安徽省安庆、池州、铜陵三市部分学校2023-2024学年高三年级上册开学联考数学试题（含答案）

姓名座位号—

（在此卷上答题无效）

安徽省安庆、池州、铜陵警

反部分学募023-2024学年高三上学期开学

联考数学试题

本试卷共4页,22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡

上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题

卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合4={1,2,3,4,5,6},2={工|--6芯+8>0},则集合4n8=

A.{2}B.{2,3,4}C.{1,5,6}D.{1,2,4,5,6}

2.若复数z满足(l+i)z=|17|,则？=

V272,-J272.

A.-iB.iC.----1---iD.------i

2222

3.已知‘至=2,则tana=

1-sina

,43「43

A.—B.—C.---I).---

3434

4.在封闭的等边圆锥（轴截面为等边三角形）内放入一个球，若球的最大半径为1，则该圆锥的体积为

A.3ITB.6ITC.9FD.127r

5.已知函数/（x）=ln（2久+"4x2+a）为奇函数，则人反）=

A.B.lnC/2+1)c.21n(yj-l)D.21n(y2+l)

6.分形几何是一门新兴学科，图1是长度为1的线段，将其三等分，以中间线段为边作---------•图1

无底边正三角形得到图2,称为一次分形；同样把图2的每一条线段重复上述操作得A

*•\.佟|2

到图3,称为二次分形；……，则第5次分形后图形长度为

1013C・嚼D-

A.2—B.3—

2781

7.已知椭圆C的左右焦点分别为F、，%,P,Q为C上两点,2。色=33Q,若LP%，则C的离心率为

A-fBl八yu/i7

C.D.

55

【A-024】数学试卷第1页（共4页）

8.已知正方体的棱长为1,P,。分别为棱G3，81c上的动点，则

四面体PQAD的体积最大值为

11八11

A.—B.—C.—1).—

6432

二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得()分.

9.甲乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲78795491074

乙9578768677

则

A.甲乙两人射击成绩的平均数相同

B.甲乙两人射击成绩的中位数相同

C.甲命中环数的极差大于乙命中环数的极差

D.甲比乙射击成绩更稳定

10.已知P(2,0),A(cosa,sina),8(co错,si电)，4,8两点不重合，则

A.|百-溺|的最大值为2

B.|瓦U而|的最大值为2

C.若尾=入尾，I百-尾|最大值为百

D.若可=入而，笳+昂|最大值为4

2

11.已知#=1为函数/(*)=x-3x-logax的极值点，则(参考数据:In2ao.6931)

A./G)在(0,1)上单调递减B./(x)的极小值为-2

C.C)1).《卜(1)

12.已知平行四边形/18CO中,4(1,2),8(-1,0),。(3,0),P,Q分别为△48C与△仞C的外接圆。

0N上一点，则

A.P,Q两点之间的距离的最大值为6

B.若直线PQ与。M,ON都相切，则直线PQ的斜率为1

C.若直线PQ过原点与ON相切,则直线PQ被0M截得的弦长为4

4

D.lanzL/WP的最大值为名

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.二项式卜+])的展开式中的常数项为.

14.写出函数/(%)=sin|%|-cos%,xG的一个单调递增区间为.

15.过抛物线C：/=4y的焦点F的直线I与C交于4,8两点，且7=4瓦,。为坐标原点，则△048的

面积为.

【A-024】数学试卷第2页(共4页)

16.已知函数/(x)=；？-2xlog产既有极小值又有极大值,则实数a的取值范围是.

四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

TT

如图，在△48C中，角4,8,C所对边长分别为a,6,c,Z_8=1,满足

(a+b)(sinA-sinB)=c(sinB+sinC).

(1)求sinC;

⑵点。在8c上,4。，心/1。=瓜求械

18.(12分)

|a„+2,n为奇数,

已知数列｛册｝满足。产田=(2%，〃为偶数.

(1)记6“=%,求证:数列出+2｝是等比数列；

(2)若7;=.|+。2+…+.“，求T,,,.

19.(12分)

为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各5名同学进行羽毛球友谊赛，每人至多参加一场比赛，各

场比赛互不影响，比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0,其中甲班5名参赛学生的情况如

下表：

学生ABCDE

获胜概率0.40.50.60.70.8

获胜积分87654

(1)若进行5场比赛，求甲班至多获胜4场的概率；

(2)若进行3场比赛，依据班级积分期望超过1()为参赛资格，请问甲班BCD三人组合是否具有参赛

资格？请说明理由.

