2022-2023学年江西省抚州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省抚州市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知函数/（%）=%+Inx,则△J;o四±竺匕£02=（）

△X

A.2B.IC.1D.3

24

2.在等差数列中，首项的=3,前3项和为6,则。3+。4+。5等于（）

A.0B.6C.12D.18

3.已知数列｛%｝为各项均为正数的等比数列,%=4,53=84,则log24a2a3“98）的值

为（）

A.70B.72C.74D.76

5.“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、

代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习

过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、每一个n阶代数方程必有

n个复数解等.已知某数列的通项a=汽则与+a2+-+a=（）

nZZl—5Z51

A.48B.49C.50D.51

6.两人掷一枚硬币，掷出正面多者为胜，但这枚硬币质地不均匀，以致出现正面的概率&与

出现反面的概率P2不相等，已知出现正面与出现反面是对立事件，设两人各掷一次成平局的

概率为P,贝IJP与0.5的大小关系是()

A.P<0.5B.P=0.5C.P>0.5D.不确定

7.设/'(x)=\lnx\,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,+8)上有三个不同的零点，则实数a的

取值范围为()

A.©,+8)B・(0,3C.B+8)D.呜

8.定义：如果函数f(%)在上存在巧，%2(。<久i<%2Vb)满足/'(%i)="U?—一Q./'),

32

f(x2)=笔泻,则称函数/(X)是阿力上的“双中值函数”，已知函数f(x)=2x-x+m

是［0,2a］上“双中值函数”，则实数a的取值范围是()

A.&bB.舄C,心》D.《,1)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列说法正确的是()

A.相关系数r越大，两变量的线性相关程度越强

B.若一组数据x2,x3,Xi。的方差为2,则％i+2,%2+2,x3+2....+2的方

差为2

C.若随机变量X服从正态分布N(2,小),?(X<3)=0.64,则P(1SXW2)=0.14

127

贝

在⑻=

D.若P(A)=*P(BIA)=4-3-

24

10.若直线l为曲线G：y=/与曲线C2：y=/的公切线，则直线Z的斜率为()

A.0B.2C.ID.g

11.已知正数匹S满足ea-">赤坛一就丽，则下列不等式正确的是()

A，+X岛B.2f+i>2

1111

C.Ina+a<Inf］+/?D./+^<次+r

12.已知各项均为正数的数列｛a“｝满足：华+；=V2n+2(neN*),且即<1,S.是数列

｛斯｝的前n项和，则()

A.S3=y/~2

B.an=V2n+1—V2n—1

C.>an+l

D.ln(Si+G+ln(S2+C)+…+ln(Sn+C)<

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知函数/(%)的导函数为/'Q),且满足f(x)=x21(1)一"X,则/(1)=.

14.某同学连续两次投篮，己知第一次投中的概率为0.8,在第一次投中的情况下，第二次

也投中的概率为0.7,且第一次投不中，第二次投中的概率为0.5,则在第二次投中的条件下，

第一次也投中的概率为.

15.设等差数列｛即｝的前n项和为Sn，S35<0,S36>0.若对任意的正整数"都有配>Sk,

则整数k=.

16.已知函数/(x)=aln2x+1-x(aeR)有且仅有一条切线经过点(0,0).若Vx6［1,+℃>),

/(x)+minx<0恒成立，则实数m的最大值是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知函数/'(x)=ax3+bx+2在x=2处取得极值—14.

(1)求曲线y=在点(1J(l))处的切线方程；

(2)求函数f(x)在［-3,3］上的最值.

18.(本小题12.0分)

设%是数列｛时｝的前71项和,且劭=—1,On+i=SnS"+i(SuH0).

⑴求治;

(2)求数列｛热｝的前n项和7；.

19.(本小题12.0分)

常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具.洗手是预防

传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险.正

确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一

个步骤.某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生

进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频数分布表如下：

得分45678910

女生2914131154

男生357111042

(1)现以7分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为

“未能掌握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”.完成下面2x2列联表，并判断可否认

为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关，且犯错误的概率不大于0.05?

未能掌握基本掌握合计

女生

男生

合计

(2)从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学,

在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X,求X的分布列与期望.

2

附.K2=_____的八儿),(n=a+b+c+d).

