2021-2022学年上学期高三第一次月考备考B卷-数学

（新高考）2021-2022学年上学期高三

第一次月考备考金卷

数学⑻

■注意事项：

s1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，

朝s

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

搦

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

K4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

-

-第I卷

-

氐-一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出

-

-的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

-

-1.已矢口集合A={x|log2iW2},B=[X\JC-x-6<0\,则A|B=（）

-

堞

中A.{x[0<xW4}B.{x|-2<x<4}

三

敝

杷C.{x|0<x<3}D.{%|%<Og5a<3}

K【答案】C

【解析】A={%|log2x<2}=1%10<x<4}>

B=|x|x2-x-6<01={x|-2<x<3}>

WAB={x|0<%<3}-故选C.

耕

——2.复数z满足条件（4+3i）z=3+4i（i为虚数单位），则忖=（）

A.1B.5C.-D.25

5

【答案】A

畜

（3+41）（4-31）24+7i

【r解析】因为（4+3i）z=3+4i，所以z=^------今----=------，

I）（4+3i）（4-3i）25

所以忖=1，故选A.

3.已矢口直^/］：x+y+7〃=0,4：x+m2y=O.则“4〃丫是“加=1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由题意，直线4:无+y+m=O,直线4：x+苏y=0,

因为/1〃小可得M=i,解得加=±1，

所以“4化”是“m=1”的必要不充分条件，故选B.

22

4.设双曲线0：二—与=i（q>o为>0）的左、右焦点分别是耳，居，过鸟作渐

cib

近线的垂线，垂足为P.若△OP片的面积为9,则双曲线。的离心率为（）

A.JLB.6C.2D.75

2

【答案】D

【解析】由双曲线性质知，PF2=b,OP=a，

由PFJJ0P,得以ZX.（JrPrF2=SZAXU。r"r^=贵4=约2，解得b=2a，°=氐，

所以双曲线。的离心率e=6,故选D.

5.设%,是两个不同平面，加,〃是两条不同直线，下列说法正确的是（）

A.若m_L〃，根_La,〃〃夕，则。〃尸B.若贝!J〃〃/

C.若m〃a,n10,m/In,则D.若加J__L_L〃，则加〃"

【答案】C

【解析】以正方体为例,

A.AB=m,BC=n，平面3。。4=。，平面与平面4月。12都可以是平

面夕，a与夕可能平行也可能相交，A错；

B.平面3CC4=a，平面AB=m>BBx=n,此时〃与夕相交，

B错;

C.m//cc>由线面平行的性质定理，a内有直线/〃加，m//n>则〃〃/，n10，

则/，/，则a,尸，C正确；

D.平面3CG4=a，平面A4G2=£，AB=m，BBx=n,但相与〃相交，不

平行，D错，

故选C.

=a+Cl,

6.已知数列｛%｝中，%=4，dm+nmn则-i+%+93+…+卬9=')

A.95B.145C.270D.520

【答案】C

【解析】在等式册+“=金+a”中，令加=1，可得a“+i=a“+G，则用用-a”=%,

所以，数列｛4｝为等差数列，且该数列的首项和公差均为内,

因为%=2。］=4,故6=2,所以，an=2+2(〃—1)=2八，则。15=2x15=30,

因止匕%+%2+%3+--+%9=9(.；3=^^=9%5=270,故选C.

7.已知函数/(x)=；—；—3X+1，且/(1)+/(3。-4)>2,则实数。的取值范

围是()

A.(Tl)B.(-3,2)c.(0,5)D.(-1,4)

【答案】A

【解析】令g(x)="—3x，则/(x)=g(x)+l，

21+1

*•*+>2,**•g(〃2)+g(3〃-4)>o,

—1(r)X—1\

，

••.?(-x)=-^--3(-^)=----3x=—g(x)，...ga)是R上的奇函数,

2+112*+lJ

g(«2)+g(3a—4)>0可化为g„>g(4-3a)，

2A-12

又：g(x)=—3x=1——3x9

2V+1F+T

221n2-3=21n2x-------i----------3<--3<0

g'(x)=

2X+—+22

2X

所以g(x)在R上是减函数，

a2<4-3af解得T<a<l，故选A・

8.已知定直线/的方程为丁-1=左(％-2)(左<0),点Q是直线/上的动点，过点

。作圆C:(x—iy+(y+2)2=l的一条切线，m是切点，C是圆心，若△QMC面

积的最小值为亚，则此时直线/上的动点E与圆C上动点R的距离怪周的最小

值为()

