2023年高考数学客观题六 函数与导数

专题六函数与导数

【考试内容】函数及其表示涵数的图象;函数的性质;指数函数;

对数函数;幕函数涵数的零点;导数的应用

【近7年全国卷考点统计】

试卷类型2016201720182019202020212022

全国卷（甲矣一10101510101510

全国卷（乙卷）15151515101510

新高考全国I着"1520

新高考全国∏着~1510

重要考点回顾

一、函数的基本性质

1.函数的单调性：

（Iy（X）在区间M上是增函数=VXl∕2≡M当虫<%2时,布氏）勺区）；

（2次X）在区间M上是减函数=VXI,x2∈M当m<%2时,有∕U1）MX2）・

（记忆方法:不等号相同为增,不同为减,即同增异减）

2.函数的奇偶性：

[⑴奇函数、偶函数的定义：

I如果对于函数/1)的定义域内的任意一个元,都有#-X)=於),则称

是偶函数；

I如果对于函数*x)的定义域内的任意一个X,都有H-X)=√U),贝O

称函数y=∕(x)是奇函数.

](2)奇、偶函数的性质：

I①偶函数的图象关于y轴对称:奇函数的图象关于原点对称.I

②奇函数/G)的定义域中若含有0,则必有人())=Q∙

⑶常见的奇函数与偶函数：

①常见的奇函数:

正比例函数:7(%)=kx(x∈R);

反比例函数於)二(九£(-8,0)U(0,+∞));

正弦函数:f(‹x)-sinx(x∈R);

JT

正切函数:Λx)=tanx{x∈R∣x≠左"+万水∈Z};

幕函数:於)-xn{x£R)当〃为奇数时")二炉为奇函数.

几种特殊的奇函数：

/(%)=-——-;f(x)=-------;f(x)=∖x+l∖-∖x-l∖

八ax+l2Λ+12

②常见的偶函数：

余弦函数次1)=CoSX(X∈R);

事函数:7(ɪ)-xn(xWR)当n为偶数时八九)二炉为偶函数.

几种特殊的偶函数：

於)二c(c为常数)；f(x)=∖x∖;

於)=4r7I；/(x)=∣x+l∣+∣x-l∣.

③在定义域符合要求的前提下：

奇函数与奇函数的和是奇函数;偶函数与偶函数的和是偶函数;

奇函数与奇函数的积是偶函数;偶函数与偶函数的积是偶函数;

奇函数与偶函数的积是奇函数；

奇函数与偶函数的和是非奇非偶函数；

b

如痴：）=QX3+~χ於：）=QX+一是奇函数；

Xax-l

於）=QX2+。次X）=QX4+bx1+CJ（X）=—^~~-∙X是偶函数；

a+1

兀X）=N-%+1是非奇非偶函数.

3.函数的周期性：

I⑴定义:对定义域内的任意%,若有"+7）JX）（其中T为非零常

数）,则称函数*x）为周期函数,T为它的一个周期.所有正周期中最

小的称为函数的最小正周期,如没有特别说明,文中所指的周期都

指最小正周期,

J（2）三角函数的最小正周期：

①y=sin%:7=2兀；②y=cos%:7=2兀；

2ττ

③y=tan%:『=兀；④y=Asin（①x+9）,y=Acos（①x+夕）:T=---;

π㈤

⑤y=tanωx∖T-----

I①I

4.函数定义域的求法:列出使函数有意义的自变量的不等关系

式,求解即可求得函数的定义域,常涉及的依据为：

①分母不为。；

I②偶次根式中被开方数不小于

I③对数的真数大于0,底数大于0且不等于I；

I④零指数幕的底数不等于0；

⑤实际问题要考虑实际意义.

二、基本初等函数

［指数、对数的运算性质：

(1)幕的运算性质:型暧="+叱(amY=amn;(abyn=ambm;

_in1

0°=l(α≠O);a~=r=(Q≠O)

7nam

I(2)对数的概念:一般地,如果〃X=N(Q>0,且α≠l),那么数X叫做以β

为底N的对数.记作:1Ogd

I其中〃叫做对数的底数∙N叫做对数的真数,

I以10为底的对数叫做常用对数寸己作:lg.