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.(本小题12.0分)

已知数列｛an｝(九€N*)满足与+墨+•••+周=九-2+Jrp

(I)求数列｛aj的通项公式；

(II)若b=an-cosnn,求数列｛b｝前2n项和72n.

21.(本小题12.0分)

红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均

温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

平均温度x/°C21232527293133

平均产卵数y/个711212466115325

z=Iny1.92.433.24.24.75.8

(1)根据散点图判断，y=bx+a与y=ce〃(其中产卵数e=2.718...为自然对数的底数)哪一

个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度式的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

并由判断结果及表中300数据，求出y关于x的回归方程.

(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28。(：上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治,

其他150情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到100

28久以上的概率为P.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为f(p),求f(p)的最大

值，并求出相应的概率.

产卵数

A

400-

350-.

300-

250-

200-

150-

100-*

50-

_卬、_ij-2_।___1____।____।___।____।___UJ।住

0202224262830323436

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=(x—l)eax(a*0).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若a=l,证明：曲线y=/(x)与直线y=x+l恰有两个公共点，且这两个公共点关于点

(0,1)对称.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:•••/(%)=x+Inx,

"(x)=l+；

△xJ、'22

故选：B.

由导数的定义可得△o"2+Ax).f(2)=,结合函数的解析式求出函数的导数，代值计算即

△xJ\J

可.

本题考查了导数的定义和导数的运算法则，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：设公差为d,

则的+a2+。3=3al+3d=6,解得d=-1,

所以=3al+9d=0.

故选:A.

根据题意求出公差d,从而可得出答案.

本题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：•.•数列｛5｝为各项均为正数的等比数列，%=4,53=84,

设公比为q,且q>0,

+q+q2)=84,

解得q=4,(q=-5舍)，

故的,=4n,

8x(l+8)

•••。遂2a3…as—41+2+-+8=4-2—=272'

72

二log2(%a2a3…。8)=log22=72,

故选：B.

根据已知条件求得q以及通项公式，再根据等比数列的性质即可求解结论.

本题主要考查等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题.

4.【答案】a

【解析】解：由f(x)的图象可知,当无<0,时，/(%)先增后减,

则f'(x)的图象在x<0时，应该先在x轴上方，后在%轴下方，

观察选项，可排除选项B、C.

又由f(x)的图象可知,当x>0时，f(x)先增后减,

则「(X)的图象在X>0时，应该先在工轴上方，后在x轴下方，

观察剩余选项，排除选项D

故选：A.

由“乃递增导数大于0./。)递减导数小于0,结合图象即可判断.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：.•"。)=普=会镖=1+占，

.../(x)+/(52-x)=1+^6)+1H-=---2,-------

2(52-x-26)

Qyi+^52-n=2，

，S=%+g+…+。51，

S=Q51+。49+…

2S—■(G]+。51)+(。2+。49)+，,,+(。51+。1)=2X51,

AS=51,

故选：D.

利用倒序相加法，即可求解.

本题考查倒序相加法求和，属基础题.

6.【答案】C

【解析】解：・・・这枚硬币质地不均匀，以致出现正面的概率P1与出现反面的概率P2不相等,

出现正面与出现反面是对立事件，设两人各掷一次成平局的概率为P,

•1•P=Pi+P2=Pi+(1-Pl)2=2pf-2P1+1,

0<Pi<1,且pi=I，

•••p—0.5=2pj-2Pl+1—0.5=2(pi—g)2>o,

・•・p>0.5.

故选：C.

2

由已知得p=pl+pl^pl+(1-P1)=2pf-2Pl+1,由此利用作差法能比较P与0.5的大小关

系.

本题考查两个数值大小关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意概率性质、作差法的合

理运用.

7.【答案】B

【解析】解：法一：,函数g(x)=/(久)一ax在区间(0,+8)上有三个零点,

y=/(x)与y=ax的图象在区间(0,+8)上有三个交点，

对于函数/(%)=lnx(x>1),/'(x)=

设切点坐标为(t,)t),则"U=7,

解得t=e,・•・fc=

e

由图象可知，0<Q<，，

・•・实数Q的取值范围为Q6(0,》；

法二：函数g(x)=/(%)-a%在区间(0,+8)上有三个零点=,即方程呼!=0在(0,+8)有三个实

根，即y=塔1与y=a的图象在(0,+8)内有三个不同交点.

