2024届皖南八校高三数学上学期第二次大联考试卷附答案解析

2024届皖南八校高三数学上学期第二次大联考试卷

（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.12

本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要

求的.

1.已知集合M=「N*产&540｝,。｛由54｝,则MCN=（）

A.{0,123,4}B{1,2,3,4}c.{x|0<x<4}D_{x|l<x<4}

abb

ad-be

2.形如d我们称为“二阶行列式”，规定运算d,若在复平面上的一个点A对应复数为z,

Z1-i.

=i

1

其中复数z满足l+2i，则点A在复平面内对应坐标为（)

A.(3,2)B,(2,3)Q(-2,3)£),(3,—2)

3.已知动点"的坐标满足方程而则动点”的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆

4.已知向量4=（2，刈，匕=（m+l，T）,且6b,若c=（2,D,则。在c方向上的投影向量的坐标是（）

A.匿）B.Oc.UD.W）

5.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”

的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台上下底面的

中心分别为°】和°,若A3=2A4=4,幺43=60。，则正四棱台从水力一4耳6A的体积为（）

6.已知数列｛""｝是递增数列，且％eN*,数列｛凡｝的前“项和为%若儿=67,则%的最大值为（）

A.5B.6C.7D.8

7.已知是定义在R上的偶函数，函数g⑴满足g（x）+g（r）=°,且〃x）,且⑴在（Y°⑼单调递减,

1

则（）

A.〃g（x））在P+8）单调递减B.8（8（耳）在（一00，（）］单调递减

C.g（〃x））在检+8）单调递减D.7（/（尤））在（一8⑼单调递减

8.已知点尸在直线x+>-6=°上，过点P作圆。:f+y?=4的两条切线，切点分别为A,B,点”在圆

上，则点M到直线A8距离的最大值为（

A.君B.斯+1C.20D.20+1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5

B.在回归分析中，可用决定系数K判断模型拟合效果，后越小，模型的拟合效果越好

C.若变量4服从N（17。）P（17<418）=0.4,则PC>18）=0.1

——1•,22——

D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为M,X2和比，$2,若即=也，

/(x)=Asin(ox+0)

10.已知函数的部分图象如图所示，且了（°）=1,若g（x）=/（x+〃）

为奇函数，则时可能取值为（

"11X

12

A.3B.12C.6D.12

11.若函数/⑴="+■-'+“，既有极大值点又有极小值点，则（）

A.ac<0B.bc<0c.。（6+。）<°D.c?+>0

12.已知一圆锥，其母线长为/且与底面所成的角为60°,下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（）

（参考数值：百”73,^«1.41）

2

A.一个半径为028/的球

B.一个半径为028/与一个半径为0.09/的球

C.一个边长为。45/且可以自由旋转的正四面体

D.一个底面在圆锥底面上，体积为004M3的圆柱

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式(x-2)(l+x)”的展开式中，所有项系数和为一256,则/的系数为(用数字作答).

14.随机变量4有3个不同的取值，且其分布列如下：

4sina4cos。2sin2a

j_j_

Pa

44

则E(《)的最小值为

22

E:---=1(。>0,b>0)

15.已知双曲线4,的左，右焦点分别为耳，后，过左焦点写作直线/与双曲线交于

A,B两点(B在第一象限)，若线段的中垂线经过点歹2,且点「2到直线/的距离为氐，则双曲线的

离心率为

g2x

f(X)=tzllLXH-----2%+1/

16.已知函数e?/,(a>0)有唯一零点，则a的值为

四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知正项数列｛""｝的前〃项和为S”，且满足2底=4+1,"eN*.

(1)求数列｛""｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足"""J。向，求数列加"｝的前〃和%

18.在丁中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

(1)求证：B=2A;

AD=BD=-CD

(2)如图：点。在线段AC上，且2,求cosC的值.

19.如图，在四棱锥P-A3CD中，棱尸4,平面ABCD,底面四边形从台⑦是矩形，PA=AD=6,点、N为

3

棱尸。的中点，点E在棱AD上，AD=3AE,

（2）已知平面与平面PCD的交线I与直线BE所成角的正切值为I,求二面角N-郎-。的余弦值.