【A-024】数学试卷第3页(共4页)

20.（12分）

在矩形48CO中,/l8=VlBC=27I,将△4OC沿/IC折起至△4PC的位置,

且P8=2.

(1)求证:平面P48_L平面PBC；

(2)求二面角P-AC-B的正弦值.

21.(12分)

22

已知双曲线。：三-27=1(“>0”>0)的离心率为2,。(4,6)在(：上.

ab

(1)求双曲线。的方程；

(2)不经过点P的直线/与C相交于M,N两点，H.PML0V,求证:直线I过定点.

22.(12分)

已知函数/(x)=e",g(x)=2x+1，若曲线y=/(x)与y=g(x)相切.

(1)求函数y=/(x)-g(%)的单调区间；

(2)若曲线)=顺工)上存在两个不同点4(%,力)，8(孙,力)关于，轴的对称点均在g(x)图象上,

①求实数m的取值范围;②证明:孙+叼>2.

【A-024】数学试卷第4页(共4页)

+

超语港区泣的答第无反请在各聂目的答速区域内作答.超出答盘区域的咨案无效

缤（17）

数学答题卡(19)(12分)

[A-024]

考场号_____座位号______班级r

贴条形码区

姓名_________________________________i_

准

考

证

号

号

一

I4巧行,中生斗士之认妗上的3€HtH.Z度总

CO3COJCOJCO1CO3CO3CO3C03C03C03CO3CO3

注'姓名、班级、考号和座（6号填写在答题卡相应位置，

不用涂改:ncucncuci3cncnci3cuciicnciJ

意2&；《升华七•援健*2IS”氧埴除3及卜上加二*£）的揖％林号.

曼町漳史耕干净.弃过扑他举笔C21C23C23C23C23C23C23C2DC23C2K2JC2]

3.不安遍印雄时，必填世孙＞，叱氐.工已齐手豆.在Q号所川示的与■电

事

区域内栏写作条,怨士答电区点书对岭宇堂生毂姿求宇部工生.C33C3JC3DC33C33C30C33C3DC33C33C33C33

项e汉沛》WC41C43C4JC42C4DC43C4JC43C43C43C43C42

，库加^^卡清沾.完整.尸轮执业.尸争犯任*林龙.尸蛤矮,再令

_及发.修正予L5JC53C53C53t53C53C53C5DC53C5JC5JC5J

26K6JC6JC63C6DC6K63t6DC6JC63C6JC6J

C73C7JC73C73C73C73C73C7DC7JC73C73C7]

：8]C83C83C8]C83C83C83CRD£82C83C83C8J

C9JC93C93C93C93C93C9JC9JC9JCMC9JC9]

选择题（用2B铅Sg填涂）

选择题选择题

(1)iA।Bi(Ci(D1(6)lAiB；iC：ID：(9)ABC'(18)(12分)

(2).Ai-BJICJiD(7)।A8iiC：iD(10)：ABCJD

(3),ABiiC；ID(8)ABtCD（11）：ABC）iD

(4):ABiX''D(12｝：A6CJ(D!

(5)'A1Bi!CJID

非选择题（用05豪米的黑色塞水签字笔书写）

三'填空题

(13)(14)

(15)(16)

四,解答题

(17)(10分)

,超出答题区域的答案无效超出答题区。的答案无款请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效

数学第1页共2页+

+

话在各驶目的答题区域内作答，超出答期区域的答案无效访在各题目的答题区域内作答.起出答题区域的答宴尢效

考生：姓名考生务必将姓名，座位号廊两位用0.5至米的

必填，江七黑色墨水荼字笔认真填写在书写框内，座位号后

\___J_____两位的每个书写框只能康写一个阿拉伯数字(21)(12分)(22)(12分)

诺在若孤耳的答笑区域内作答，超出答式区闻的答案无效谓在各瞪目的笔地区域内作答，超出答睚区域的答案无效

+数学第2页共2页

数学参考答案

I十/乙

cosa

3.【解析】因为------=2,所以cosa+2sina=2,cos2a+4sinacosa+4sin2a=4,

l-sina

3

4sinacosa=3cos2a,tana=—或tana=0(舍去)，故选B.