1-lnx列表如下:

Xx>°'

同理，可探究y=-詈(0<x<1)的性质，/=_三罗<0,故丫=一?(0<X<1)单调递减,

故选：B.

法一：由题可得y=f(x)与y=ax在区间(0,+8)上有三个交点，利用导数可得f(%)=lnx(x>1)

与、=ax相切时的斜率，进而可得；

法二：把问题转化为y=等与y=a在(0,+8)内有三个不同交点.利用导数研究函数的性质，再

利用数形结合即得.

本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点问题，考查数形结合思

想及分离变量思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】4

【解析】

【分析】

考查了新定义类型题的解题方法，重点是对新定义性质的理解.

根据定义得出叫声»=8a2-2a,相当于6x?-2x=8a?-2a在［0,2a］上有两个根，利用二次

函数的性质解出a的范围即可.

【解答】

解：f(%)=2炉—四+7n是［0,2©上的“双中值函数”,

.-.^M)=8a2_2a.

2a

••"'(%)=6%2-2%,

・•・6x2—2%=8a2—2a在［0,2a］上有两个根，

令g(%)=6——2%—8a2+2a,

・•・△=4+24(8a2—2a)>0,

g(o)>o,

g(2a)>0,

2a>

o

11

<a<

8-4-

9.【答案】BCD

【解析】解：力：相关系数r的绝对值越大，两变量的线性相关程度越强，错；

B：由。(X)=2,则D(X+2)=2,对；

C：由正态分布的对称性知：P(1<X<2)=<3)-0.5=0.14,对；

D：由P(8)=P(AB)+P(4B)=P(B|A)P(4)+P(4)P(B|4)，

而P(4)=1-P(A)=i,P(B\A)=1-P(B⑷=i,

所以「(8)=3；+*巨三,对.

故选：BCD.

由相关系数的实际意义判断4由方差性质判断B；根据正态分布对称性求概率判断C；应用全概

率公式、条件概率公式求概率判断D.

本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题.

10.【答案】AD

【解析】解：曲线Q：y=x2,则y，=2x,曲线=则y'=3/,

设直线1与曲线6的切点坐标为(a,a?),则切线方程为y=2ax-a2,

设直线I与曲线C2的切点坐标为(mm3),

则切线方程为y=3巾2%—2m3,...2a=3/，a2-2m3,

m=0或m=《，.•.直线，的斜率为0或畀

故选:AD.

根据导数的几何意义即可求解.

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题.

11.【答案】BD

【解析】解：因为正数a,随足-』，

所以e°-2a+sina>"一旃丽，

构造函数/'(X)=ex-,%>0，

令g(%)=2x+sinx,g'(x)=24-cosx>0恒成立,

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

由复合函数的单调性可知g(x)=-五短在(0,+8)上单调递增，

所以/(x)=］一岛菽在(0,+8)上单调递增，

由/⑷⑹，可得。>6>0，

对于4(工+,)(仇+0)=2+,+g>2+2］泉2=4,所以故A错误；

'aB尸8a76aaB«+p

对于从由a>£>0,可得。一£+1>1,所以2。-0+1>2,故3正确；

对于C,由可得ma>仇夕，则仇a+a>)S+/?,故C错误；

对于D,由a>/?>0,可得ea>〃>0,所以专<3，所以,++本故于正确・

故选：BD.

构造函数/(©=］-昌菽，利用导数得出a>/?>(),由基本不等式判断A；

由指数和对数的单调性以及不等式的性质判断BCD.

本题考查了导数的综合运用，关键点是构造函数/0)=峭-=—,x>0,属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：由?+；=U2n+2(n€N*),

a

乙n

得忌—2V2n4-2an+2=0,

由求根公式得的=2、『2*±2、F=<2^+2±E，

v0<an<1,

・•・an=V2n+2—V2n,选项B错误；

Sn=(V4—y/2)+(V6-74)+(V8—V6)+…+(V2n+2—V2n)

=V2九+2—V--2»

S3=(A/-4—V-^)+(A/-6—V-4)+(V-8—6)=V-8—\/~~2=A/-2>选项A正确；

van>0,

,an+l_72n+4—，2n+2_Vn+2—Vn+1

「anV2n+2—V2nVn+1-

(Jn+2+Jn+1)

_______Qn+2+J-+1________

(Vn+l-xTn)(Vn4-14-V-n)

