第一章线性方程组的化简

第一节线性方程组的消元法第二节矩阵的初等变换第一章线性方程组的消元法

和矩阵的初等变换第一节线性方程组的消元法一、线性方程组的基本概念1.线性方程组的定义二、消元法解线性方程组2.线性方程组的线性组合1、线性方程组的初等变换2、利用初等变换解一般线性方程组一、线性方程组的基本概念1.线性方程组的定义引例 有三家生产同一种产品的工厂A1

、A2

、A3，其年产量分别为40t，20t和10t，该产品每年有两个用户B1、B2

，其用量分别为45t和25t引例

有三家生产同一种产品的工厂A1

、A2

、A3，其年产量分别为40t，20t和10t，该产品每年有两个用户B1、B2

，其用量分别为45t和25t不妨假设每吨货物每公里的运费为1元，问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知数的个数为n

，方程个数为m

，则线性方程组可以写成如下形式：若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组，否则，称为非齐次线性方程组.n个数x1=c1，x2=c2，…，xn=cn组成的有序数组称为方程组的一个解，记为：所有解组成的集合称为解集合两个方程组有相同的解集合，则称为同解方程组2.线性方程组的线性组合线性方程的加法：将两个线性方程(1)(2)的左右两边相加得到如下的新线性方程：称为原来两个线性方程的和。线性方程乘常数将线性方程方程的数乘。两边同乘以已知常数，得到一个新的线性方程：线性方程的线性组合再将所得的两个方程相加，得到新方程：将线性方程(1)和(2)分别乘两个已知常数(3)称为原来两个方程(1)和(2)的一个线性组合，称为这个线性方程的组合系数。将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一定是线性组合(3)的解。若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组等价等价的线性方程组一定同解。将方程组(I)变成同解方程组(II)的过程称为同解变换。给定的两个线性方程组(I)和(II)，如果(II)中每个方程都是(I)中方程的线性组合，就称(II)是(I)的线性组合。二、消元法解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．1、线性方程组的初等变换例1解于是解得小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．

2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．定义1上述三种变换均称为线性方程组的初等变换．3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．定理1线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组．2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)例2求解线性方程组定理2在齐次线性方程组第二节矩阵的初等变换一、矩阵及其初等变换1.矩阵的定义2.几种特殊矩阵5.矩阵的初等变换7.行阶梯形矩阵8.行最简形矩阵二、用矩阵的初等变换化矩阵为标准型3.矩阵相等的概念4.矩阵的转置6.矩阵的等价为了简化方程组的表达，可以省掉各个未知数，只考虑系数和常数项，把它们排成一个表，用这个表代替线性方程组，直接对这个表进行与求解线性方程组相应的初等变换，这样在表达上可以更加简洁和直观。为此，我们将引出矩阵的概念，介绍用矩阵的初等行变换将线性方程组化为阶梯型方程组后求解。线性方程组的解取决于系数常数项一、矩阵及其初等变换对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为矩阵的定义由个数排成的行列的数表称为矩阵.简称阵.记作矩阵的定义1.矩阵的定义定义1：简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,矩阵中的所以元素非负，称为非负矩阵.矩阵的定义例如是一个实矩阵,是一个非负矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.矩阵的定义例如是一个3阶方阵.2.几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作矩阵的定义只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).

称为对角矩阵(或对角阵）.（3）形如的方阵,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作(5)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.全为1②两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.3.矩阵相等的概念①两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作例4.矩阵的转置线性方程组称为方程组的系数矩阵；称为方程组的增广矩阵。求解线性方程组在前面：用消元法解下列方程组的过程．例1因为在前述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵A(方程组（1）的增广矩阵）的变换．5.矩阵的初等变换ïîïíì=++=+-=++4223224321321321xxxxxxxxx定义2：下面三种变换称为矩阵的初等行变换:矩阵的初等变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.记作经初等变换变成矩阵如果矩阵B,AB.A则等价关系的性质：一般，将具有上述三条性质的关系称为等价．定义3：6.矩阵的等价例3

求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．例4

求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有其中c,d为任意常数例5求解线性方程组解：用矩阵的初等行变换解方程组行阶梯形矩阵行最简形矩阵称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵：①若有零行（元素全为零的行），则零行位于底部；7.行阶梯形矩阵②各非零行的首非零元位于上一行首非零元之右边.例如：注:竖阶梯只下一级。8.行最简形矩阵例如利用初等行变换，可以把矩阵化为行最简形矩阵.称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：①行阶梯形矩阵；②首非零元均为1；③首非零元所在列其它元素均为０.对增广矩阵施行初等行变换化到阶梯形就是消元法解方程组的消元过程，继续施行初等行变换化到行最简形就是回代的过程。行阶梯形行最简形增广矩阵例如，二、用矩阵的初等变换化矩阵为标准型称满足下列两个条件的矩阵为标准形：①左上角为单位阵；标准形②