以e为底的对数叫做自然对数:记作:ln.

⑶对数的简单性质：

①负数和零没有对数；

②底的对数是1,即

③1的对数是零,即IogJ=0.

(4)对数的运算法则:如果〃>0,且α≠l,M>0,N>0,那么：，

①Ioga(MTV)=Iog/+IogqN;

CM

②1呜(犷)=IogM-IogqN;

③IogCM'二祖。gqM〃£R);

④Iog∕=^^(α>0,且α≠l,c>O,且c≠l/>0)(对数换底公式);

Iogc

⑤对数恒等式:"呜N=N.

(5)幕函数:一般地,函数y=y叫做幕函数.其中X是自变量,〃是常数.

要求:掌握α=l,2,3,时的函数图象.

T

尸尸2尸3y二》尸J

定义域RRR0+8)(-∞,0)U(0,+∞)

值域R。+8)R。+8)(-∞,0)U(0,+∞)

非奇非■奇函数■

奇偶性奇函数偶函数奇函数

偶函数

I增I(-8,0)减I增.［增］(-8,0)减

单调性

(0,+8)增(0,+8)减

公共点(1,1)

(6)指数函数:y=出(Q>O,0≠l)

■图象恒过点((U),单调性与。的值有关,在解题中,往往要对。分

和0<Q<1两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图.

⑺对数函数:y=log环(Q>O,0≠l)

图象恒过点(1,0),单调性与。的值有关,在解题中,往往要对。分

和0<Q<1两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图.

名称指数函数对数函数

一般形式y=ax(a>0,a≠l)J=IogiS(Wl)

定义域R(0,+∞)

值域(0,1∞)

单调递增单调递增

单调性

0<a<l单调递减0<β<l~^单调递减

特殊点(0,1)(1,0)

图象

(8)注意的几个问题：

I①y二谈与y=logβx的图象关系是关于直线y=%对称;这两个函数

I②比较两个指数式或对数式的大小的基本方法是构造相应的

指数或对数函数,若底数不相同时转化为同底数的指数或对数,还

要注意与1或0比较.

三、导数

I1.意义:函数∕ζχ)在点尸处的导数就是函数/U)的图象在点尸处的

I即%=∕X⅞)表示过曲线y=火工)上的点P(¾)<Xo))的切线的斜率.

12,几种常见的函数导数：

①C=O(C为常数)⑤(Inxy=-

Xɪ

(2)(%,7),-nxn~∖n∈R)@(logɪ)--------

xlna

③(Sinx)-cos%©(ex)-eɪ

④(CoSx)--sin%⑧(W谈Ina

3.求导数的四则运算法则：

[/(x)±g(x)]r=f(x)±g,(x)；

[/(x)g(x)],=f(x)g(x)+∕(x)gr(x);I

C,二/'(%)g(%)-∕(%)g'(%)

g(%)g2M

4.导数的应用：

⑴求切线的斜率,以及求切线方程.

⑵利用导数判断函数的单调性：

若rα)>o,x∈m,力则族%)在(〃力)上为增函数；

若f(x)<0,x∈(〃⑸则八X)在(Q力)上为减函数.

⑶单调区间的求解过程,已知广/⑴

①分析y=∕(χ)的定义域;

②求导数V=f(χ);

③解不等式∕G)>0,解集在定义域内的部分为增区间;

④解不等式ra)<o,解集在定义域内的部分为减区间.

(4)求极值、求最值.

①求函数y=∕U)的极值的方法:

先解方程八X)=O,当Λ⅞)=0时：

(I)如果在与附近的左侧f(x)>O,右侧f(x)<O,那么/0)是极大值;

(II)如果在与附近的左侧f(x)<O,右侧f(x)>O,那么於0)是极小直

②求函数y=∕(x)在力］上的最值的步骤：

I)求函数y=∕(x)在(Q力)内的极值;

(H)将函数y≡Λ%)的各极值与端点处的函数值/3)、式?比较,其中

最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

注意：

I⑴若当X=Xo时函数”）有极值泌有八XO）二O.但反之不成立；］

I（2）若函数/U）在口力］上单调递增,则族Q）为函数的最小值为

函数的最大值；

I函数zoo在α切上单调递减,则火Q）为函数的最大值次份为函数

的最小值.