20.人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题

机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为机（根eN*）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题

得0分，都答错得T分.若该答题机器人答对每道题的概率均为万，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人

累计得分为X,当X=2m时，答题结束，机器人挑战成功，当X=°时，答题也结束，机器人挑战失败.

（1）当根=3时，求机器人第一轮答题后累计得分X的分布列与数学期望；

（2）当〃2=4时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.

22

M:=+3=l（a>b>0）

21.如图，已知椭圆b-的左右顶点分别为A、B,P是椭圆加上异于A、B的动点，

.._1

kPA,kPR=—

满足4,当户为上顶点时，的面积为2.

⑴求椭圆M的方程；

（2）若直线转交直线/：%=4于C点，直线CB交椭圆于。点，求证：直线尸。过定点.

22.已知函数“尤）=.一底，（oeR）.

⑴若为偶函数，求此时外力在点（°"（°））处的切线方程；

⑵设函数g（x）="无）一（°+1»,且存在为，受分别为8（劝的极大值点和极小值点.

（i）求实数。的取值范围；

（止）若ae（0,l）,且g（%）+版（々）>0,求实数上的取值范围.

4

1.B

【分析】解不等式求出集合M,根据集合的交集运算，即可得答案.

【详解】解—5W0,-l<x<5,所以"={=N*11K5}={1,2,3,4,5},

N={x|0W4},所以/cN={l,2,3,4}.

故选：B.

2.A

【分析】根据题意结合复数的运算可得z=3+2i,结合复数的几何意义分析求解.

【详解】由题意可得:z-（l+2i）（l-i）=z-（3+i）=i,

则2=1+（3+。=3+2L

所以点A在复平面内对应坐标为⑶2）.

故选：A.

3.C

【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案.

【详解】方程）犬+（4-1）2一人一1=°变形为）犬+口一以=（+1,

表示动点/a>）到点尸（°」）和直线>=t的距离相等，

所以动点加的轨迹是以尸（°，1）为焦点的抛物线，

故选：C.

4.A

【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.

【详解】Mb,故2（%+i=°,解得机=一2,所以。=（2,-2）,

Cl'CC。cc［

.=2x2一2x1

则。在。方向上的投影向量为刊刊百75一15引

故选：A.

5.B

【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案.

［详解］因为A'CO-A'CA是正四棱台，AB=2A4=4,乙4,48=60。

AO=-AC=

侧面以及对角面为等腰梯形，故cos/AAB2

4。|=#4瓦=近，所以oq=JA412TA0_a。）=后

5

V=-00^（8^+S.Bca+MBC7ABen）=也（16+4+8）=空e

所以该四棱台的体积为31°mis）33,

故选：B.

6.C

【分析】根据给定条件，确定数列前4项的值，后5项与生的差，即可列式计算得解.

【详解】数列｛%｝是递增数列，且为eN*,而数列｛6，｝的前10项和为定值，

为使出取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与死的差最小，

则a1=1,a2=2,a3=3,a4=4a6—a5=1,a7—a5=2,as—a5=3,a9—a5=4,al0—a5=5

因此do=4+出+…+%o=1。+6生+15=67,解得%=7,所以％的最大值为7.

故选：C

7.C

【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.

【详解】由题意知/⑺在血+°°）单调递增，8⑴为奇函数，在R上单调递减.

设则gN）＜ga）＜o,〃g（x2））＞〃ga））,

所以/（g（x））在［°，+8）单调递增，故A错误，

设%＜尤24。,则g（%）＞g（一）,g（g（＜））＜g（g优））,

g（g（x））在（-°0，。］单调递增，故B错误；

设。＜西＜々，则/＜）＜//）,g（fa））＞g（/（/））,

所以g（7（x））在［°，+8）单调递减，故C正确；

22

取〃力=/一1,M/（/«）=（X-1）-1；/（/（0））=0；=此时/（〃元））在（一8，。］不单调

递减，故D错误.

故选:C.

