应用随机过程课件第03章随机信号概论

CH2随机信号概论

3/26/20241随机过程的根本概念随机过程的分类随机过程的概率分布随机过程的数字特征随机序列及其统计特性提纲3/26/20242随机过程的根本概念信号的概念携带着某种信息的过程是时间的函数3/26/20243随机过程的根本概念确定性信号随时间作规律性的变化，依照规律可以准确的预测它的未来用确定的时间函数来描述如：正弦信号3/26/20244随机过程的根本概念随机信号随时间作无规律的、随机的变化，无法准确地预测它的未来用随机的时间函数〔随机过程〕来表示如：噪声电压3/26/20245随机过程的根本概念随机变量、随机向量是状态观察的结果随机过程是过程观察的结果随机过程是随时间变化的随机变量对随机过程采样得到随机变量和随机向量3/26/20246随机过程的根本概念随机过程的定义设E是随机试验，它的样本空间是假设对每个，总有一个确定的时间函数 ，与它对应，这样对于所有的 ，就可得到一族时间t的函数，称为随机过程族中的每一个函数称为随机过程的样本函数书写时通常简记为3/26/20247随机过程的根本概念噪声电压的起伏波形3/26/20248随机过程的根本概念随机过程X(t)在四种不同情况下的意义当t,ξ都是可变量时，X(t)是一个时间函数族当t是可变量，ξ固定时，X(t)是一个确定的时间函数当t固定，ξ是可变量时，X(t)是一个随机变量当t固定，ξ固定时，X(t)是一个确定值3/26/20249随机过程的分类按照时间和状态是连续的还是离散的分类连续型随机过程：时间和状态都连续，如噪声电压3/26/202410随机过程的分类按照时间和状态是连续的还是离散的分类离散型随机过程：时间连续，状态离散，如硬限幅电路输出的随机过程3/26/202411随机过程的分类按照时间和状态是连续的还是离散的分类连续随机序列：时间离散，状态连续，如可通过对连续随机过程等间隔采样得到3/26/202412随机过程的分类按照时间和状态是连续的还是离散的分类离散随机序列：时间和状态都离散，如对连续型随机序列再进行量化3/26/202413随机过程的分类按照样本函数的形式不同的分类不确定的随机过程：任意样本函数的未来值，不能由过去观测值准确预测确定的随机过程：任意样本函数的未来值，可以由过去观测值准确预测例：定义随机过程，其中A,ω或Φ是随机变量，那么对该过程的任一个样本函数，这些随机变量都是取一个具体值，因此假设对以前任意段时间的样本函数，就可以准确预测样本函数的未来值3/26/202414随机过程的分类按照随机过程的分布函数或概率密度的不同的分类平稳随机过程，高斯过程，白噪声，独立随机过程，马尔可夫〔Markov〕过程等3/26/202415随机过程的概率分布在一定的近似程度上，可以用对多维随机变量的研究来代替对随机过程的研究维数越大，替代越精确在维数取极限时，随机过程的概念可以作为多维随机变量的概念在维数无穷多情况下的自然推广3/26/202416随机过程的概率分布一维概率分布具有一维随机变量的分布函数和概率密度的各种性质，是x和t的二元函数仅给出了随机过程最简单的概率分布特性，只能描述随机过程在任一孤立时刻取值的统计特性，而不能反映随机过程各个时刻的状态之间的联系3/26/202417随机过程的概率分布二维概率分布是的四元函数描述了随机过程在任意两个时刻的状态之间的联系，比一维概率分布含有更多的信息仍不能反映随机过程在两个以上时刻的取值之间的联系，不能完整的反映出随机过程的全部统计特性3/26/202418随机过程的概率分布n维概率分布描述了随机过程在任意n个时刻的状态之间的联系维数越大，那么对随机过程的统计特性描述越完善，但是n越大，分析处理问题也越复杂，通常只取到二维3/26/202419随机过程的数字特征随机过程的概率分布族能完整地描述随机过程的统计特性，但是，在实际应用中，要确定随机过程的概率分布族，并加以分析，常常比较困难引入随机过程的数字特征，描述随机过程的重要特征3/26/202420随机过程的数字特征数学期望随机变量的数学期望随机过程的数学期望3/26/202421随机过程的数字特征数学期望随机变量的数学期望是确定的数值随机过程是随时间变化的随机变量，所以随机变量的数学期望是确定的时间函数物理意义：假设X(t)表示噪声电压，那么数学期望就是此噪声电压的瞬时统计平均值3/26/202422随机过程的数字特征均值3/26/202423随机过程的数字特征均方值与方差〔原点矩与中心矩〕随机变量的均方值与方差随机过程的均方值与方差3/26/202424随机过程的数字特征均方值与方差随机变量的均方值/方差是确定的数值，随机变量的均方值/方差是确定的时间函数方差描述了随机过程的样本函数围绕数学期望的分散程度物理意义：假设X(t)表示噪声电压，那么均方值表示消耗在单位电阻上的瞬时功率的统计平均值，而方差表示瞬时交流功率的统计平均值3/26/202425随机过程的数字特征相关函数随机变量的相关函数描述两个随机变量间的关联程度3/26/202426随机过程的数字特征相关函数随机过程的自相关函数假设，3/26/202427随机过程的数字特征相关函数随机过程的自协方差函数〔中心化自相关函数〕假设，3/26/202428随机过程的数字特征3/26/202429随机过程的数字特征自相关函数数学期望和方差描述的是随机过程在各个孤立时刻的重要数字特征，但无法反映随机过程不同时刻的内在联系自相关函数描述随机过程任意两个不同时刻状态之间的相关性是时间的二元函数3/26/202430随机过程的数字特征相关函数随机过程的互相关函数中心化互相关函数〔互协方差函数〕3/26/202431随机过程的数字特征自相关函数描述一个随机过程本身的内在联系互相关函数描述两个随机过程之间的统计关联特性3/26/202432随机过程的数字特征随机过程X(t)和Y(t)互相统计独立对任意的有对二维概率密度那么有3/26/202433随机过程的数字特征随机过程X(t)和Y(t)互相统计独立互相关函数互协方差函数〔中心化互相关函数〕3/26/202434随机过程的数字特征随机过程X(t)和Y(t)互不相关对任意t1,t2，如果两个过程X(t)和Y(t)的互协方差函数为零， 即 或 那么X(t)和Y(t)互不相关注意：如果两个过程互相独立，那么必不相关，反之那么不一定3/26/202435随机过程的数字特征随机过程X(t)和Y(t)正交对任意t1,t2，如果两个过程X(t)和Y(t)的互相关函数等于零， 即 或 那么X(t)和Y(t)正交注意：如果两个过程正交，不一定相关，除非它们是零均值的3/26/202436随机过程的数字特征例：如果随机过程X(t)为 式中V是随机变量，其数学期望〔均值〕为5，方差为6，求随机过程X(t)的均值、方差、相关函数和协方差函数