Vn+l+V_7i

=7几+1+1H]

Vn+2+Vn+1，

Aan+l<an^选项C正确；

ln(Sn+<2)=ln(V2n+2)=1ln(2n+2),

设f(%)=1rlx—%+1,x>0,

则/

当X6(0,1),/'(*)>0,f(x)单调递增，

当％e(1,4-00),f(x)<0,/(%)单调递减，

・••当％=1时，取得极大值也是最大值f(1)=0,

/(%)<0,即—1,当％=1时，等号成立，

Aln(2n+2)V2n+l,nEN*,

•••ln(S]+V2)+ln(Sz+V2)+…+ln(Sn+V2)

1

=-[ln44-ln6+…+ln(2n+2)]

<[3+5+­­•+(2n+1)]

=1xn(3±|H±l)=^+31,选项。正确.

故选:ACD.

选项B：已知条件变形，利用求根公式求即，即可判断：

选项4根据通项公式及数列前n项和公式求S3,即可判断；

选项C利用作商法，和1比较大小，即可判断；

选项£)：利用通项公式及数列前n项和求ln(Sn+，N)，再构造函数f(x)=-x+1,x>0,

证明1nx<x-l,利用不等式变形，结合等差数列求和，即可判断.

本题考查由数列递推式求通项公式、数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理和数学运算能力,

属于中档题.

13.【答案】1

【解析】解：由/(X)=/1(l)-bix可得/'(X)=2xf'(X)-g,

所以1(1)=2尸(1)-1,

解得1(1)=1.

故答案为：1.

求导，计算((1),即可求解.

本题主要考查了导数的计算，属于基础题.

14.【答案】g

【解析】解：设事件4表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，由贝叶斯公式可得：

=P(B|4)P(仅_=0.56=28

P(B|A)PQ4)+P(B|4)PG4)°-56+0133'

故答案为：g.

设事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，根据贝叶斯公式直接求解.

本题考查条件概率相关知识，属于基础题.

15.【答案】18

【解析】解：•.•数列｛an｝为等差数列，S35<0,

.1,S35=35(aija35)=35al8<0.即<0,

S36<0,

S36=36(%；。36)=365*9)=18(%8+a19)>0,即由8+的9>0，

**•。19〉0,

.•・数列｛an｝的前18项和最小，

•••对任意的正整数n，都有%>5人，

:.k=18.

故答案为：18.

根据已知条件，结合等差数列的前71项和公式，推得的8<0,％9>0,再结合对任意的正整数n,

都有SnNSk,即可求解.

本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题.

16.【答案】0

【解析】解：f(%)=—-1,设切点为(x0,am2沏+1-&),依题意，也也±口=码四一1

xXQXQ

有且仅有一解，

2

即出层％。_2alnxQ4-1=0有一解，则4=4a-4a=0,解得Q=0(舍)或Q=1,

AIn2%+1—%<—minx,%>1,

设gQ)=In2%一%+1,则g'(%)=1=2.；-工

令/i(x)=2仇％-%九易知当工£(1,2)时，h'(x)>0,当％6(2,+8)时，hz(x)<0,

・•.九(%)在(1,2)单调递增，在(2,+8)单调递减，

：•/(%)</(2)=驾==/n2-l<0,

・•・g(%)在［1,+8)单调递减，则g(%)<g(l)=0,

由于4-1—x<—TH仇工恒成立，即y=—mm工的图象恒在g(%)=In2%—%+1的上方，

当?n>0时，y=一小仇》不符合题意；

当m=0时，g(%)<0恒成立，即7n的最大值为0.

故答案为：0.

先根据题意求得a=1,问题等价于+1-%<-minx,x>1恒成立，设g(x)=ln2x-%4-1,

可得g(%)40，再分m>0及m=0讨论即可.

本题考查导数的儿何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能

力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因/(%)=ax3+bx+2,故((x)=3ax2+b,

由于/(%)在x=2处取得极值，

故有匕肝)=°14,即广14'

(/(2)=-1418a+2b+2=—14

解得《212，

经检验，a=l,b=—12时，符合题意，所以a=1,b=—12,

/(x)=x3-12x+2,/'(x)=3x2-12,故/⑴=-9,1⑴=-9.

所以曲线y=f(x)在点(1J(1)处的切线方程为：y-(-9)=-9(x-l),即9x+y=0.

