人教版七年级数学下册同步压轴题 专题02 平方根与立方根的六种考法全攻略（原卷版+解析版）

专题02平方根与立方根的六种考法全攻略类型一、平方根的非负性例1．已知，则的平方根为____________．例2．若，则的值为______．【变式训练1】当时，化简的结果为_________________．【变式训练2】若实数x，y满足|x﹣3|＋＝0，则(x＋y)2的平方根为_______．【变式训练3】已知与互为相反数，求的平方根．【变式训练4】若，其中a，b均为整数，则______．类型二、利用数轴化简根式例．已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是(

)A． B． C． D．0【变式训练1】已知：如图，化简代数式______【变式训练2】(1)填空：__________；__________；(2)猜想：__________；(3)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：．【变式训练3】若实数、、依次在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【变式训练4】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简：．类型三、探究性规律问题例1．观察下列有规律的一组等式：，即；，即．(1)猜想：______，______．(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含(为正整数)的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性．例2．(1)已知,，，则____；(2)已知,，，则____；(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向___移动____位；(4)如果，则___，____．【变式训练1】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：a…0.04440040000……x2yz…(1)表格中的三个值分别为：x＝；y＝；z＝；(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n(n为整数)时，＝；(3)利用这一规律，解决下面的问题：已知，则①≈；②≈．【变式训练2】(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：a0.00360.36363600____________________________________________(2)根据你发现的规律填空：①已知：2.775，8.775.则___________，___________；②

已知：5.385，若53.85.则x=___________．(3)将你发现的规律用文字语言表述出来.【变式训练3】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：①，②，③，④．(1)观察算式规律，计算＝______；＝______．(2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律并证明．【变式训练4】为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；表．第组第组第组第组第组第组第组__________________(2)请你仿照表中的规律，将表补充完整．表．第组第组第组第组第组第组__________________(3)通过表和表，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．(提示：如果没有思路，你可以先观察第组、第组、第组、第组中的被开方数和结果，再观察第组、第组、第组中的被开方数和结果)．类型四、整数部分问题例1．已知．若为整数且，则的值为(

)A．43 B．44 C．45 D．46例2定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________．【变式训练1】若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________．【变式训练2】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．【变式训练3】阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．请解答：如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；【变式训练4】如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．(1)阴影部分的面积是__________，边长是____________；(2)写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；(3)为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．类型五、平方根与立方根的实际应用例．如图，琦琦想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的纸片，使它的长宽之比为5：4，琦琦能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通过计算说明．【变式训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，(1)小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？(直接写结果)(2)求图中阴影部分的面积．(3)若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求(y﹣)x的值．【变式训练2】教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法(数轴的单位长度为1)．(1)阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；(2)迁移应用：请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及的点，并比较它们的大小．【变式训练3】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t(h)可以用公式来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径．(1)如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果精确到0.1h)(2)如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到0.01km)类型六、平方根与立方根的综合运用例．如果为的算术平方根，为的立方根，求的平方根与立方根．【变式训练1】已知2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根．(1)求，，的值；(2)求多项式：．【变式训练2】计算下列各题，(1)已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根；(2)已知，，求．【变式训练3】已知的平方根是，的立方根是2，．(1)求的值；(2)求的算术平方根．专题02平方根与立方根的六种考法全攻略类型一、平方根的非负性例1．已知，则的平方根为____________．【答案】【详解】解：，，，，．故的平方根为．故答案为：．例2．若，则的值为______．【答案】【详解】解：∵，，即，∴，∴，即，∴，∴，故答案为：．【变式训练1】当时，化简的结果为_________________．【答案】2【详解】解：，又，原式．故答案为：2．【变式训练2】若实数x，y满足|x﹣3|＋＝0，则(x＋y)2的平方根为_______．【答案】±4【详解】解：根据题意得x﹣3＝0，y﹣1＝0，解得：x＝3，y＝1，则(x+y)2＝(3+1)2＝16，所以(x+y)2的平方根为±4．故填：±4．【变式训练3】已知与互为相反数，求的平方根．【答案】的平方根为±3．【详解】∵与互为相反数，∴+=0，∴a=27，b=36，∴=3+6=9，∴的平方根为±3．【变式训练4】若，其中a，b均为整数，则______．【答案】0，2，4【详解】解：∵，其中a，b均为整数，又∵，①当，时，∴，∴②当，时，∴或，∴或③当，时，∴或，∴或故答案为：4或2或0类型二、利用数轴化简根式例．已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是(