四、函数的零点及二分法

IL对于函数yJx）,我们把使/U）=O的实数冗叫做函数yJx）的零

点.函数产危）的零点就是方程为0=0的实数根,也就是函数产危）

的图象与X轴的交点的横坐标即

I方程/3）=。有实数根=函数y="χ）的图象与X轴有交点=函数

y=∕α）有零点.

2.定理:如果函数在区间［〃力］上的图象是连续不断的一

条曲线,并且有:火。）火力＜0,那么函数厂火幻在区间（。力）内有零点,即

存在C∈（Q力）,使得ΛC）=O,这个C也就是方程”）=0的根.

I3.二分法的定义:对于在区间3力］上连续不断且ΛQyS）＜0的函

数y=ya）,通过不断地把函数Za）所在的区间一分为二,使区间的两

个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

4.二分法的步骤：

■⑴确定区间［。力］,验证加Q∕S)<O,给定精确度£；

I(2)求区间的中点/;

(3)计算於J:

I①若外I)=O,则就是函数的零点；

I②若加)於1)<0,则令6=%ι(此时零点XoW(g));

I③若加)於1)>0,则令Q=XI(此时零点XO£(11力))・

I(4)判断是否达到精确度2：即∣Q-b∣V2,则得到零点的近似值。或氏

否则重复步骤(2)、(3)、(4).

考点训练

L函数/(x)二:+lg(3x+l)的定义域是()

HA,(-i,+∞)B.(-i,l)C,(-∣,∣)ID.(-∞,-∣

【答案】B

【解析】由题意得"二解不等式组得3<x<l∙故选B.

3%+1>0,3

2.已知函数"）=L（oOgX?-I。—/2ŋYjVl>'L且加尸-3,则岭尸（

ʌ--;B∙^!c-iD-J

【答案】A

【解析】当好14〃)=2。-1-2=3显然不成立；

当α≥lj∕(α)=-k)g2(α+l)=-3,解得α=7,满足条件

7

故当〃二7五6-α)=/(-1)=2々-2故选A.

3.若奇函数产危)的图象关于直线产2对称,且/(3)=3,则族-1)二

【答案】-3

【解析】尸危)的图象关于直线户2对称,则成3)J1)=3.

y二九0为奇函数,则Λ-i)=√Π)=-3.

1

4.函数/⑴=菽而+√τ≡中的定义域为

IlllʌIɪJ

A.[-2,0)U(0,2]B.(-l,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-l,2]

【答案】B

(%+1>0,

【解析】由题意得EQ+1)H0,

(4—X2≥0,

解不等式组得-l<x<0或0<x≤2.故选B.

5.设集合A=3-3S2x-lS3},集合B是函数y=lg(x-l)的定义域,则

AHB=()

A.(l,2)B.[l,2]C.[l,2)D.(l,2]

【答案】D

【解析】由题意得%-l>0,解得犬>1,则集合3={加〉1}.■

而集合A={x∣-l≤x≤2},

于是AnJB={x∣l<x≤2}.故选D.

6.若函数/(X)=丘-InX在区间(l,+∞)单调递增,则如勺取值范围是()

A.(-∞,-2]B.(-∞,-l]

C.[2,+∞)D.[l,+∞)

【答案】D

【解析】由函数/⑴二乙-InX在区间(1,+oo)单调递增，

则当x>1时/U)二Z±≥0,即当x>1火≥L恒成立，

XX

得到当X>1∕≥G)二1.故选D.

max

7.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是（）

1

A.y=x+1B.y=-x2C.y=-D.y=x∣x∣

【答案】D

【解析】选项A是增函数,但不是奇函数；

选项B是偶函数；

选项C是反比例函数,在第一象限和第三象限分别是单调递减的;

选项D既是奇函数又是增函数

故选D.

