2)＝mg月，又m月＝eq\f(v2r,G)，解得g月＝eq\f(v2r,R2)，故D项正确，C项错误。例3.(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是()A．月球表面的重力加速度g月＝eq\f(2hv\o\al(2,0),L2)B．月球的质量m月＝eq\f(2hR2v\o\al(2,0),GL2)C．月球的自转周期T＝eq\f(2πR,v0)D．月球的平均密度ρ＝eq\f(3hv\o\al(2,0),2πGL2)解析：选AB。根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝eq\f(1,2)g月t2，联立解得g月＝eq\f(2hv\o\al(2,0),L2)，选项A正确；由mg月＝Geq\f(mm月,R2)解得m月＝eq\f(2hR2v\o\al(2,0),GL2)，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝eq\f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3hv\o\al(2,0),2πGL2R)，选项D错误。例4.宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；(2)月球的质量M；(3)月球的密度ρ。解析:(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝eq\f(1,2)g月t2月球表面的自由落体加速度大小g月＝eq\f(2h,t2)(2)不考虑月球自转的影响，有Geq\f(Mm,R2)＝mg月得月球的质量M＝eq\f(2hR2,Gt2)(3)月球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3)＝eq\f(3h,2πRGt2)。易错易混点2.应用万有引力定律分析计算天体运动的问题易错易混点辨析：1．两条思路(1)万有引力提供天体运动的向心力质量为m的行星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律及圆周运动知识得Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝m(eq\f(2π,T))2r。(2)黄金代换质量为m的物体在地球表面受到的万有引力等于其重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg。可以得到：GM＝gR2由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住。所以粗略计算时，一般都采用上述代换，这就避开了引力常量G值和地球的质量M值，非常方便。2．天体运动的物理量与轨道半径的关系(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))；(2)由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))；(3)由Geq\f(Mm,r2)＝m（eq\f(2π,T)）2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))；(4)由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝eq\f(GM,r2)。由以上关系式可知：①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小。②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越远越慢。特别提醒：应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球公转一周时间是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8m/s2等。例5.(2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的()A．轨道周长之比为2∶3B．线速度大小之比为eq\r(3)∶eq\r(2)C．角速度大小之比为2eq\r(2)∶3eq\r(3)D．向心加速度大小之比为9∶4解析:选C。轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，得eq\f(v火,v地)＝eq\r(\f(r地,r火))＝eq\f(\r(2),\r(3))，故B错误；由万有引力提供向心力有eq\f(GMm,r2)＝mω2r，得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，得eq\f(ω火,ω地)＝eq\r(\f(r地3,r火3))＝eq\f(2\r(2),3\r(3))，故C正确；由eq\f(GMm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，得eq\f(a火,a地)＝eq\f(r地2,r火2)＝eq\f(4,9)，故D错误。例6.(多选)(2020·江苏卷·7改编)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍．下列应用公式进行的推论正确的有()A．由v＝eq\r(gr)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝Geq\f(Mm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D．由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍解析：选CD。人造卫星绕地球做圆周运动时有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，即v＝eq\r(\f(GM,r))，因此甲的速度是乙的eq\f(\r(2),2)倍，故A错误；由Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，故甲的向心加速度是乙的eq\f(1,4)，故B错误；由F＝Geq\f(Mm,r2)知甲的向心力是乙的eq\f(1,4)，故C正确；由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，绕同一天体运动，k值不变，可知甲的周期是乙的2eq\r(2)倍，故D正确。例7.(2019·天津卷·1)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”，如图．已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的()A．周期为eq\r(\f(4π2r3,GM)) B．动能为eq\f(GMm,2R)C．角速度为eq\r(\f(Gm,r3)) D．向心加速度为eq\f(GM,R2)解析：选A。嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，由eq\f(GMm,r2)＝mω2r＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，解得ω＝eq\r(\f(GM,r3))、v＝eq\r(\f(GM,r))、T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))、a＝eq\f(GM,r2)，则嫦娥四号探测器的动能为Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(GMm,2r)，由以上可知A正确，B、C、D错误。