)A． B． C． D．0【答案】A【详解】解：观察数轴可知：，，，，，．故选A．【变式训练1】已知：如图，化简代数式______【答案】【详解】解：由数轴得，∴，，∴，故答案为：．【变式训练2】(1)填空：__________；__________；(2)猜想：__________；(3)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：．【答案】(1)5；5；(2)；(3)【详解】解：(1)；；故答案为：5；5；(2)当时，；当时，；∴，故答案为：；(3)由数轴得：，且，∴，，∴．【变式训练3】若实数、、依次在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【答案】【详解】解：根据题意得：，且，∴，，∴，∵∴，∴．【变式训练4】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简：．【答案】【详解】解：由数轴可知，a<b<0<c、，∴a+b<0，b+c>0，c−a>0，∴．类型三、探究性规律问题例1．观察下列有规律的一组等式：，即；，即．(1)猜想：______，______．(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含(为正整数)的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性．【答案】(1)(2)被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，，验证见解析【详解】(1)解：由给定的等式猜想得：；故答案为：；(2)由给定的式子可以得到：被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，用一个含(为正整数)的式子可表示为：；理由如下：．例2．(1)已知,，，则____；(2)已知,，，则____；(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向___移动____位；(4)如果，则___，____．【答案】(1)300；(2)0.04；(3)左(或右)，1；(4)10a，【解析】解：(1)已知，，，则300；(2)已知，，，则0.04；(3)从以上的结果可以看出，被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向左(或右)移动1位；(4)如果，则10a，，故答案为：(1)300；(2)0.04；(3)左(或右)；1；(4)10a；．【变式训练1】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：a…0.04440040000……x2yz…(1)表格中的三个值分别为：x＝；y＝；z＝；(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n(n为整数)时，＝；(3)利用这一规律，解决下面的问题：已知，则①≈；②≈．【答案】(1)(2)(3)【详解】(1)解：根据算术平方根定义可得：．故答案为．(2)解：当(n为整数)时，．故答案为．(3)解：若，则①；②．故答案为：．【变式训练2】(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：a0.00360.36363600____________________________________________(2)根据你发现的规律填空：①已知：2.775，8.775.则___________，___________；②

已知：5.385，若53.85.则x=___________．(3)将你发现的规律用文字语言表述出来.【答案】(1)

0.06

0.6

6

60(2)

87.75

0.02775

2900(3)被开方数小数点每向右(左)移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，反之亦然【详解】(1)因为，，，，故答案为：0.06，0.6，6，60．(2)①因为77的小数点向右移动了2位，得到7700，所以算术平方根的小数点向右移动1位，因为．所以；因为7.7的小数点向左移动4位，得到0.00077，所以算术平方根的小数点向左移动2位；因为，所以0.02775，故答案为：87.75，0.02775．②因为5.385小数点向右移动一位得到53.85，所以被开方数小数点向右移动2位，因为，所以，故x=2900，故答案为：2900．(3)根据前面的解答，发现规律如下：被开方数小数点每向右移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，反之亦然．【变式训练3】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：①，②，③，④．(1)观察算式规律，计算＝______；＝______．(2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律并证明．【答案】(1)6，27(2)，证明见解析．【详解】(1)解：，，故答案为6，27；(2)通过观察可得规律式：；证明：∵n为正整数∴∴【变式训练4】为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；表．第组第组第组第组第组第组第组__________________(2)请你仿照表中的规律，将表补充完整．表．第组第组第组第组第组第组__________________(3)通过表和表，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．(提示：如果没有思路，你可以先观察第组、第组、第组、第组中的被开方数和结果，再观察第组、第组、第组中的被开方数和结果)．【答案】(1)；；(2)；；(3)被开方数的小数点向左或向右移动位，算数平方根的小数点就随之向左或向右移动位．【解析】(1)解：根据题意，得．故答案为：；；．(2)解：已知，，．已知，．故答案为：；；．(3)解：通过观察表和表可发现，被开方数的小数点向左或向右移动位，算数平方根的小数点就随之向左或向右移动位．类型四、整数部分问题例1．已知．若为整数且，则的值为(

)A．43 B．44 C．45 D．46【答案】B【分析】由题意可直接进行求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴；故选B．例2定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________．【答案】35【详解】解：∵，∴，∴，∴的最大整数为35．故答案为：35．【变式训练1】若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________．【答案】

【详解】解：，，则．故答案是：3，．【变式训练2】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．【答案】【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是，∴，，∴，．∵是的整数部分，，∴．∴．∵的平方根是．∴的平方根为．【变式训练3】阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．请解答：如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；【答案】1【详解】∵，即，∴的整数部分为3，小数部分为，即∵，即，∴的整数部分为4，即b=4．∴，即的值是1．【变式训练4】如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．(1)阴影部分的面积是__________，边长是____________；(2)写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；(3)为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．【答案】(1)13，；(2)不大于的所有正整数为：1，2，3；(3)【详解】解：(1)阴影部分面积为：，∵阴影部分是一个正方形，∴边长为：，故答案为：13，．(2)不大于的所有正整数为：1，2，3．(3)∵，∴，∵∴∴．类型五、平方根与立方根的实际应用例．如图，琦琦想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的纸片，使它的长宽之比为5：4，琦琦能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通过计算说明．【答案】不能．理由见解析【详解】不能．理由如下：正方形纸片的边长为：＝30(cm)，设裁出的纸片的长为5acm，宽为4acm，则：5a•4a＝800，解得：a＝2，∴5a＝10＞30，∴不能裁出符合要求的纸片．【变式训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，(1)小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？(直接写结果)(2)求图中阴影部分的面积．(3)若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求(y﹣)x的值．【答案】(1)小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近；(2)；(3)4【详解】解：(1)∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近．(2)∵阴影部分的面积的和为一个长为，宽为(3﹣)的矩形面积，∴阴影部分的面积＝．(3)∵小正方形的边长为，∴x＝2，y＝，∴原式＝，＝4.【变式训练2】教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法(数轴的单位长度为1)．(1)阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；(2)迁移应用：请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及的点，并比较它们的大小．【答案】(1)；(2)①见解析；②见解析，【详解】解：设正方形边长为a，∵a2=2，∴a=，故答案为：，；(2)解：