A.-B.2C.iD.1

332

【答案】B

【解析】由题意可得直线/的方程为质-y+1-24=0，

圆C的圆心C(l,-2),半径为1,如图:

y

S^QMC^QM\.\CM\^QM\，

又|。闾=.•・当|CQ|取最小值时，|Q叫取最小值,

止匕时CQJ_/,可得|QM|=2/，.•.|Q2|=3，

贝1）3」k+j+l—2看,解得左=_3优＜（））,

则直线/的方程为3x+4y-10=0，

则直线/上的动点E与圆C上动点R的距离|E司的最小值为—1=2,

V32+42

故选B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出

的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，

有选错的得0分.

9.在ZXABC中，角A,B,C所对的三边分别是a,b,c,以下条件中，使得ZvlBC

无解的是（）

A.a=y/2,b=y/3,A=12Q°B.a=42,b=46,A=45o

C-b=,cosA=,B=60。D.c=\[3b,sinA=c=60°

【答案】ABD

【解析】对于A,大边对大角，而a＜。，无解；

对于B,由正弦定理得sinN＞l,无解；

对于C,由cosA=半可得sinA=竽，正弦定理求出a,再由正弦定理或余弦

定理可求出c,有解；

对于D,由。=，0和。=&/?,通过余弦定理可得cosC=0,与C=60。矛盾,

无解，

故选ABD.

10.下列结论中，所有正确的结论是()

A.若尤<—3，则函数y=x+二一的最大值为-3

x+3

B.若个>0，2x+3y=4孙，则2x+y的最小值为2+百

C.若x,ye(0,+oo),d+y2+孙=3,则孙的最大值为1

D.若%>2，y>-2,x+2y-2,贝!J—-—+—--的最小值为3+20

x22y+4

【答案】BC

【解析】A：由尤v—3,则x+3vO.

Xy=%+3+———3=-（-x-3）+—------3<—2—3=—5,当且仅当无=T时等

x+3_—x_3_

号成立，错误；

23

B：xy>0,所以2x+3y=4q可化为一+—=4,

y%

贝l]2x+y=！（2x+y）[3+2]=』（8+"+^]»![8+2世.苴]=2+6,

4y）41yxJ4（yyx\

当且仅当把=苴时等号成立，正确；

yx

C：由x,y£(0,+oo),/+J+町=3,即xy=3-(^x2+y2)<3-2xy,解得孙01,

当且仅当％=y时等号成立，正确;

D.由—Z—<（1）+（2>+4）X+2y+2=2,即1_—<1,

中11~2

------+--------2------+--------

x—22y+4x—22y+4

即」一+」一21,当且仅当尤一2=2y+4,即％=4,y=—1时等号成立，错误，

x—22y+4.

故选BC.

11.在八旬。中，内角A,优C的对边分别为a,A,c，下列说法中正确的是（）

A.若八钻。为锐角三角形且4>3,则sinA>cos5

B.若sin2A=sin25,则人钻。为等腰三角形

C.若A>B,则sinA>sin5

D.若a=8,c=10,3=60。，则符合条件的△ABC有两个

【答案】AC

【解析】对于A,因为若△ABC为锐角三角形且A>5,所以A+B>巴，

2

所以4>]一8，所以sinA〉sin[-2?]=cos3,故A正确；

对于B,若sin2A=sin25，则2A=25或2A=兀—2"

若2A=25,则"BC为等腰三角形；

若24=兀—25，则4+8=3，则八46。为直角三角形，故B不正确；

2

对于C,由A>_8可得a>b，所以上结合正弦定理可得sinA>sin_B，

2R2R

故C正确；

对于D,a=8,c=10，3=60。，cosB=0十」一段，

lac

即cos60。=8?+102",解得6=2新，只有一个解，故D不正确，

2x8x10

故选AC.