8.B

【分析】结合点P在直线x+y-6=°上，求出切点弦AB的方程，确定其所经过的定点，确定当CQ'AB

时，C到直线AB的距离最大，M到直线AB的距离也最大，即可求得答案.

【详解】根据题意，设点p（见力，则根+"=6,

过点P作圆°：/+寸=4的切线，切点分别为A,B,

6

则有。4,上4,OBLPB,则点A,B在以°P为直径的圆上,

mn\1,,y/m2+n2

D\—r=—\OP\=------------

以°P为直径的圆的圆心为(22人半径212,

22

(+f“Im+n

则其方程为I"2Jc2)4；变形可得/+/-血-畋=0,

fx2+j2=4

联立l/+y2一m一wy二°,可得圆D和圆o公共弦AB为：mx+ny-4=0)

又由〃z+〃=6,则有mr+(6_〃z)y_4=0,变形可得〃z(x_y)+6y_4=0,

卜7=。2，22、

则有回-4=0,可解得一•一故直线48恒过定点13'3人

点M在圆II3)上，I33人

当CQLAB时，c到直线AB的距离最大，M到直线AB的距离也最大,

|C2|+1=1=^5+1

则点/到直线AB距离的最大值为

故选:B.

9.AC

【分析】对于A,根据百分位数的计算方程，可得答案；对于B,结合拟合的定义，可得答案；对于C,

根据正态分布的对称性，可得答案；对于D,利用方差的计算，可得答案.

【详解】对于A,数据2、3、3、4、5、7、7,8、9、11共10个数，因为10x80%=8,因此，这组数据

8+9口

------=oo.5

的第80百分位数为2，故A正确，

对于B,在回归分析中，可用决定系数长的值判断模型拟合效果，霜越大，模型的拟合效果越好，故B

错误；

对于C,因为变量4服从MW，4)，P(17<^<18)=0.4；贝！jPC>18)=().5-尸(17<J<18)=°.5-0.4=°」，

7

故C正确;

对于D,不妨设两层的样本容量分别为m,n,总样本平均数为X,则

―尤2）］--

,」，易知只有当，〃=〃，X1=X2时，有2',故D错

误.

故选：AC.

10.BD

II2n11

r/r\\c•i夕＜-T=---＞---71

【分析】根据图像有A=2,根据/（°）=2sm0=l及-2,确定夕值，再根据图像确定。12,结

合112）=0求出。，确定〃x）解析式，又要使g（x）=/（尤+“）为奇函数，则g（0）=/（a）=°,求。值.

II7T兀12兀11

【详解】由图象可得A=2,再根据/（°）=20m。=1,例＜5,故。一%,又一高,丘兀

。＜。＜竺11710a>x^-+—=2k7r

则“，又12，所以126,keZ,得0=2,

/(x)=2sinI2x+—6

故I要使g(x)=f{x+d)为奇函数，则g(0)=/(。)=0,

C兀7kit7171

2。H—=AJIa----------a-----

所以6,keZ,得212,当左=0时12,

_5兀

当上=1时°12,

所以B、D符合，其它选项不符合.

故选：BD

11.ACD

【分析】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.

f\x）=aex-bex+c==。

【详解】由题知方程/

小2'+00*_6=0有两不等实根毛，々，

令：=e',t＞Q,则方程=°有两个不等正实根％,芍，

aw0

A=c2+4ab>0

c

‘1+‘2=----〉°c2+4ab>0

一a

ac<0

bn,

AG=---->0ab<0

其中Le",弓=小，1a,

bc>0

W+c)=a"ac<。,故ACD正确，B错误.

8

故选：ACD.

12.ABC

【分析】作出相应的空间图形及轴截面，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.