8.下列函数中,在区间(O,+oo)上为增函数的是()

Aj=ln(x+2)B.y=-√%+13毛)-D.y=x+-1

X

【答案】A

【解析】在区间(0,+∞)上为增函数的是y=ln(x+2);

选项B和选项C是减函数；

而选项D.y=x+^在区间((M)上是减函数,在区间(1,+8)上是增函数

X

故选A.

9.下列函数为偶函数的是（）

A.y=sinxB.γ=x3

x

C.y=eDj=ln√χ2+ɪ

【答案】D

【解析】观察可得,四个选项的定义域均为R,

且只有函数y=ln«E是偶函数.故选D.

10.若函数∕U)=3%+3-%与g(x)=3%-3-%的定义域均为R,则()

A√(x)与g(x)均为偶函数

B√(x)为奇函数,g(x)为偶函数

CVU)与g(x)均为奇函数

D√(x)为偶函数,g(x)为奇函数

【答案】D

【解析】任意X£区有次-4)=3-%+3*=於),故於:)为偶函数;

g(-x)=3工3工=-(3%-3-%)=-g(x),故g(x)为奇函数.故选D.

∏.若函数/(x)=(2%+I)(X二不为奇函数，则〃二(

A±B.-C.；D.1

234

［答案］A

【解析】由成X)为奇函数知,对于定义域内任意X有

-XX

八-')一(-2%+I)(T-α)―(2%+l)(%-α)^"V(X)，

即(-2x+l)(*a)=(2x+l)(xs)在定义域内恒成立.

1

化简得2(2a-l)x=0,由于此式在定义域内恒成立,所以〃二7乙故选A.

5

A∙-∣B-;DI

【答案】A

【解析】住一/2)二3),

=-2×∣×fl-］二，.故选人.

乙/乙

13.已知幕函数y寸x）的图象过点g,日）,则log∕2）的值为（

11

A二B.」C.2D.-2

44

【答案】A

【解析】我

所以有ʃɑ)二(I)α4,于是有〃总即府)=/

从而有log√(2)=log42T=⅛og2=I×.故选A.

乙4乙乙X*

14.若函数y=∕(x)是函数y二谟(Q＞。，且。≠D的反函数，且八2)二1，则

x2

A.log2Λ:B最C.logι%D.2

【答案】A

【解析】由函数产危)是函数产典。＞0,且α≠D的反函数可知

X%)=logσx,

所以＜∕(2)=logβ2=1,于是〃=2.故/3)=Iog2X.故选A.

15.设函数/⑴是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,

/(x)=x+l,贝IMl)=•

【答案】I

【解析】由函数/(X)是定义在R上的周期为2的函数可知，I

X1)ΞZ4I-2)=4-1)∙H

由於)为偶函数知/(一j)=∕(j)=→ι=∣.

16.若〃泌〉0,0<0<1,则()

Ahgplog/B.logcβ<logc∕?

C.ac<bcD.ca>cb

【答案】B

【解析】∙∙∙0<c<l,∙∙.y=logrx为单调递减函数

9.*a>b>Q,，logCaVlOgc。.故选B.

17.已知丁不元)是奇函数.若g(x)力(%)+2,且g(l)=l,则g(-l)=

【答案】3

【解析】由条件可知g(l)yi)+2=l,所以加)=-L・

又知尸危)是奇函数,故g(-D=Λ-l)+2=√(l)+2=l+2=3.

18.设Q=IOg§4/二(Iog§3)2,C=IOg45,则Q,。,C的大小关系是()

A.a<c<bB.b<c<a

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

由对数的性质可知，

a=log54<log55=1=log44<log45=G即α<。；

0<log53<log54<l,

所以(IOg53)2<log53,即。<ɑ

综上有b<α<α故选D.

232

19.设α=G)5力=(BS,c=g)5‘贝U"'"'的大小关系是()

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【解析】根据指数函数性质,

22

根据基函数性质,因为∣>o,所以(∣y>(∣y,即故选A

20.若2。+IOg2〃=4"+21og4瓦贝∣J()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【答案】B

βz72z9

【角军析】H⅛2+log2β=4+21og4⅛-2+log2⅛,

2/?