22

12.在平面直角坐标系尤2y中，己知双曲线C:，-谷=1（。〉0]〉0）的离心率为

ab

叵,A,8分别是双曲线C的左，右顶点，点尸是双曲线C的右支上位于第一

2

象限的动点，记Q4,PB的斜率分别为尢/2，则（）

2

A.双曲线C的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线C的方程为土-y2=i

4-

B.双曲线C的渐近线方程为》=±2%

C.左的为定值

D.存在点尸，使得左+&=1

【答案】AC

【解析】因为双曲线C工一亡=1（。〉0力〉0）的离心率为更，

a2b22

所以e=£=1,2〜也11=工，渐近线方程为y=±1x，故B错误;

a2aJ22

不妨设双曲线的焦点（c,0）到y=的距离为1，即*=1，解得c=君，

又e，=@,故a=2,b=l,

a2

2

所以双曲线方程为土—y2=「故A正确；

4

因为4（—a,0），B（a,o），设？（九,丁），则匕.幺=上.上=器丁=竺=工，

x+ax-ax-cicr4

故C正确；

k+k=」+」=2孙=2..3=1,三,

12%+〃x-ax2-a2x2-a2y2y

因为点P在第一象限，渐近线方程为y=±；x，所以0〈后p<g,则j〉2,

所以左+&>1，所以不存在点P，使得匕+&=1，故错误，

故选AC.

第n卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.x+1-A的展开式中常数项是

【答案】481

2

【解析】由T，r=0,!,­••,6»

中的常数项为=240；

当厂=6时，T［二中的常数项是1，

故'+1—亍］的展开式中常数项为481,故答案为481.

14.一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来,

则第4次摸出的是白球的概率为.

【答案】-

9

【解析】将4个白球和5个黑球都看作是不同的,并将球一一摸出依次排成一排,

每一种不同的排法看作一个基本事件，那么基本事项的总数为A；,

其中第4个球是白球的排法数为A；A；,

故所求概率为P==故答案为

A；99

15.如图所示，已知点G是△AB。的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边

于N两点，M4M=xAB9A7V=yAC，则2x+y的最小值为-

M

G

BV

【答案】3+2人

3

【解析】根据条件：AC=-AN,AB=-AM,

yx

因为G是八ARC的重心,AG=—AB—AC>AG=—AM---AN)

333x3y

又M,G,N三点共线，；.工+工=1,

3x3y

八八c小、/11、.2%y.[2x~~y~3+20

x>Q,y>Q,2x+^=(2x+)；)(—+—)=1+—+—>1+2J—■—=---，

5x5y5y5xy3y5x5

当且仅当生=JL,即y=时取等号成立，

3y3x

，2x+y的最小值为三辿，故答案为3+2..

33

16.若用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四

面体一个面上，并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为

,体积的最大值为.

【答案】半，80

【解析】如图，正四面体ABCD的内接正三棱柱乌旦耳，

首先。，瓦下三个顶点必在正四面体的三条棱上，才能使得三棱柱体积最大，

正四面体ABCD棱长为6,则高为AM=62-*x6=2几，

设正三棱柱高为〃，底面边长为a,

因为平面DEF〃平面38,所以，=宏1/，a=%Gh)，

2

SADEF=半〃=^-X-^(2A/6-A)=^^~(2瓜一h¥，

444o

2h+2A/6—h+2A/6-)

当且仅当2/2=2#-人，即丸=冬回时等号成立,

则所制作的正三棱柱模型的高为复1,体积的最大值为8鱼，

故答案为汉！，8后.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.（10分）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，满足S“+4=l.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

口）记―+1）2+1『求数列也｝的前“项和小

【答案】（1）a=—;（2）T=-——.

〃2〃32n+1+l

【解析】（1）由S［+q=l,得

又£"+风=1,作差得2%+「4=0,所以手=；,

［鼠］+。“+1=1an2

所以｛4｝是以;为首项，g为公比的等比数列，则有.

（2）由题得2=（4+1）（1+1）=（2〃+1）（2用+1）=

所以小»42［击一备,7r

18.（12分）在ZiABC中，角A，BC的对边分别为。，b，c,且

c-tanA=（2b-c）.tanC.

（1）求角A的大小；

（2）若点少在AC边上，且42=3,BD=BC，求sin/ABC的值.

DC2

【答案】（1）4；（2）皂I.

314

【解析】（1）依题意，根据正弦定理得,inC•sinA=（2sinB-sin0・sinC,

cosAcosC

整理得sinAcosC+cosAsinC=2cosAsinB，

即sin（A+C）=2cosAsinB.