【详解】如图1,球a与圆锥侧面、底面均相切，球°?与球a、圆锥侧面相切，

作圆锥的轴截面如图2,设小球2半径为乙，球2与边相切于点E,

ZCBA=60°,ZPCB=3O°,°iE1BC,

cn_Q_布i

所以ca=232,

75=—/>0.28/

6,故A正确;

r,=-r.=—l>0.Q9l

设小球°?半径为2,同理可知318故B正确;

将棱长为。的正四面体放置到正方体中，如图

则正四面体的外接球即正方体的外接球，易知正方体的外接球球心在体对角线的中点。处，半径为的

BQ=Ja

BC=—a

一半长，易知,2,所以

----a—a<—

故棱长为"的正四面体外接球半径为4,则46则边长3

0.45/

3故C正确;

如图3,一圆柱内接圆锥，作圆锥的轴截面如图4,设圆柱底面半径为“，高为g

4CD-hBD=-lCD=^-l-CD-h

因为DBCD,又易知，2'2,代入DBCD,

9

力=且/一力&V（g）=7l廓=兀片.率-瓜3=4兀（/片-2切

整理得到2,所以圆柱的体积<2

人丫'(初=耳兀(2俏-6片)=017

得4=。或

则体积在131上单调递增,在(32J上单调递减，

:.V(r.}=—7i/3<0.047c/3

\J/max54

故D错误.

>Cytf/

1r?

f

/\/T\J/nrk>romP

1%/1；\/1k\

I***J^^***««A/111

AB4OBA”.AnH

1234

故选：ABC.

【点睛】关键点晴，本题的关键在于将空间问题转化成平面问题来处理.

13.-48

【分析】利用赋值法求得〃，再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】令x=l可得二项式（x-2）（l+x）的所有项系数和为-2"=-256,所以〃=8.

二项式（l+x）s的展开式的通项公式为4+i=G'x',r=0,i,..

.，8,

所以（X-2）（1+x）”的展开式中，x2的系数为C；-2晨=-48.

故答案为：T8

_5

14.4

【分析】根据分布列性质求得a的值，即可求得EC）的表达式,结合三角换元以及二次函数性质，即可求

得答案.

111

--1---F4Z—1CL——

【详解】依题意知44，则2,贝"E(&)=sina+cosa+sin2a

t=sina+cosa=0sincr+—,\-

设l4A则十-V2,V2]

E("+I=1+J

-Ursin2a=(sina+cosa)2-l=t2-1所以

10

/二一不£一,2,,2--

当2L」时，E©取最小值4,

_5

故答案为：一区

V14

15.2

【分析】根据题意，由双曲线的定义可得1AsM船，再由勾股定理列出方程即可得到凡,关系，代入离心率

计算公式，即可得到结果.

【详解】

设双曲线E的半焦距为c,。＞0,网T眼,根据题意得附一附=2a,

又I整日时|=忸玛1TMl=”.•」期=|%1TMi=4a,设A8的中点为c,

在中，|%=扃，|AC|=2a,；.|4g|=，（2。）2+（6『=3a,

则I凹入，m=3%根据回「+|国2=|耳酸,

可知（34+（氐）=（2*•”片方.

714

故答案为：2.

16.2

g2x/

——=t[t＞0）—=Im/、i0G

【分析】设ex，转化为方程e有唯一解r=e,即dnx=2x-2有唯一解，设g（尤）=4©-2尤+2,

利用导数判断单调性并求出最小值可得答案.

e2x

tzlnxH—z_~r—2x—1

【详解】由题意知e-/有唯一解，x＞。，

-1—=2x—1—lux=Ine?”—Ine—Inx"=In---

故e"eV,

11

—=t{t>0)-=ln/F(t)=--\ntF(r)=---

设ex"，即e，设e，贝。et,

当fe(0,e)时，尸⑺<0,函数尸⑺单调递减,

当te(e,+s)时，/⑺>0,函数尸⑺单调递增；尸⑺ms=尸(e)=0,

J

故方程e有唯一解/=6,即ex“有唯一解，即alnx=2x-2有唯一解,

设g(x)=ah«-2x+2,g(“)_(_2,fl>0；

xJo：］

当I2J时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增;

xe二+oo

当(2J时，g")<0,函数g(x)单调递减;

当x趋近于0和*趋近于+8时，8口)趋近于-8,

g得=alng_a+2=0

故只需满足2,

h{d}=aln—~a+2h'(a)=In—

设2,2,

当ae(0,2)时，函数版。)单调递减，

当ae(2,+co)时，h'(a)>0；函数/?⑷单调递增，

故Ma)mM=〃(2)=0,故a=2成立.