针对训练1.一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为()A.eq\f(4π2r3,GT2) B.eq\f(4π2R3,GT2)C.eq\f(gR2,G) D.eq\f(gr2,G)解析：选AC。根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得，M＝eq\f(4π2r3,GT2)，选项A正确，选项B错误；在地球的表面附近有mg＝Geq\f(Mm,R2)，则M＝eq\f(gR2,G)，选项C正确，选项D错误。2.近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量)()A．ρ＝kT B．ρ＝eq\f(k,T)C．ρ＝kT2 D．ρ＝eq\f(k,T2)解析：选D。根据万有引力定律得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，可得火星质量M＝eq\f(4π2R3,GT2)，又火星的体积V＝eq\f(4,3)πR3，故火星的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3π,GT2)＝eq\f(k,T2)，D正确。3.如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是()A．M＝eq\f(4π2R＋h3,Gt2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,Gt2R3)B．M＝eq\f(4π2R＋h2,Gt2)，ρ＝eq\f(3πR＋h2,Gt2R3)C．M＝eq\f(4π2t2R＋h3,Gn2)，ρ＝eq\f(3πt2R＋h3,Gn2R3)D．M＝eq\f(4π2n2R＋h3,Gt2)，ρ＝eq\f(3πn2R＋h3,Gt2R3)解析：选D。由Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，又T＝eq\f(t,n)，得：M＝eq\f(4π2n2R＋h3,Gt2)由ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πR3得：ρ＝eq\f(3πn2R＋h3,Gt2R3)，故选项D正确。4.质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的()A．线速度v＝eq\r(\f(GM,R))B．角速度ω＝eq\r(gR)C．运行周期T＝2πeq\r(\f(R,g))D．向心加速度a＝eq\f(Gm,R2)解析：选AC。探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝ma＝meq\f(v2,R)＝mω2R＝meq\f(4π2,T2)R，可得a＝eq\f(GM,R2)，v＝eq\r(\f(GM,R))，ω＝eq\r(\f(GM,R3))，T＝2πeq\r(\f(R3,GM))，所以A正确，D错误；又由于不考虑月球自转的影响，则Geq\f(Mm,R2)＝mg，即GM＝gR2，所以ω＝eq\r(\f(g,R))，T＝2πeq\r(\f(R,g))，所以B错误，C正确。5.据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55Cancrie”．该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的eq\f(1,480)，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55Cancrie”与地球的()A．轨道半径之比约为eq\r(3,\f(60,480))B．轨道半径之比约为eq\r(3,\f(60,4802))C．向心加速度之比约为eq\r(3,60×4802)D．向心加速度之比约为eq\r(3,60×480)解析：选B。由公式Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r，可得通式r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，设“55Cancrie”的轨道半径为r1，地球轨道半径为r2，则eq\f(r1,r2)＝eq\r(3,\f(M1,M2)·\f(T\o\al(2,1),T\o\al(2,2)))＝eq\r(3,\f(60,4802))，从而判断A错，B对；再由Geq\f(Mm,r2)＝ma得通式a＝Geq\f(M,r2)，则eq\f(a1,a2)＝eq\f(M1,M2)·eq\f(r\o\al(2,2),r\o\al(2,1))＝eq\r(3,\f(M1,M2)·\f(T\o\al(4,2),T\o\al(4,1)))＝eq\r(3,60×4804)，所以C、D皆错。6.设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为r，土星绕太阳运动的周期为T，引力常量为G，则根据以上数据可解得的物理量有()A．土星线速度的大小 B．土星加速度的大小C．土星的质量 D．太阳的质量解析：选ABD。由v＝eq\f(2πr,T)知选项A正确；由a＝eq\f(v2,r)＝req\f(4π2,T2)知选项B正确；由Geq\f(mM,r2)＝mreq\f(4π2,T2)知M＝eq\f(4π2r3,GT2)，选项C错误，D正确。7.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是()A．太阳对各小行星的引力相同B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值均大于地球公转的线速度值解析：选C。由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由Geq\f(Mm,r2)＝mr，可得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq\f(GM,r2)，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值均小于地球公转的线速度值，选项D错误。8.如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是()A．甲的向心加速度比乙的小B．甲的运行周期比乙的小C．甲的角速度比乙的大D．甲的线速度比乙的大解析：选A。根据Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝Geq\f(M,r2)，则a1∶a2＝1∶2，故A正确；根据公式Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，则T1∶T2＝eq\r(2)∶1，故B错误；根据公式Geq\f(Mm,r2)＝mω2r可得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，则ω1∶ω2＝1∶eq\r(2)，故C错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，则v1∶v2＝1∶eq\r(2)，故D错误。9.