人教版九年级数学上册同步练习 第30课 圆单元检测（二）（原卷版+解析）

第30课圆单元检测(二)一、单选题1．如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为()A．40° B．50° C．60° D．70°2．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于()A．(4π+8)cm2 B．(4π+16)cm2 C．(3π+8)cm2 D．(3π+16)cm23．如图，⊙O的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是()A． B． C． D．4．如图所示，“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，求直径的长？”依题意的长为()A．6寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸5．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是()A．0 B．1 C．2 D．36．一条弦把圆周分成两部分，则这条弦所对的圆周角为()A． B． C． D．或7．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是()A．65° B．115° C．115°或65° D．130°或65°二、填空题8．如图，的半径为5，为的内接三角形，且，点P在劣弧上运动(不与点C、B重合)，连接并延长，在的延长线上取一点E，使得，则的最大值是________．9．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，与⊙O相切于B，C两点，点A，D在圆上．若∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是____°．10．已知⊙O1与⊙O2的半径、分别是方程的两实根，若⊙O1与⊙O2的圆心距=5．则⊙O1与⊙O2的位置关系是.11．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是_________．12．(2023广西省贺州市第25题)如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AB=8，BC=6，求DE的长．13．两圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是____．14．如图中(1)、(2)、…(m)分别是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．(1)3条弧的弧长的和为_____；(2)4条弧的弧长的和为_____；(3)求图(m)中n条弧的弧长的和(用n表示)．_____三、解答题15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．(1)证明：AF平分∠BAC；(2)证明：BF＝FD；(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．

16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．(1)求证：∠A=∠AEB；(2)连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．17．如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边，求两圆相交弧间的阴影部分的面积．18．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C．(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)连接OP，交AB于点Q，若OP＝6，⊙O的半径为2，求PB的长．19．如图，已知的半径为1，是的直径，过点作的切线，是的中点，交于点．(1)直接写出和的数量关系：__________；(2)是的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；(3)填空：当__________时，四边形是平行四边形，同时以点、、、为顶点的四边形是__________．20．如图，四边形是正方形，曲线…是由一段段度的弧组成的．其中：的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；在的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；…，，，，…的圆心依次按点，，，循环．若正方形的边长为，求的长．第30课圆单元检测(二)一、单选题1．如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为()A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【分析】根据切线的性质可得，再根据三角形内角和求出.【详解】∵AB是的切线∴∵∴故选D.【点睛】本题考查切线的性质，由切线得到直角是解题的关键.2．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于()A．(4π+8)cm2 B．(4π+16)cm2 C．(3π+8)cm2 D．(3π+16)cm2【答案】A【分析】图中阴影部分的面积可分为扇形、矩形、三角形的面积和与差，分别进行计算后即可得出结论．【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴AD=BC=4cm，∠DAF=90°，S扇形ADF＝(cm2)，S矩形ABCD＝(cm2)，又AF=AD=4cm，∴S△BCF＝(cm2)，∴S阴影＝S扇形ADF＋S矩形ABCD－S△BCF＝(4π+8)cm2．即商标图案(阴影部分)的面积等于(4π+8)cm2．故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积计算、矩形的性质等知识，掌握扇形面积计算公式及矩形的性质是解题的关键．3．如图，⊙O的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是()A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：仔细分析图形特征可得：当M与A或B重合时，达到最大值；当OM⊥AB时，为最小．当M与A或B重合时，达到最大值，即圆的半径5当OM⊥AB时，为最小值故OM的取值范围是故选A．