且22"+log2。<22"+log22⅛=2+log2⅛+1,

所以2"+log2〃<228+log22。.

x

4^(x)=2+log2x,

由指、对数函数的单调性可欲尤)在(0,+∞)内单调递增.

则由加)勺(2力,可得”26.故选B.

21.若0>O,b>O,且函数於0=4χ3-αχ2-2∕zτ+2在X=I处有极值则H?的

A.2B.3C.6D.9

【答案】D

【解析】/(x)-12x1-2ax-2b.

由/⑴=12Xl2-2a×1-26=0,得α+0=6.

根据α+b≥2√^(a>0,0>0),得至以二9.故选D.

22.函数∕α)=e%+%-2的零点所在的一个区间是()

A.(-2,-l)B.(-1,O)C.(0,l)D,(l,2)

【答案】C

【解析】ΛO)=eo+O-2<O√(l)=e1+l-2>O,

›)∙ΛD<o.

故选C.

23.函数y=∣χ2-lnx的单调递减区间为()

A.(-l,l]B,(O,1]C.[l,+∞)D.(0,+∞)

【答案】B

【解析】广，二手淇中元>0，

ʌʌ

当v<θ时,原函数单调递减,解得0<x<l∙故选B∙

e久一i%*≤1

24.设函数/⑴=1''则使得/⑺S2成立的X的取值范围

X3fχ>L

是.

【答案】（-8,8]

【解析】当XVI时,由e"≤2可得X-ISIn2,即x≤ln2+l,⅛x<l;

当x≥l时,由丫ʌJ上2可得后8,故心烂8.

综上可得x≤8.

I%2+1工工］

设函数'则作二

25./(x)=<2,/,^3))

Ix

1

A-B.3c∙lD∙V

【答案】D

+1=#.故选口.

9

26.已知实数0≠0,函数於)=1*[D若-Q)=∕∏+Q),则。的

值为・

【答案】I

4

【解析】若l-q<l,那么〃>0,贝∣Jl+α>l,

/(l-4)=2(l-q)+α=-α+25∕(l+a)=-(α+l)-2α=-3α-l,

所以由-q+2=-3α-l,得〃=3与假设前提矛盾；

由以上可知+α)=2(l+〃)+〃=3〃+2{1-〃)=-(1-〃)-2〃=-〃-1,

ɔ

所以由3α+2=-a-l,得4α=-3,即〃=--.

4

27.若曲线y=N+QX+A在点（0,力处的切线方程是1-y+I=O,则（

A.a=l,b=lB.a=-l,b=l

C.a=l,b=-1D.a=-l,b--l

【答案】A

【解析1对曲线y=∕+αχ+∕7求导得y'=2x+α,斜率Z=2x+α,切线方

程X-y+1=0,

斜率为1,将点（0方）分别代入得方程组为已X?：；：%

Iu一。十J.=u,

解得〃二1/二1.故选A.

28.曲线yr(31nx+l)在点(1,1)处的切线方程为

【答案】y=4x-3

【解析】由y=x(3InX+1)求导,得y'=3ħιx+4.

把X=I代入得V=4.

，切线方程为y=4x-3.

29.若函数公)=QX3+χ+ι的图象在点(1次1))处的切线过点(2,7),则

【答案】1

【解析】令函数图象在点(1<1))处的切线斜率为太

由题得T(X)=3αχ2+1,可得左二手⑴=3。+1.

又/(l)=a+2,故切点为(1,〃+2).

又切线过(2,7),

由斜率公式矢口Z=W^=3α+L解得”=1.

I-Z

30.若过点(〃力)可以作曲线y=e'的两条切线,则()

A.cb<aB,ea<bC.0<a<ebD.0<⅛<efl

【答案】D

【解析】函数y=e%是增函数,y'=T>0恒成立,函数的图象如图所

示,y>0,即切点坐标在光轴上方.