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用导数判断单调性

T2,2”

c1*1,,=HH----------------

17.(1)"〃二2〃-1,neN(2)2n+l

c1=-(«„1+1)2s"(%+l)2

【分析】(1)根据数列递推式求出首项，得出当,22时，「4'一’，和4、相减并化简

可得4-。,i=2,即可求得答案；

,2

b“二a”

(2)利用(1)的结果可得见”用的表达式，利用等差数列的前n项和公式以及裂项法求和，即

可求得答案.

【详解】⑴由2£=%+i得S"F%+i),贝广二3+1),解得q=L

12

当小时，%=:(%+1)[所以％="-%=*,+1)2-；(二+1)]

整理得(%-«„-1)(«„+«„-1)=2(%+%_]),

因为｛""｝是正项数列，所以所以­=2,

所以｛""｝是首项为1,公差为2的等差数列，

所以为=1+2(九一1)二2九一1,HGN\

(2)由⑴可得，4=21,

b=an+—-—=2n-l+-----------------=2n-l+-----------—

所以〃an-an+l(2〃-1)(2〃+1)2n-l2〃+1

n(l+2n-l)11

T.~33-5…

所以22n-l2n+l

12n

=n2+1-="H--------

2n+l2n+l

376

18.⑴证明见解析(2)8

【分析】(1)在中根据余弦定理、正弦定理及三角公式化简可得;

(2)由第一问在△3CD中结合正弦定理可得a=2c,在ABC中根据余弦定理可求得结果.

【详解】(1)证明：由余弦定理得片+'=2〃CCOSB,

又廿一a1=ac,可得/-ac=2accosB,即c-a=2acos3,

由正弦定理得sin。-sinA=2sinAcosB,

而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入上式，

可得sinA=cosAsinS-sinAcosB=sin(B-A)

所以A+B-A=7i(舍)或A=B—A,

即3=2A.

(2)因为5=2A,AD=BDf所以NA=NA班)=NC5。，

CD_sinZCBD_sinZA_a

在△BCD中，由正弦定理得5。sinZCsinZCc,

13

BD=-CD

而2,可得a=2c,

代入/一"="，可得匕=倔，

19.(1)证明见解析(2)7

【分析】(1)利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可;

(2)建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.

【详解】(1)因为尸4,平面AB。，CDu平面ABCO,所以E4_LCD,

又因为四边形A3CD是矩形，所以仞

因为PAcAD=A,P4CDu平面pa。，

所以CD,平面上M),

因为ANu平面尸A£),所以CDJ_AN.

因为N为尸。中点，PA=AD,所以PDLAV,

因为PDcCD=O,所以⑷V」平面尸CD,

因为尸Cu平面PCD,所以4VJ_PC.

(2)在矩形ABC。中，AB//CD,CDu平面尸8,四仁平面尸CD,

所以AB〃平面PC。

又ABu平面平面上4Bc平面PCD=/,所以AB/〃.

所以/与直线BE所成角即为-4BE.

AAE=-AD=2

在RtAABE中，3,ABYAE,

AB=———=4

所以tanZABE.

以｛AB,AD,AP｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

14

则B(4,0,0),E(0,2,0),Ng,3,3)所以=(-4,2,0),BN=(-4,3,3)

设平面BNE的法向量为加=(x，%z),

m•BE=-4x+2y=0

V

贝Im-BN=-4x+3y+3z=0z=2=>x=—3,y=—6^

可得m-(一3,—6,2).

又AP=(0,0,6)为平面3£比的一个法向量，

由图可知，二面角N-3E-O为锐角,

2

所以二面角N-BE-D的余弦值为Z

11

20.⑴分布歹！J见解析，E（X）=3⑵1024

【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可；

（2）根据超几何分布分类讨论计算即可.

【详解】（1）当根=3时，第一轮答题后累计得分X所有取值为4,3,2,

P（X=4）=—xi=—P（X=3）=2x—x—=—

根据题意可知：“224,'222

所以第一轮答题后累计得分X的分布列为：

X432

j_j_

P(x)

4~24

E（X）=4x-+3x-+2x-=3

所以424.