考点：垂径定理，勾股定理点评：本题容易出现错误的地方是对点M的运动状态不清楚，无法判断什么时候会为最大值，什么时候为最小值．4．如图所示，“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，求直径的长？”依题意的长为()A．6寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸【答案】C【分析】连接AO，设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，然后利用垂径定理得出AE，最后根据勾股定理进一步求解即可．【详解】如图，连接AO，设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，AB=8寸，∴AE=BE=AB=4寸，在Rt△AOE中，根据勾股定理可知：，∴，解得：，∴，即CD长为10寸．故选：C【点睛】本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．5．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】试题分析：取OP的中点N，连结MN，OQ，如图，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，在△OMN中，1＜OM＜3，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．考点：1．点与圆的位置关系；2．三角形中位线定理；3．最值问题；4．轨迹．6．一条弦把圆周分成两部分，则这条弦所对的圆周角为()A． B． C． D．或【答案】D【分析】根据圆周角定理,可证∠AOB=72º,又由圆内接四边形的对角互补知,∠E=180º-∠F=144º.【详解】如图，AB把圆分成1:4两部分,则∠AOB==72º,由圆周角定理知,∠F=∠AOB=36º,由圆内接四边形的对角互补知,∠E=180º-∠F=144º.故选D.【点睛】本题利用了圆内接四边形的性质和圆周角定理,同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补.7．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是()A．65° B．115° C．115°或65° D．130°或65°【答案】C【分析】根据切线的性质得到OB⊥AB，OC⊥AC，求出∠BOC，分点P在优弧BC上、点P在劣弧BC上两种情况，根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可．【详解】解：∵AB、AC是⊙O的切线，∴OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠OBA＝90°，∠OCA＝90°∵∠A＝50°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，如图，当点P在优弧BPC上时，∠BPC＝∠BOC＝65°，当点P′在劣弧BC上时，∠BP′C＝180°﹣65°＝115°，故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理是解题的关键．二、填空题8．如图，的半径为5，为的内接三角形，且，点P在劣弧上运动(不与点C、B重合)，连接并延长，在的延长线上取一点E，使得，则的最大值是________．【答案】40【详解】∵，∴，∵，∴，∴，∴，要使的面积最大，则与边上的高最大即可，当为直径时最大，且边上的高最大，最大值为，如图，∵为的直径，的半径为5，∴，∴．9．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，与⊙O相切于B，C两点，点A，D在圆上．若∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是____°．【答案】99【解析】试题分析：∵EB，EC是⊙O的两条切线，∴EB=EC，∴∠ECB=∠EBC，∴∠ECB=(180°-∠E)=×(180°-46°)=67°，∴∠BCD=180°-∠ECB-∠DCF=180°-67°-32°=81°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°-81°=99°．故答案为99．考点：切线的性质．10．已知⊙O1与⊙O2的半径、分别是方程的两实根，若⊙O1与⊙O2的圆心距=5．则⊙O1与⊙O2的位置关系是.【答案】相交【解析】略11．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是_________．【答案】①②④．【详解】连接AD，AB是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；∵AD是∠BAC的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．故答案为①②④．【点睛】本题考查了1．圆周角定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．弧长的计算．12．(2023广西省贺州市第25题)如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AB=8，BC=6，求DE的长．【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、1.6【解析】试题分析：(1)、由AE=AB，可得∠ABE=90°﹣∠BAC，又由∠BAC=2∠CBE，可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°，继而证得结论；(2)、首先连接BD，易证得△ABD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．试题解析：(1)、∵AE=AB，∴△ABE是等腰三角形，∴∠ABE=(180°﹣∠BAC=)=90°﹣∠BAC，∵∠BAC=2∠CBE，∴∠CBE=∠BAC，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=(90°﹣∠BAC)+∠BAC=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；(2)、连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴=，∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，∴AC==10，∴，解得：AD=6.4，∵AE=AB=8，∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．