(2020·全国卷Ⅱ·15)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是()A.eq\r(\f(3π,Gρ))B.eq\r(\f(4π,Gρ))C.eq\r(\f(1,3πGρ))D.eq\r(\f(1,4πGρ))解析：选A。根据卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力可得Geq\f(Mm,R2)＝m(eq\f(2π,T))2R，球形星体质量可表示为：M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，由以上两式可得：T＝eq\r(\f(3π,Gρ))，A正确。10.两颗人造卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，周期之比为TA∶TB＝8∶1，则()A．轨道半径之比rA∶rB＝4∶1B．线速度之比vA∶vB＝2∶1C．角速度之比ωA∶ωB＝1∶4D．向心加速度之比aA∶aB＝1∶4解析:选A。根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝mω2r＝ma，解得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，a＝eq\f(GM,r2)，依题意，可得rA∶rB＝4∶1，vA∶vB＝1∶2，ωA∶ωB＝1∶8，aA∶aB＝1∶16，故选A。11.一物体从某行星表面某高度处自由下落。从物体开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示，不计阻力。则根据h－t图像可以计算出()A．行星的质量B．行星的半径C．行星表面重力加速度的大小D．物体受到行星引力的大小解析：选C。根据图像可得物体下落25m，用的总时间为2.5s，根据自由落体公式可求得行星表面的重力加速度，C项正确；根据行星表面的万有引力约等于重力，只能求出行星质量与行星半径平方的比值，不能求出行星的质量和半径，A项和B项错误；因为物体质量未知，不能确定物体受到行星的引力大小，D项错误。12.进入21世纪，我国启动了探月计划——“嫦娥工程”。同学们也对月球有了更多的关注。(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点。已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M月。解析：(1)根据万有引力定律和向心力公式Geq\f(M月M地,R\o\al(2,月))＝M月R月(eq\f(2π,T))2①mg＝Geq\f(M地m,R2)②联立①②得R月＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))。(2)设月球表面的重力加速度为g月，根据题意：v0＝eq\f(g月t,2)③mg月＝Geq\f(M月m,r2)④联立③④得M月＝eq\f(2v0r2,Gt)。第七章万有引力与宇宙航行第三节万有引力理论的成就[核心素养·明目标]核心素养学习目标物理观念(1)理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。(2)理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转化为相关模型后进行求解。科学思维把圆周运动模型引入天体动理论，认为行星绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力。科学探究学习估算地球和太阳质量和密度的科学方法，并且会把方法应用于其他星球质量和密度的求解。科学态度与责任认识万有引力定律的科学成就，体会科学迷人魅力。知识点一“称量”地球的质量1.思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力。2.关系式：mg＝Geq\f(mM,R2)。3.结果M＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他被称为是“能称出地球质量的人”。(4)推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。知识点二计算天体的质量1.思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。2.关系式：eq\f(GmM,r2)＝meq\f(4π2,T2)r。3.结论：M＝eq\f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。4.推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量,这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量，其中T为公转周期，r为轨道半径。(1).利用天体表面的重力加速度求天体质量和密度由mg＝Geq\f(Mm,R2)和M＝ρ·eq\f(4πR3,3)，得ρ＝eq\f(3g,4πGR)。(2).利用环绕天体求中心天体质量和密度若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，中心天体质量M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，联立可得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3).说明(a)当环绕天体贴近中心天体表面飞行时(R＝r)，ρ＝eq\f(3π,GT2)。(b)通过g、R法，环绕法求出M后再进一步求出ρ。(c)知识点三发现未知天体及预言哈雷彗星回归1.海王星的发现英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。2.其他天体的发现近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。3.预言哈雷彗星回归英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。易错易混点1.天体质量和密度的计算易错易混点辨析：类型方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝eq\f(4π2r3,GT2)只能得到中心天体的质量r、vGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(v2,r)m中＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(v2,r)，Geq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝eq\f(v3T,2πG)利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(Gm中m,R2)m中＝eq\f(gR2,G)—密度的计算利用运行天体r、T、RGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)当r＝R时，ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(Gm中m,R2)，m中＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)—例1.(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是()A．