3/26/202437随机过程的数字特征解：由题意可知： 得到V的均方值为 根据随机过程数字特征的定义和性质，可求得3/26/202438随机过程的数字特征3/26/202439随机过程的数字特征如果随机过程X(t)为 式中U为在[0,1]上均匀分布的随机变量，求：过程X(t)的均值、相关函数、协方差函数和方差

3/26/202440随机过程的数字特征解：由题意可知：随机变量U的概率密度为

根据随机过程数学期望的定义，时间t与统计平均没关系，因此，求数学期望时，t可以看成常数，故有3/26/202441随机过程的数字特征3/26/202442随机序列及其统计特性随机序列对连续随机过程X(t)以ts为间隔进行等间隔抽样，得到随机序列，表示为对于固定的j，Xj为一随机变量3/26/202443随机序列及其统计特性随机序列一个N点的随机序列可以视为一个N维的随机向量3/26/202444随机序列及其统计特性均值向量自相关矩阵其中3/26/202445随机序列及其统计特性协方差矩阵其中3/26/202446随机序列及其统计特性自相关阵的两个性质对称性，即证明：3/26/202447随机序列及其统计特性自相关阵的两个性质半正定性，即对任意N维〔非随机〕向量F，下式成立证明：设 由于以下不等式恒成立，即3/26/202448随机序列及其统计特性得即证3/26/202449随机序列及其统计特性例：求在[0,1)区间均匀分布的独立随机序列的均值向量，自相关阵与协方差阵，设N=3