如果点3力在X轴下方,连线的斜率小于0,不成立;

如果点3。）在X轴或下方时,只有一条切线；

如果点（〃力）在曲线上,只有-条切线；

如果点（〃力）在曲线上侧,没有切线；

由图象可知（。力）在图象的下方,并且在X轴上方时,有两条切线,可

矢口0<。<即.

故选D.

31.设函数")=，JU°，则满足於+1)勺⑵)的X的取值范围

IɪβXUJ

HI

A.(-∞,-l]B.(0,+∞)C.(-l,0)D.(-∞,0)

【答案】D∖r

/IAIli111

(O-XYVn-5-4-3-2-I19l23

【解析】函数AX)=匕'"的图象如图所示.；

Iɪ1»)CU-4・

一《■

满>¾∕ζx+l)v∕(2x),可得2x<0<x+l或2x<x+l≤),解得x<0.

故选D.

32.设α≠0,若x=α为函数"）=α（x-α）2（x-0）的极大值点,则（）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】令九X）=O,解得x=α或%=。,即x="及%=。是«x）的两个零点,

当α>0时,由三次函数的性质可知,要使X=〃是/&）的极大值点,则函

数AX）的大致图象如下图1所示,则0<”0;

当〃<0时,由三次函数的性质可知,要使x=α是"）的极大值点,则函

数/U）的大致图象如下图2所示,则。<a<0;

综上可得。。>〃2.故选D.

（图1）（图2）

2y[x,O≤%≤L1

33.已知函数∕ζx)=工％>I若关于X的方程/(X)=-∕+Q

,

Xi

m∈R)恰有两个互异的实数解,则Q的取值范围为()

59

A∙*B.

4’4

C.

【答案】D

2√%,O≤%≤1,1

【解析】作出函数/U)=1的图象,以及直线y=-%

IIɪ

I%

的图象，

关于X的方程/⑺=-%+α(a∈R)恰有两个互异的实数解，

4

即为尸危)和尸-%+〃的图象有两个交点.平移直线尸%

考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时,有两个交点,可得或〃=；.

44

考虑直线与yW在x>l相切,可得〃X-IX2=ι,y.

由/=a2-l=0,解得〃=1(-1舍去).

综上可得”的范围是品］”1}.故选口.fFTBnM

34.已知函数")=[二Gg(x)JX)+X+Q.若g(x)存在2个零点,

则。的取值范围是()

A,[-1,O)B.[0,+∞)C.[-l,+∞)D.[l,+∞)

【答案】C∖×J-

【解析】由g(%)=0得火X)=-X-dHʃ

作出函数/")和y=-x-α的图象(如图所示).H∙-∕∖∖

当直线y=-x-α的截距-〃S1,即α≥-l时，2\

两个函数的图象都有2个交点,即函数g(x)存在2个零点.I

故实数。的取值范围是[-l,+∞),故选C

xtx<Qt

设。力£,函数

35.R/(x)=3lr,1x2I、八若函数

一—+1)%+CLXfX≥0.

y=∕(x)-QX)恰有3个零点,则()

A,a<-l,b<0B.a<-l,b>0

C.a>-l,b<QD.a>-l,b>0

【答案】C

【解析1当x<0时,⅛y-ʌɪ)-cιx-b=x-ax-⅛=(l-β)x-⅛=0,~X∑^>

可知y=ΛX)y。最多有一个零点；

Il11

y-f(x)-ax-b=-χ3--(a+l)x2+ax-ax-b=-χ3--(β+l)x2-b,y,=x1-(a+1)x,

【解析】当α+l≤),即。S-I时,>20,丁二於)-。犬-。在［0,+8)上递增，

尸危)-3。最多有一个零点,不合题意；

当〃+l>0,即a>-l时,令/〉0得X£(α+l,+∞),函数递增；

令VVO得x∈［O,α+l),函数递减.函数最多有2个零点；

根据题意函数y二(%)-办-。恰有3个零点=函数y=∕(x)-αx-6在(-∞,0)

上有一个零点,在［0,+∞)上有2个零点.

如上图所示,・・・4<0,

1—α

-b>Of

ɪ(ɑ+I)3—ɪ(Q+I)(Q+1)2—b<0,

32//

1/

解得。<0,l-4>0,6>-二(α+l)3.