核心舱的质量和绕地半径B．核心舱的质量和绕地周期C．核心舱的绕地角速度和绕地周期D．核心舱的绕地线速度和绕地半径解析：选D。根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得eq\f(Gm地m,r2)＝meq\f(v2,r)，解得m地＝eq\f(v2r,G)，D正确；由于核心舱质量在运算中被约掉，故无法通过核心舱质量求解地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由eq\f(Gm地m,r2)＝mω2r得m地＝eq\f(ω2r3,G)，且ω＝eq\f(2π,T)，r约不掉，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误。例2.(多选)(2021·八省联考辽宁卷)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是()A．月球平均密度为eq\f(3v2,4πGR2)B．月球平均密度为eq\f(3v2r,4πGR3)C．月球表面重力加速度为eq\f(v2,R)D．月球表面重力加速度为eq\f(v2r,R2)解析：选BD。根据万有引力提供向心力，有Geq\f(m月m,r2)＝meq\f(v2,r)，解得m月＝eq\f(v2r,G)，月球体积V＝eq\f(4,3)πR3，所以月球平均密度ρ＝eq\f(m月,V)＝eq\f(3v2r,4πGR3)，故B项正确，A项错误；根据月球表面物体的重力等于万有引力，有Geq\f(m月m,R2)＝mg月，又m月＝eq\f(v2r,G)，解得g月＝eq\f(v2r,R2)，故D项正确，C项错误。例3.(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是()A．月球表面的重力加速度g月＝eq\f(2hv\o\al(2,0),L2)B．月球的质量m月＝eq\f(2hR2v\o\al(2,0),GL2)C．月球的自转周期T＝eq\f(2πR,v0)D．月球的平均密度ρ＝eq\f(3hv\o\al(2,0),2πGL2)解析：选AB。根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝eq\f(1,2)g月t2，联立解得g月＝eq\f(2hv\o\al(2,0),L2)，选项A正确；由mg月＝Geq\f(mm月,R2)解得m月＝eq\f(2hR2v\o\al(2,0),GL2)，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝eq\f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3hv\o\al(2,0),2πGL2R)，选项D错误。例4.宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；(2)月球的质量M；(3)月球的密度ρ。解析:(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝eq\f(1,2)g月t2月球表面的自由落体加速度大小g月＝eq\f(2h,t2)(2)不考虑月球自转的影响，有Geq\f(Mm,R2)＝mg月得月球的质量M＝eq\f(2hR2,Gt2)(3)月球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3)＝eq\f(3h,2πRGt2)。易错易混点2.应用万有引力定律分析计算天体运动的问题易错易混点辨析：1．两条思路(1)万有引力提供天体运动的向心力质量为m的行星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律及圆周运动知识得Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝m(eq\f(2π,T))2r。(2)黄金代换质量为m的物体在地球表面受到的万有引力等于其重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg。可以得到：GM＝gR2由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住。所以粗略计算时，一般都采用上述代换，这就避开了引力常量G值和地球的质量M值，非常方便。2．天体运动的物理量与轨道半径的关系(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))；(2)由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))；(3)由Geq\f(Mm,r2)＝m（eq\f(2π,T)）2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))；(4)由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝eq\f(GM,r2)。由以上关系式可知：①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小。②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越远越慢。特别提醒：应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球公转一周时间是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8m/s2等。例5.(2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的()A．轨道周长之比为2∶3B．线速度大小之比为eq\r(3)∶eq\r(2)C．角速度大小之比为2eq\r(2)∶3eq\r(3)D．向心加速度大小之比为9∶4解析:选C。轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，得eq\f(v火,v地)＝eq\r(\f(r地,r火))＝eq\f(\r(2),\r(3))，故B错误；由万有引力提供向心力有eq\f(GMm,r2)＝mω2r，得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，得eq\f(ω火,ω地)＝eq\r(\f(r地3,r火3))＝eq\f(2\r(2),3\r(3))，故C正确；由eq\f(GMm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，得eq\f(a火,a地)＝eq\f(r地2,r火2)＝eq\f(4,9)，故D错误。例6.(多选)(2020·江苏卷·7改编)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍．下列应用公式进行的推论正确的有()A．由v＝eq\r(gr)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝Geq\f(Mm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D．由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍解析：选CD。