因为sin（A+C）=sin（兀一B）=sin6>0,所以cosA=g，

又OVAVTI，所以A=±

（2）如图，作6石，AC,垂足为E,

B

则NABE=纭—NA=火,

26

所以NABC=ZABE+NCBE=P+NCBE.

6

因为处=3

设℃=21/>0),BD=BC，

DC2

所以A£)=3r，DE=EC=t，AE^4t-

在RtAABE中，BE=AE-tanA=46f，

在中，BC=\lBE12+EC2=7r

所以sinNCBE」，cosNC5E=^

77

所以sinZABC=sin-+NCBE=sin巴cosZCBE+cos-sinZCBE

[6J66

14A/37315百

二—X-------1-----x—=------•

272714

19.（12分）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分，数学建模能力是应

用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了

一次数学建模竞赛活动，已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布

直方图如下.

(1)为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上(含60

分)的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平，决定利用分层抽样的

方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记J为

抽取的4人中，成绩不合格的人数，求J的分布列和数学期望；

(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩x服从正态分布其中〃可

用样本平均数近似代替，人可用样本方差近似代替(用一组数据的中点值作代

表)，若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100

分,试估计此次竞赛受到奖励的人数有多少？(结果根据四舍五入保留到整数位)

解题中可参考使用下列数据：P(〃-b<XW〃+cr)y0.6827,

P(//-2cr<X<〃+2cr卜0.9545，P(Je/-3a<X<//+3cr)«0.9973.

【答案】(1)分布列见解析，数学期望为§；(2)50.

5

【解析】(1)由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的

人数为(0.01+0.02)x20x10=6»不合格的人数为10-6=4.

因此，《的可能值为0,1,2,3,4,

则小=。)=*=古，噂=1)=咎=・，相=2)=等

jo‘4jojo/

0仁=3)=詈=20仁=4)=3=人

V-XJQDJJ-\J

故J的分布列为

01234

18341

P

1421735210

所以占的数学期望E（H=0XL+1X§+2X3+3X&+4X-L=S.

^v714217352105

（2）由题意可知，M=（30x0.005+50x0.015+70x0.02+90x0.01）x20=64-

cr2=（30-64）2x0.1+（50-64）2x0.3+（70-64）2x0.4+（90-64）2x0.2=324，所以

<T=18-

由X服从正态分布此〃,"），

得P（64-18<X<64+18）=P（46<X<82）«0.6827,

则P（X>82卜g（l-0.6827）=0.15865，

P(X>46)-0.6827+0.15865=0.84135，60x0.84135®50>

所以此次竞赛受到奖励的人数为50.

20.(12分)中国古代数学名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：

“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖席”.“堑堵”其实就是底

面为直角三角形的直棱柱.某“堑堵”如图所示，A4,=AC=CB=2,点。在线段

上，Bq〃平面A。。.

(1)证明：AD=BD；

(2)若点M是底面BCG4内的动点，且求三棱锥3。片体积

的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

3

【解析】（1）证明：如图，连接A。，设AC1\C=O,再连接OZ）.

由题知四边形ACGA是正方形，所以o是AG的中点.

因为6C］〃平面4。，3C|U平面ABC］，平面ABC］，平面

所以

在△ABG中，因为0是Aq的中点，

所以。是的中点，所以4）=应＞.

（2）连接A/C,在直三棱柱ABC-A与G中，AC,平面3CG4，

Mgu平面BCC&1,所以AC，MG1.

又AMLMCi，AMAC=A，所以MG，平面

又MCu平面ACM，所以

所以点”的轨迹是以CG为直径的半圆（不包含C，G点）・

又CS=2,所以点"到直线8用的最小距离d=l.

又点。是AB的中点，所以点。到平面BCG4的距离h=l-

又三棱锥M-3D3］的体积等于三棱锥。-的体积，

所以三棱锥M—吵体积的最小值为:x（S"）j/zTgx2xlxiq.

22

21.（12分）已知椭圆°：土+二=15〉6〉0）的左、右焦点分别为耳，工，半

a2b~

焦距为1,以线段石工为直径的圆恰好过椭圆C的上、下顶点.

（1）求椭圆c的方程；

（2）若关于直线x=c对称的射线用M与BN分别与椭圆C位于x轴上方的部分

交于M，N两点，求证：直线A/N过x轴上一定点•

2

【答案】（1）