高中数学人教版必修五第二章 等差数列（一） 导学案

二章数列

2.2等差数列(一)

.学习目标.1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项

公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用.

n问题导学-------------------------

知识点一等差数列的概念

思考给出以下三个数列：

(1)0,5,10,15,20；

(2)4,4,4,4,•••；

(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.

它们有什么共同的特征？

答案从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.

梳理一般地，如果一个数列从第&项起，每一项与它的前一项的差等于同一个宣教，那么

这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可

负可为零.

知识点二等差中项的概念

思考观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：

(1)2,4；(2)-1,5；(3)a,b；(4)0,0.

答案插入的数分别为3,2,一丁，0.

0—1—A

梳理如果三个数a,A,6组成等差数列，那么1叫做a和6的等差中项，且［=一］一.

知识点三等差数列的通项公式

思考对于等差数列2,4,6,8,…，有例一ai=2,即az=ai+2；腐一az=2,即柒=a+2=

8+2X2；a=2,BP&=8+2=ai+3X2.

试猜想&=4+()X2.

答案n-i

梳理若一个等差数列{a},首项是公差为&则&=&+(〃-Dd此公式可用累加法

证明.

2题型探究

类型一等差数列的概念

例1判断下列数列是不是等差数列？

(1)9,7,5,3,一2〃+11,…；

(2)-1,11,23,35,…，12/7-13,…；

(3)1,2,1,2,•••；

(4)1,2,4,6,8,10,…；

(5)a,a,a,a,a,….

解由等差数列的定义得(1),(2),(5)为等差数列，(3),(4)不是等差数列.

反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是

否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a+1

一是不是一个与〃无关的常数.

跟踪训练1数列｛a｝的通项公式a“=2〃+5,则此数列()

A.是公差为2的等差数列

B.是公差为5的等差数列

C.是首项为5的等差数列

D.是公差为〃的等差数列

答案A

解析—a,=2(n+l)+5—(2〃+5)—2,

：.｛aj是公差为2的等差数列.

类型二等差中项

例2在一1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列，求此数列.

解V-l,a,b,c,7成等差数列，

.•"是一1与7的等差中项，

又a是一1与3的等差中项，.•.a=W^=L

34-7

又c是3与7的等差中项，・,・2=哥=5.

・,•该数列为-1,1,3,5,7.

反思与感悟在等差数列｛4｝中，由定义有a〃+i-a=&—a-1(〃22,即an=

,从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一

项的等差中项.

跟踪训练2若卬和2〃的等差中项为4,2〃和c的等差中项为5,求加和c的等差中项.

解由力和2n的等差中项为4f得勿+2〃=8・

又由2%和〃的等差中项为5,得2〃/+〃=10.

两式相加，得〃十刀=6.

所以0和n的等差中项为9=3.

类型三等差数列通项公式的求法及应用

命题角度1基本量(a,d)

例3在等差数列｛&｝中，已知26=12,ais=36,求通项公式a“.

ai+5d=12,

解由题意可得

0+17d=36.

解得d—2,ai=2.

；.a〃=2+(/?-1)X2=2P.

反思与感悟像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方

程思想.

跟踪训练3(1)求等差数列8,5,2,…的第20项；

(2)判断一401是不是等差数列一5,-9,—13,…的项，如果是，是第几项？

解(1)由ai=8,全=5,得"=/一ai=5—8=—3,

由〃=20,得的=8+(20—1)><(-3)=—49.

(2)由ai=-5,d=-9—(-5)=—4,得这个数列的通项公式为a„=—5+(/?—1)X(—4)

=­4〃一1.

由题意，令一401=-4〃-1,得〃=100,

即一401是这个数列的第100项.

命题角度2等差数列的实际应用

例4某市出租车的计价标准为元/km,起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元,

如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0,那么需要

支付多少车费？

解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km,乘客需要支付元.

所以，可以建立一个等差数列｛a,,｝来计算车费.

令团=,表示4km处的车费，公差"=,

那么当出租车行至14km处时,n=\\,

此时需要支付车费a“=+—X=23.2（元）.

即需要支付车费元.

反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方

法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题.

跟踪训练4在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km,气温就下降某一个固定

数值.如果1km高度的气温是℃,5k（n高度的气温是一℃,求2km,4km,8km高度的气温.

解用｛4｝表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则团=,a$=一，

由a；=ai+4d=+4d=—,

解得d=一，

/.a“=15-/7.

**•3-2——11,a=­37,

即2km,4km,8km高度的气温分别为2℃,-1TC,

-37℃.