6

・•・」(〃+1)3<⅛<O,-1<6Z<1.故选C.

6

36.设函¾∕(x)=x3cosx+l.若黄。)二∏,贝叭-ɑ)二

【答案】-9

【解析】∖*f^d)=a3cos6f+l-∏,∙φ∙β3cos〃=10.

.∖f(-a)=-a3cosα+l=-10+l=-9.

37.函数")=x3-3N+1在X=处取得极小值.

【答案】2

［角军析］β∕∕r(x)=3x2-6x=3x(x-2),

・・・於)的单调递增区间为(-8,0),(2,+8),递减区间为(0,2).

.∙√(x)在x=2处取得极小值.

38.若函数产RfN+4在区间(0,2)内单调递减,则实数。的取值范围

【答案】3+8)

［解析】y=3N-24x,由题意知3N-2Qx<0在区间(0,2)内恒成立，

即〃>当在区间(0,2)上恒成立,

2

∙∙“≥3.答案为［3,+∞).

39.函数/)=213-312-12%+5在区间。3］上的最大值和最小值分别

A.5,-15B.5,-4C.-4,-15D.-5,-15

【答案】A

【解析】令/⑴'=6χ2-6x-12=0,解得x=2或1=-L

・・・秋)=5<2)=15<3)=4,

・・・最大值为5,最小值为-15.故选A.

40.如图,产女)是可导函数,直线/:尸丘+2是曲线y=∕(x)在X=3处的

切线,令g(x)=状X),其中gQ)是g(x)的导函数,则g'(3)=.

【答案】0

【解析】I'直线/?二米+2是曲线y=∕U)在x=3处的切线，・\/(3)=1.

,1

又点在直线/上,・・.左从而上行

(3,1)3+2=1,t.J

1

：.k=f(3)=--.Vg(x)=求X),/.g∖x)=fix)+xf(x).

∙LJ

41.设函数y寸x)的图象与尸2%+。的图象关于直线y=-x对称,且

A.-lB.lC.2D.4

【答案】C

【解析】设(N)是函数产危)的图象上任意一点,它关于直线产-X

对称的点为GN-x),

由题可知(-y,-x)在函数y=2%+。的图象上，

：•由■上=2-y+α,解得y=J0g2(-x)+a,艮Ry(X)=-IOg2(-x)+d

.∖由成-2)+A-4)=-log22+tι-log24+a=1,解得。=2.故选C.

42.已知函数*χ)=IeX-Il占<0/2>0,函数/⑴的图象在点A(Xl∕x1))和

点8食2〃2))的两条切线互相垂直,且分别交>轴于MN两点,则需

的取值范围是.

【答案】((M)

【解析】当工<0时«0=1-e5导数为八X)=-e∙γ,可得在点Aal,l-eɪ1)

处的斜率为G=-e%ι,切线AM的方程为y-(l-e/)=-eKIa-XJ.

1%1

令X=O,可得y=1-e久+冗追巧,即Λ∕(0,l-e^ι+x1e)；

当%>0时段)=e'-l,导数为外元)二巴可得在点5(x2,e%2-l)处的斜率为

上2气久2,切线劭^的方程为广(讲2-1尸讲2(上冗2).

令X=O,可得y=e%2-l-X2e%2,即N(O底％2-1-巧眇2).

由火幻的图象在点A,5处的切线相互垂直,可得左∕2=-e%ι∙e%2=-l,

即为%1+%2=。,且Xl<。,冗2>0，

斫以幽!二岳e2勺(一久1)_Vi+e-2%2___emn

加JIBN厂^√∏^Γ^e^«山・

故答案为(0,1).