人造卫星绕地球做圆周运动时有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，即v＝eq\r(\f(GM,r))，因此甲的速度是乙的eq\f(\r(2),2)倍，故A错误；由Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，故甲的向心加速度是乙的eq\f(1,4)，故B错误；由F＝Geq\f(Mm,r2)知甲的向心力是乙的eq\f(1,4)，故C正确；由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，绕同一天体运动，k值不变，可知甲的周期是乙的2eq\r(2)倍，故D正确。例7.(2019·天津卷·1)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”，如图．已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的()A．周期为eq\r(\f(4π2r3,GM)) B．动能为eq\f(GMm,2R)C．角速度为eq\r(\f(Gm,r3)) D．向心加速度为eq\f(GM,R2)解析：选A。嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，由eq\f(GMm,r2)＝mω2r＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，解得ω＝eq\r(\f(GM,r3))、v＝eq\r(\f(GM,r))、T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))、a＝eq\f(GM,r2)，则嫦娥四号探测器的动能为Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(GMm,2r)，由以上可知A正确，B、C、D错误。针对训练1.一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为()A.eq\f(4π2r3,GT2) B.eq\f(4π2R3,GT2)C.eq\f(gR2,G) D.eq\f(gr2,G)解析：选AC。根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得，M＝eq\f(4π2r3,GT2)，选项A正确，选项B错误；在地球的表面附近有mg＝Geq\f(Mm,R2)，则M＝eq\f(gR2,G)，选项C正确，选项D错误。2.近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量)()A．ρ＝kT B．ρ＝eq\f(k,T)C．ρ＝kT2 D．ρ＝eq\f(k,T2)解析：选D。根据万有引力定律得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，可得火星质量M＝eq\f(4π2R3,GT2)，又火星的体积V＝eq\f(4,3)πR3，故火星的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3π,GT2)＝eq\f(k,T2)，D正确。3.如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是()A．M＝eq\f(4π2R＋h3,Gt2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,Gt2R3)B．M＝eq\f(4π2R＋h2,Gt2)，ρ＝eq\f(3πR＋h2,Gt2R3)C．M＝eq\f(4π2t2R＋h3,Gn2)，ρ＝eq\f(3πt2R＋h3,Gn2R3)D．M＝eq\f(4π2n2R＋h3,Gt2)，ρ＝eq\f(3πn2R＋h3,Gt2R3)解析：选D。由Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，又T＝eq\f(t,n)，得：M＝eq\f(4π2n2R＋h3,Gt2)由ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πR3得：ρ＝eq\f(3πn2R＋h3,Gt2R3)，故选项D正确。4.质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的()A．线速度v＝eq\r(\f(GM,R))B．角速度ω＝eq\r(gR)C．运行周期T＝2πeq\r(\f(R,g))D．向心加速度a＝eq\f(Gm,R2)解析：选AC。探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝ma＝meq\f(v2,R)＝mω2R＝meq\f(4π2,T2)R，可得a＝eq\f(GM,R2)，v＝eq\r(\f(GM,R))，ω＝eq\r(\f(GM,R3))，T＝2πeq\r(\f(R3,GM))，所以A正确，D错误；又由于不考虑月球自转的影响，则Geq\f(Mm,R2)＝mg，即GM＝gR2，所以ω＝eq\r(\f(g,R))，T＝2πeq\r(\f(R,g))，所以B错误，C正确。5.据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55Cancrie”．该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的eq\f(1,480)，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55Cancrie”与地球的()A．轨道半径之比约为eq\r(3,\f(60,480))B．轨道半径之比约为eq\r(3,\f(60,4802))C．向心加速度之比约为eq\r(3,60×4802)D．向心加速度之比约为eq\r(3,60×480)解析：选B。由公式Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r，可得通式r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，设“55Cancrie”的轨道半径为r1，地球轨道半径为r2，则eq\f(r1,r2)＝eq\r(3,\f(M1,M2)·\f(T\o\al(2,1),T\o\al(2,2)))＝eq\r(3,\f(60,4802))，从而判断A错，B对；再由Geq\f(Mm,r2)＝ma得通式a＝Geq\f(M,r2)，则eq\f(a1,a2)＝eq\f(M1,M2)·eq\f(r\o\al(2,2),r\o\al(2,1))＝eq\r(3,\f(M1,M2)·\f(T\o\al(4,2),T\o\al(4,1)))＝eq\r(3,60×4804)，所以C、D皆错。6.设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为r，土星绕太阳运动的周期为T，引力常量为G，则根据以上数据可解得的物理量有()A．土星线速度的大小 B．土星加速度的大小C．土星的质量 D．太阳的质量解析：选ABD。由v＝eq\f(2πr,T)知选项A正确；由a＝eq\f(v2,r)＝req\f(4π2,T2)知选项B正确；由Geq\f(mM,r2)＝mreq\f(4π2,T2)知M＝eq\f(4π2r3,GT2)，选项C错误，D正确。7.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是()A．太阳对各小行星的引力相同B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值均大于地球公转的线速度值解