4

4.【解析】设底面半径为，由己知得/"=#,高为/?=3.故体积为>==3兀.

5.【解析】由已知f(-x)=In^-2x+74x2+a)=In(2x+J4x'+a)Tna,因为

/(_x)=_/(x),故lna=0,所以a=l,/(x)=In+V4x2+1)../(V2)=ln(2>/2+3)=21n(l+V2).

6.【解析】一次分形长度为％=g,二次分形长度为a2=(gj，5次分形长度为%=(g]=4券，故选C.

7.【解析】设|丽卜3"，则|西卜2m,|同=2a-3机，|斯卜2a-2m.

在APQ^中得：(2a-3"?y+25w2=(2a-2m)2,即加=工0.在“耳玛中得：—a2+—a2=4c2，故e=姮.

1525255

8.【解析】过点。作G////8C,PM1DG,PN1CD,设CG=t,PD、=s

I

则f,se[0,l],SMDQ=^ADxDG=^yfl+t,PM=DG=\I^+P,

OM=DMsinCDG=(t+5)-U=，OP=\/l+t2-(s+1\=~^=

故四面体的体积为/=1xIViTP_xJjL=-sf),当st=o时，其最大值为1,故A正确.

32V1+/266

9.【解析】可求甲乙平均数为£=另=7,中位数均为7,故A,B正确；甲的极差为6,乙的极差为4,故

14011?

C正确；甲的标准差为：yX(l+4+4+9+4+9+9)=—,乙的标准差为：-x(4+4+l+l+l+l)=y,故D

错误.

10.【解析】由已知48为单位圆上任意两点，|。|=|。用=1,|苏-丽卜|/8设2,A正确；设。为”的

第1页共6页

中点,则回+而卜21Pq46,故B错误；当P,48共线时，国-丽卜网42,故C错误；当尸,4,5共线

时，|互i+而卜2|PD|44,故D正确.

11.【解析】/'(x)=2x-3----,由/''(1)=0,故lna=-l,所以a=-,/(x)=x2-3x+Inx此时

x\nae'

2/(x)在(o，U(],+8)上单调递增，在佶单调递减./(x)极小值

Z„(X)=2X-3X+1=(2x-l)(x-l)；

为/（1）=-2,故/（|卜/⑴.又0=-4-1114<_2=八1）,故也正确.

12.【解析】可求。(5,2),由/818C,8cl8,0〃的方程为：(x-l)2+/=4,

ON的方程为：(x-3)?+(y-2)2=4,MN=2叵,尸,。两点之间的距离的最大值|>'

D

为2立+4,故A错误.由已知P0//MN,故直线尸。的斜率为1,所以B正确.X,}

当PQ斜率为0时，直线P。被。〃截得的弦长为4,当尸。斜率不为。时，直线。。4一

被。加截得的弦长不为4,故C错误.当op与。M相切时，tan//。尸最大，此时

14

tanAADM=-,tanAADP=-,所以D正确.

13.【答案】15【解析】展开式第厂+1项为：,由3r-12=0,得r=4,故常数项为C：=15.

14.【答案】(-兀，-弓)，-K,-y或(o')，0'等【解析】因为/(—X)=/(X),所以/(X)为偶函

数，由xe[0,句，/(x)=J5sin卜一故〃x)在0,y上单调递增，在季兀上单调递减，由

对称性可知在-兀,-士兀上单调递增.

15.(答案】g【解析】由已知得F(0,1),设直线/的方程为y=kx+\代入炉=4y整理得x2-4kx-4=0,

设Z（X],必）,3（%2，y2），故玉+吃=4£，①X1X2=-4②，又AF=4FB,故再=-44③。由①

01

2

②③解得左2=二.此时，AB=yl+y2+2=k（xi+x^+4=4（k+1）,。到Z5距离为：d=-f==.

16--J1+左2

故AaiB的面积为5=,48-4=2护17=3.

Inx1

16.【答案】(],e)【解析】/'(x)=2x-2——+----(xln”-1一Inx)在(0,+oo)上有两个不等的

InaIna

实数根，故0vln〃<l,解得。£(l,e).