考点：切线的判定13．两圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是____．【答案】3或7【解析】试题分析：当半径为5的圆是大圆时，此时小圆半径为，当半径为5的圆是小圆时，此时大圆半径为考点：两圆内切的掌握点评：题目难度不大，考查学生对于两圆内切时的认识和掌握，两元内切时，圆心距等于大圆半径与小圆半径之差，做此题时，学生要注意，题目中没有说明哪个是大圆哪个是小圆，所以需要分类讨论14．如图中(1)、(2)、…(m)分别是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．(1)3条弧的弧长的和为_____；(2)4条弧的弧长的和为_____；(3)求图(m)中n条弧的弧长的和(用n表示)．_____【答案】π2π(n﹣2)π【解析】【分析】(1)(2)利用弧长公式和三角形和四边形的内角和公式代入计算；(3)利用多边形的内角和公式和弧长公式计算．【详解】解：(1)∵n1+n2+n3＝180°∴利用弧长公式可得：(2)∵因为四边形的内角和为360度；∴四边形：(3)n条弧＝故答案为：π；2π；(n﹣2)π．【点睛】本题综合考查了多边形的内角和和弧长公式的应用．关键是掌握多边形的内角和公式和弧长计算公式．三、解答题15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．(1)证明：AF平分∠BAC；(2)证明：BF＝FD；(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【详解】证明(1)连结OF

∵FH是⊙O的切线∴OF⊥FH∵FH∥BC，∴OF垂直平分BC∴∴∠1=∠2，∴AF平分∠BAC(2)证明：∵∠ABC的平分线BD交AF于D，∴∠4=∠3，∠1=∠2，∴∠1+∠4=∠2+∠3∵∠5=∠2∴∠1+∠4=∠5+∠3∴∠FDB=∠FBD∴BF=FD

(3)解：在△BFE和△AFB中∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠EFB∴△BFE∽△AFB∴，∴∴∵BF=DF=EF+DE=7∴∴AD==16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．(1)求证：∠A=∠AEB；(2)连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【解析】试题分析：(1)根据圆内接四边形的性质可得，根据邻补角互补可得，进而得到，然后利用等边对等角可得，进而可得；(2)首先证明是等边三角形，进而可得，再根据，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．试题解析：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴，∵，∴，∵DC=DE，∴，∴；(2)∵，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴，∴△ABE是等边三角形．考点：(1)圆内接四边形的性质；(2)等边三角形的判定与性质；(3)圆周角定理．17．如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边，求两圆相交弧间的阴影部分的面积．【答案】4200π﹣3600﹣3600【解析】试题分析：如图，连接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B，则可得O1O2垂直平分AB，由题意可得AC=BC=60，∠AO1B=60°，∠AO2B=90°，由此可得△AO1B是等边三角形，△AO2B是等腰直角三角形，再由S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B-S△AO2B，即可求得所求面积.试题解析：如图，连接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B；则O1O2垂直平分AB，∵AB=120，∴AC=BC=60；由题意得：∠AO1B=，∠AO2B=90°，又∵O1A=O1B，O2A=O2B，∴△O1AB，△O2AB分别是等边三角形和等腰直角三角形，∴O1A=AB=120，O2C=AC=60，O2A=O2C=∴S扇形AO1B=，S扇形AO2B=，S△AO1B=，S△AO2B=，∴S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B-S△AO2B==(cm2)．点睛：本题的解题要点是：S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B-S△AO2B，然后根据已知条件围绕这四个图形的面积进行计算即可.18．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C．(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)连接OP，交AB于点Q，若OP＝6，⊙O的半径为2，求PB的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】(1)连接OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C+∠BAC＝90°，再由OA＝OB，得出∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA+∠OBA＝90°，即可得出结论；(2)由勾股定理即可求PB的长．【详解】(1)证明：连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA+∠OBA＝90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；(2)解：∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，∵PB⊥OB，∴∠OBP＝90°，∵OP＝6，∴PB＝．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握切线的证明方法是解答本题的关键．19．如图，已知的半径为1，是的直径，过点作的切线，是的中点，交于点．(1)直接写出和的数量关系：__________；(2)是的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；(3)填空：当__________时，四边形是平行四边形，同时以点、、、为顶点的四边形是__________．【答案】(1)；(2)是，理由见解析；(3)2，正方形【分析】(1)如图，连接，