43.(多选题)若函数产危)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两

点处的切线互相垂直,则称函数y=∕(x)具有T性质,下列函数中具有T

性质的是()I

A.y=cosxB.y=lnxC.y=exD.j=x2

【答案】AD

【解析】由题意函数y=Λx)具有T性质,则存在Xl,如使得/伪»(12尸】

TTTCtI

对于人,产8$N的导数为>/=与11羽存在/=乙/2=-3乙，使得/3川(光2)=-1；

对于B,y=lnx的导数为y」>0,不存在Xi，a使得八XIW2)=-1；

Xi∕

对于C,y=ev的导数y=e%>0,不存在修,々，使得/^1匹々)=-1；

1>

对于D,y=N的导数为y=2χ,存在XI=Lx2=戛，使南3*∙γ2)=-l∙

4

综上,具有性质T的函数为AD.故选AD.

44.(多选题)已知函数/㈤=e*√(O)x+*,则()

Aa-I

B.函数/U)的极小值点为0

■C.函数/(x)的单调递减区间是(O,+∞)

D.∀x∈R,不等式”)≥e恒成立

【答案】AB

【解析】在次1)=e"√(0)x+5χ2中,取X=O,可得八0)=e°=1.故A正确;

乙

∖∙∕(x)=e-γ-x+∣x2∕r(x)=ex+x-1/'(%)=e*+1>0,

.W)在(-∞,+oo)上为增函数.■

V∕(O)=eo-l=O,・•.当X∈(-∞,0)时/(x)<0;当X∈(O,+∞)时/(x)>0,

则”)在(-8,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增，

,:於)的极小值为AO)=。。=1,故B正确;C,D错误.故选AB.

45.(多选题)关于函数")W+lnx,下列说法正确的是)

A<i)是")的极小值

B.函数尸/(x)-%有且只有1个零点

C府)在(-∞,1)上单调递减

D.设g(x)=求X),则gɑ)<g(√e)

【答案】ABD

【解析】对于C,函数加)的定义域为(0,+∞),故C错误；

对于A∕(x)=lW

在(0,1)上广㈤<O√U)单调递减;在(l,+∞)上/(x)>O<x)单调递增，

所以/)极小值=Λ1)=1,⅛A正确；

2

对≠Bj=χ%)-x=→lnX-Xy=-点+}1二=£上1<。，

XXXX^Λ“2

所以函数y=∕(x)-xW+lnX-X在(0,+∞)上单调递减,且当X=I时,y习⑴-1=0,

所以y=∕(χ)-χ有且只有一个零点,故B正确；

1

对于D,g(x)-xfix)-1+%lnx,g3=%∙-+lnx-∖+ln%,

所以在Os)上,g3>0,g(x)单调递增;在(0,e-i)上,gQ)<O,g(x)单调递减,

46.(多选题)已知函数")=er+OsinxM()

A.当Q=-I时/工)在区间(0,+∞)上单调递增

B.当Q=-I时4冗)在区间((V(O))处的切线为无轴

C.当。=1时作)在区间(-兀,0)上存在唯一极小值点瓶,且H

-l<>o)<O

D.对任意Q>O4x)在区间(-兀,+8)上均存在零点

【答案】AC

【解析】对于A,当〃=-1时次元)=er-sinx∕r(x)=er-cosx

当x∈(0,+∞)时/(x)>0恒成立次元)在(0,+oo)上单调递增,故A正确;

对于B『(0)=e。-CC)S0=1-1=0,TO∕(0)=e0-sin0=1,

则於)在((V(O))处的切线为尸1,故B错误；

【解析】对于C,当时<X)=e%-sinx(-兀<x<0)5∕XX)=e*+cosx,

1(%)=ex-sin尤>0恒成立,贝0∕(x)单调递增，

M-τ)=e-T÷∞<-τ)<θ∕(-?)=e-i>θ9

故危0存在唯一极值点，

e

不妨设为冗O(-空一。则八XO)=O,即e%。+cosxo=O,

∕0%)=e久。+sinXO=Sinx0-cosXO二

【解析】对于D,

Xx)=ex+βsinx,x∈(-π,+∞),⅜y(x)=O,即e%+αsinx=O,

当X=E,Q-I且人∈Z时,显然没有零点；

・・・仁二,令尸⑴二二尸⑴=严3支丁的

sinxsinxsin2x

令尸'(x)=0,解得%=左兀+：,心-1,左£Z.

∙'∙χ