（2）当根=4时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A,

此时情况有2种，分别为：

情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；

情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得-1分的有1轮，第5.6轮都得1分;

15

111

P(A)=C

所以241024

X22,

----by=1

21.（1）4"（2）证明见解析

【分析】（1）设椭圆上顶点＜（°涉），根据题意求出即可得解；

（2）分直线PQ斜率是否存在，设P（&X）,Q（/，%）,c（4/）,先根据斜率不存在求出定点

方法1,联立直线AC与椭圆方程，求出P，Q两点的坐标，然后证明尸，M，。三点共线即可.

方法2,当直线尸。斜率存在时，设直线尸Q为丫=辰+机，联立方程，利用韦达定理求出玉+尤2,3,再结

合已知，求出公根的关系，即可得出结论.

方法3,易得kBQ=3kpA,根据椭圆的对称性可得即B=3%A,再利用斜率公式构造对偶式，进而可求出PQ的

方程，从而可得出结论.

【详解】（1）设椭圆上顶点片©3,

_bb_b1_1

则取咿=/工=万=7,

又^AABP„=]*2ab=2

两式联立可解得。=2,6=1,

—+y2=l

所以椭圆M的方程为4-

⑵设尸（4%）,。（程儿）,C（4,t）,

当直线尸。斜率不存在时，玉=/，

AC:y=—(x+2)BC:y=—(x-2)

则直线-6,2

X=+2),

-Ji=—(xi_2)_

2

所以,可解得%=1

此时直线PQ方程为％=1,过定点（1，°）；

下面证明斜率存在时，直线P。也经过（1，°）,

16

法1（设而求点）：

y=：（x+2）,

6

<

2

x2

联立直线AC与椭圆方程：I4+yT整理得（/+9卜2+八+4/-36=0,

A=16?-4（r2+9）（4f-36）>0

22

、-4r18-2f11.6t

由韦达定理有/+9,即/+9,所以.6't2+9,

18-2/6t

产+97+9

所以P点坐标为1

’2--2-2t

同理可得。点坐标为I尸+1‘产+1

p=[—旦]「-3-2t、

MMQ=

设点M（l,0）,则I产+97+9人产+17+工

9一3产-It6t/一3八

----------------------=（）

因为*+9?+1»+9〃+1,所以"尸〃"。，

所以直线尸°过定点”（1，°）,证毕.

法2（直曲联立）：

当直线尸、斜率存在时，设直线「。为丫二米+加,

_3%―一%二二3

可得心°kPB4,即x?-2%-2-2）（x2-2）4,

整理得3+4%%_6（&+%）+12=0①，

y=kx+m

'X2_,

—y2=1

联立直线PQ与椭圆方程：14,

整理得（4左2+l）x2+8kmx+4m2-4=0

所以A=64公苏一4（4〃+1）（4川-4）=16（4/+1_也>0,则必2+]>.

8加4m2—4

由韦达定理有%+/―必2+1,中2必2+1②，

17

疗-必2

22

%•%=(%+m)=kx1x2+km(^xi+x2^+m

所以4r+1③,

3＞上，2-4।z|x""4/Skm

+6x+12=0

将②③代入①得软?+14/+14/+1

可得（2%+市）（k+根）=0,所以根=-2k或m=—k,

当加=-2左时，直线尸。为尸质-2左，经过3（2,0）,舍去,

所以加=-％,此时直线尸。为>=丘一无，经过定点a°）,

直线P°过定点得证.

法3（构造对偶式）：

由原'一片,怎。一5,可知心°=3”

,__1,,,__1

又“历一4,由椭圆对称性易知°晨”一4,

所以kpB=3Z2A,

L=3XM

x2-2玉+2=-6%一2y2①

上=3x上%%-3尤］必=-2%一6y2②

%一2%+2

可得

由①②可得占%一%%,

y-X=一（尤-占）X==T-=I

直线产。为％-%,令>=0得，必-X,

所以直线「0过定点（1，°）,证毕.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明“：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，

再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点（/，为）,常利用直线的点斜式方程,一