3当堂训练

1.已知等差数列｛a｝的通项公式a=3—2〃，则它的公差"为（）

A.2B.3

C.-2D.-3

答案C

解析由等差数列的定义，得冷痣一哥=一1一1=-2.

2.已知在△4%'中，三内角4B,C成等差数列，则角8等于（）

A.30°B.60°

C.90°D.120°

答案B

解析因为4B,C成等差数列，

所以8是4,C的等差中项，

则有4+C=26,

又因为/+8+C=180°,

所以38=180°,从而8=60°.

3.等差数列｛a“｝中，已知团=；,32+35=4,a„=33,求〃的值.

解V,32+55=（a+由+（a+4do=2a+5d=4,

1,,、221

：.an—~+(.77—1)X-

由33,

解得〃=50.

L规律与方法------------------------------1

1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法：

（1）为+la产d（d为常数，N*）Q｛a｝是等差数列；

（2）2a“+i=a"+&+2（〃GN*）=｛a〃｝是等差数列；

⑻a”=kn+b（k,6为常数，〃GW）Q｛a,J是等差数列.

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.

2.由等差数列的通项公式&=@+（〃-1）,可以看出，只要知道首项囱和公差4就可以求

出通项公式，反过来，在切，d,n,a.四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另

一个量.

40分钟课时作业

一、选择题

1.若则等差数列a,汨，型,人的公差是（）

„b-a

A.b—aB.~-~

答案C

解析由等差数列的通项公式，

得b=a+（4—1）d,

所以4年.

2.已知等差数列｛&｝中，&+4=22,备=7,则徐等于（）

A.15B.22

C.7D.29

答案A

解析设｛4｝的首项为8,公差为"，

a-i+必=a+2"+劭+7d=22,

根据题意得，

a=国+5〃=7,

解得a=47,d=-8.

所以的=47+(5-1)X(-8)=15.

3.等差数列20,17,14,11,…中第一个负数项是()

A.第7项B.第8项

C.第9项D.第10项

答案B

解析Va,=20."=一3,

a〃=20+(n—1)X(—3)—23—3〃，

•••日=2>0,3s=-1V0.

4.若5,x,y,z,21成等差数列，则*+y+z的值为()

A.26B.29

C.39D.52

答案C

解析V5,x,y,z,21成等差数列，

既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.

.,.5+21=2/,

.*.y=13,x+z=2y=26,

・・.x+y+z=39.

5.若数列｛4｝满足3品+户3a+1,则数列是()

A.公差为1的等差数列

B.公差为;的等差数列

C.公差为一〈的等差数列

D.不是等差数列

答案B

解析由3&+i=3&+l,

得3&+1-3dn=19

即为+1-&=),

所以数列｛a｝是公差为9的等差数列.

6.已知等差数列｛4｝中，&+a=16,a=1,则42的值是()

A.15B.30

C.31D.64

答案A

&8+3d-~1,

解析由

的+4=2m+14d=16,

/.ai2=ai+lld=—~―+11X-=15.

二、填空题

7.4—1与4+1的等差中项是

设等差中项为a,

则有a=鱼墨3=近

8.若一个等差数列的前三项为名2日-1,3一%则这个数列的通项公式为

答案&=：+1,〃£N*

解析Va+(3—a)=2(2a—1),

・・・这个等差数列的前三项依次为彳5，*R?7

；.d=；,&=彳+(〃-1)x[=£+l,〃£N*.

9.若｛a｝是等差数列，315=8,560=20,则375=.

答案24

解析设｛4｝的公差为a

@5=8+14d=8,

由题意知

的=a+59d=20,

644

所以a75=3i+74cf=—+74X—=24.

10.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差”的取值范围是

o

答案g"W3

解析设a=—24+(〃-D",

⑦=-24+8■0,

由《

U10=-24+9rf>0,

解不等式得条运3.

三、解答题

4

11.己知数列｛a｝满足国=4,a=4-----(〃22,

Qtr~\

人1

令bn=Q-

a,-2.

(1)求证：数列｛4｝是等差数列；

⑵求数列｛8,｝的通项公式.

4

(1)证明因为a=4--—(〃22),

n3f｛—\

2(a2)

所以a„+,-2=2--=-(/7^1),

a”Qu

所以—=a%=异力(自)，

所以——]=:(〃21)，

A+L2alt-£乙

即4+1—4=/(〃21).

所以数列｛4｝是等差数列.

⑵解由(1)知[七|是公差为4的等差数列，

—句/

11.Z\1〃

所以力=力+(〃-1)-2=?

2

解得a=2+-.

n

2

所以数列｛4｝的通项公式为&=2+二

n

12.甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度:

时间ds)123・・・?・・・60

距离s(cm)…