第2页共6页

17.【解析】（1）由已知及正弦定理得：（a+b）（a—b）=c（b+c）,^b2+c2-a2=-bc.……2分

,222[

由余弦定理得：cos/=2万

+c-a又Ne（O,乃），所以N3分

2bc2T

所以sinC=sinf---=sin—cos--cos—sin—=~~~—......................................5分

I34)34344

(2)由(1)知/=上，又所以/BAD=%,^ADB=—

3612

y[(>+V2

7分

4

在&48。中，由正弦定理得：

AB-AD血出普_36+瓜

一,//1tA2*1£）——10分

sinNADBsinBsin工2

4

18.【解析】（1）由已知，由已知A=%=3,又4+2=%+2=5

当w22时,bn=a2„=a211T+2=2a2„_2+2=2b„_x+2.........................................2分

故6“+2=2(如+2),

所以数列｛"+2｝是首项为5,公比为2的等比数列........................................4分

(2)由(1)知：bn=5x2"-'-2......................................................6分

&=q+a2+---+a2„=(«!+a3+---+a2„,,)+(a2+(/„+.••+tz2„)=2(/>>+*2+.■-+/>„)-2«....8分

设S,,=4+H+…+»=5x(l+2+…+2"T)_2〃=5X2"_2〃-5...............................10分

故氏=2S“-2”=5x2”“-6〃-10........................................................12分

19.【解析】⑴记A,B,C,D,E参赛获胜事件分别用A,B,C,D,E表示，

5场全胜的概率为：P(ABCDE)=0.4x0.5x0.6x0.7x0.8=0.0672...........................2分

甲班至多获胜4场与5场全胜为对立事件，故甲班至多获胜4场的概率为

尸=1-P(ABCDE)=1-0.0672=0.9328

甲班至多获胜4场的概率为0.9328..........................................................4分

(2)记BCD三人组合班级得分为丫，丫的取值分别为0,7,6,5,11,12,13,18,由己知得

P(y=0)=0.5X0.4X0.3=0.06,P(y=7)=0.5x0.4x0.3=0.06

第3页共6页

尸(y=6)=0.5X0.6X0.3=0.09,P(Y=5)=0.5x0.4x0.7=0.14

P(Y=11)=0.5x0.6x0.7=0.21,尸(Y=⑵=0.5x0.4x0.7=0.14

P(K=13)=0.5x0.6x03=0.09,P(y=18)=0.5x0.6x0.7=0.21............................10分

£,(7)=7x0.06+6x0.09+5x0.14+11x0.21+12x0.14+13x0.09+18x0.21=10.6

因为E（y）=10.6>10,所以BCD三人组合具有参赛资格...................................12分

20.【解析】(1)由已知可得：BC=2,PB=2,PC=CD=AB=2O

在AP3C中,PB2+BC2=PC2,故PB工BC.........................................2分

又ABLBC,且尸8nz8=8，平面PAS

因为BCuABC,所以平面平面尸8C........................................4分

（2）取48、CD的中点。、E,连接OP,OE.p

因为P4=PB,所以POJ.Z8,未、

由（1）知：平面P48,平面N8C,............6分

所以尸。平面/8C.

AOBx

以O8,OE,OP所在直线分别为x/,z轴，建立空间直角坐标系。

则^（-V2,0,0）,5（V2,0,0）,C（V2,2,0）,P（0,0,V2）..................................8分

设平面/PC的法向量为玩=6,乂,zj,配=（2行,2,0）,"=（、历,0,0）

2行演+2y=

in-AC=0,m-AP=0,

y/2x{+&Z]=

取％=1,必=一五，4=-1,贝ij玩=（1,一五，-1）....................................10分

A77*n

又平面APC的法向量为n=(0,0,1),cos(m,n)=LT7=--

网同2

所以二面角P—4C-8的正弦值为二二..................................................12分

2

21.【解析】（1）由已知得：e=—=2,c=2a,所以62=3/,又—•—警=1,........2分

aah

解得/=4,〃=12,故双曲线0的方程为工_己=1..................................4分

412

（2）设直线/的方程为y=b+〃z,与。：［一］=1联立整理得:

第4页共6页

（3-k2）x2-2kmx-m2-12=0,由已知4*±G。

设必），汽（々,歹2），则x）+x2