(2)/(x)=x3-12x+2,fix')=3x2-12>0,

得xW-2或x22；即［-3,-2］单调递增，［-2,2］单调递减，［2,3］单调递增,

/(-3)=H.fC-2)=18,/(2)=-14,f(3)=-7,

因此/(%)在［-3,3］的最小值为f(2)=-14；

最大值为/(-2)=18.

【解析】(1)求出导函数，利用函数的极值，列出方程求解a,b,然后求解切线方程即可.

(2)利用导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值以及端点值，即可得到函数的最值.

本题考查函数的导数的应用，函数切线方程的求法，函数的最值的求法，是中档题.

18.【答案】解：(1)因为Cln+l=Sn+i—Sn,Cln+i=SnSn+i(Sn丰0),

所以Sn+i—S"=Sn,sn+「

两边同除以%S"+i得士一2=一1，

因为的=-1,所以(=-1,

因此数列｛”｝是首项为-1，公差为-1的等差数列，

3n

所以R-1一(九一1)=—n,

所以sn=_；.

-1

(2)由⑴知Sn=一，

...呈=___L_==「__!_)

**n+2n(n+2)21n九+2，'

F=得[(1+…+(；—+)]

=V(i+A击-贵)

2n+33

=2(n+l)(n+2)-4*

【解析】(1)首先根据an+i与%+1，S"的关系得到甘一一三=一1，然后由等差数列的通项公式可

dn+ldn

得；

(2)利用裂项相消法求解7；即可.

本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属

于中档题.

19.【答案】解：(1)由得分情况的频率分布表得2x2列联表如下:

未能掌握基本掌握合计

女生253358

男生152742

合计4060100

100x(25x27-33x15)2

K220.554-

40x60x42x58

因为0.554<3.841,

所以不能认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关，且犯错误的概率不大于0.05.

(2)由得分情况的频率分布表可知I,参与网上测试且得分不低于(9分)的学生中，女生9人，男生6人,

从而分层抽样抽取的10人中，女生6人，男生4人.

在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,

/-•0/->31〃1「2o〃2rli「3[

所以P(X=0)=鬻=芯P(x=l)=詈=奈p(x=2)=甯=芯P(X=3)=藻=4

所以随机变量X的分布列为

X0123

1311

P

301026

1a1iQ

所以E（X）=Ox表+1XK+2X]+3X（=（

【解析】（1）建立二联表代入公式计算即可；

（2）首先找到随机变量X的可能取值为0,1,2,3,通过超几何分布概念计算即可.

本题主要考查独立性检验和离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题.

20.【答案】解：（1）数列｛即｝6€"）满足:+滨+,“+翁=«-2+*,①，

当n=1时，号=1-2+1=0,解得的=0；

当nN2时，y+^1+•••+=n-1-2+^2.②，

①一②得：黄=1+声"一/?’

整理得与=2.-2,（首项符合通项），

故斯=2n-2.

n

（11）由（1）得：bn=an-cosnn=（2—2）-cosnn=2（n为奇'数），

（2n-2（n为偶数）

所以72n=（-21+22-23+…-22rlt+22n）+（2-23）+（2-2+2-...+2-2）,

=-21+22-23+…-22nt+22n,

_-2x[l-<-2）2n]_2x4"-2

=-1-（-2）--3•

【解析】（I）直接利用递推关系求出数列的通项公式；

（II）利用（I）的结论,使用分组法求出数列的和.

本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法的求和，

主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题.

21.【答案】解：（1）由散点图可以判断，y=c/x更适宜作为平均产卵数y关于平均温度X的回归

方程类型，

将y=ce^*两边同时取自然对数，可得biy=Inc+dx,

由题中的数据可得,乎=1（勺々-76）=36.6,221（勺一I）?—7/=112,

.h-X7=l(%Zi-7法)_36,6〜nqq

4WF2~0,33,

则Inc=z—dx=-5.31,

贝ijz关于％的线性回归方程为z=0.33%-5.31，

故y关于％的回归方程为y=e0.33x-5.31；

(2)由f(p)=c3P3(1-p)2,则1(p)=C^p2(l-p)(3-5p),

V0<p<1,令r(p)>0,贝|J3P-5>0,解得。<p<I,

・•・f(p)在(0,|)上单调递减，在(|,1)上单调递增，

・•・