高中数学-21 割圆术（以割圆术为背景的高中数学考题题组训练）解析版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】

专题21割圆术

（以割圆术为背景的高中数学考题题组训练）

一、单选题

1.我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥

细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣'’.也就是利用圆的

内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图.。的半径为1,用圆的内接

正六边形近似估计，则。的面积近似为空，若我们运用割圆术的思想进一步得到

2

A.3（\&）B.3呼；叫C.3（后-⑹D.3（#+闾

【答案】C

【解析】

【分析】

求得圆内接正二十四边形的面积，由此求得。。的面积的近似值.

【详解】

V6->/2

sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin30°=-------，

4

圆内接正二十四边形的面积为24x\lxlxsinl5o=12x早=3(而到

2

故选：C

2.刘徽的割圆术是建立在圆面积论的基础之上的.他首先论证，将圆分割成多边形，

分割越来越细，多边形的边数越多，多边形的面积和圆的面积的差别就越来越小

7.如图，阴影部分是圆内接正12边形，现从圆内任取一点，则此点取自阴影部分的

概率是（)

【答案】A

【解析】

先求出阴影部分及圆的面积，然后结合几何概型中面积型的概率公式求解即可.

【详解】

解：设圆的半径为1,

1-rr

由题意可得阴影部分的面积为，=12x-xl2xsin-=3,

又圆的面积为$2=%*12=万,

S3

则由几何概型中面积型的概率公式可得此点取自阴影部分的概率是亡/

故选：A.

【点睛】

本题考查了几何概型中面积型的概率公式，重点考查了正多边形面积的求法，属基础

题.

3.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以

至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比

如在12+亚二中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方

6+1

程反7=》确定出来x=2,类似地不难得到()

OH-------

6+…

C9+3V10-3

A.3+V10B.3-710D.

2

【答案】A

【解析】

【分析】

令'=6+^3结合已知可得xj~=。，求解即可.

【详解】

令x=6+——>6,pll]6+—=x,

6+...x

.,■X2-6X-1=0，解得x=3±VIU,

Ax=3+>/i0.

故选：A

4.在《九章算术》方田章圆田术(刘徽注)中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又

割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣注述中所用的割圆术是一种无限与有

限的转化过程，比如在也+亚二^^中''…”即代表无限次重复，但原式却是个定值

X,这可以通过方程&工=》确定出来l=2,类比上述结论可得

log2[2+log2(2+log2(2+))]的正值为

A.1B.&C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，通过类比可得：x=log2(2+x)，再解方程可得.

【详解】

由题意可得X=log2(2+x),x>0,/.2X=X+2,解得X=2.

故选C.

【点睛】

本题考查了推理与证明中的类比推理，属中档题.

5.2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国

古代数学家祖冲之的圆周率。公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，

计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是奇:.公元480年左右，南北朝时期

的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926

和过剩近似值3.1415927,还得到两个近似分数值，密率三|和约率亍。大约在公元

530年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为^/^两(«3.14140096).在这4个圆

周率的近似值中，最接近真实值的是

3927c355C,乌

B.一D.J9.8684

T2501137

【答案】B

【解析】

【分析】

依次计算出每个近似值，与圆周率作对比找到最接近真实值的项.

【详解】

后=3.1416,元=3.141592…，亍=3.142857…，7^8684=3.14140096--

355

由圆周率的值可知，最接近真实值的为荏

故选：B

【点睛】

本题考查圆周率的相关知识，关键是能够准确计算出各个近似值，属于基础题.

6.“割圆术”是我国古代计算圆周率%的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数

学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求〃.当

时刘微就是利用这种方法，把乃的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界

上对圆周率万的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用己知的、可求的来逼

近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失

弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣''.这种方法极其重要，对

后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，

若用正二十四边形来估算圆周率万，则乃的近似值是（）（精确到0.01）（参考数

据sin15"x0.2588)

A.3.05B.3.10

C.3.11D.3.14

【答案】C

【解析】

【分析】

假设圆的半径为r,根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角

形，顶角为幽，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果.

24

【详解】

设圆的半径为,，

以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形

且顶角为幽=15

24

所以正二十四边形的面积为24'/"-sinl5=12r2sinl5

2

所以12r2sin15=nr1=>^=12sinl5«3.11

故选：C

【点睛】

本题考查分割法的使用，考验计算能力与想象能力，属基础题.

7.刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最

宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的

概念及其加减运算的规则.提出了“割圆术"，并用‘‘割圆术''求出圆周率兀为3.14.文U

徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无

所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作.其中“割圆术''的第一步是求圆的内接正六边

形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推.若在圆内随机取一

点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为（）

A.更B.>-夜）c.1D.3（存历）

2万2兀71n

【答案】C

【解析】

【分析】

设圆的半径为1,分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是面积比

得答案.

【详解】

360°

解：设圆的半径为1,圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为节-=30°

则圆内接正十二边形的面积为：12xgxlxlxsin3（）o=3

圆的面积为乃=冗,

由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内

3

的概率是一.

71

故选：c

【点睛】

本题考查几何概型概率的求法，关键是求出圆内接正十二边形的面积，是基础题.

8.刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术''所谓

“割圆术''是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.已

知半径为1的圆。内接正二十四边形，现随机向圆。内投放。粒豆子，其中有6粒豆子

落在正二十四边形内（久b€N”,b<a）,则圆周率的近似值为（）

A（36+3⑹〃B（3#+3©3底-3吟。D（3迷-3夜及

baba

【答案】C

【解析】

【分析】

本题首先可计算出正:十四边形的面枳跖，然后计算出半径为1的圆的面积打，最后

根据几何概型的概率计算公式即可得出结果.

【详解】

因为正二十四边形的面积S|=24x；xFxsinl5"=24x近=叵=3（#-&），半径为1

的圆的面积S?=7，

所以县=3（"-3）=幺解得万=”二业，

S27rab

故选：C.

【点睛】

本题考查几何概型的概率计算公式，能否求出正二十四边形的面积以及圆的面积是解

决本题的关键，考查计算能力，是简单题.

9.我国古代数学家刘徽用“割圆术”将兀的值精确到小数点后七位，其结果领先世界

1000多年.“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形

起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为12

时，由''割圆术''可得圆周率的近似值为（)

A.12sinl5°B.12cosl5°C.12sin30°D.6sin30°

【答案】A

【解析】

设圆的半径为R，圆的内接12边形的边长为2Rsinl5。，将圆的周长近似等于12边形

的周长即可求解.

【详解】

设圆的半径为R,则圆的内接12边形的边长为2Rsinl5。，

周长为24Rsinl5。，

由27txR=24Rsinl50,得7c=12sinl50.

故选：A.

【点睛】

本题考查了圆的面积公式，考查了基本运算能力，属于基础题.

10.圆周率左、自然对数的底数e是数学中最为神奇的两个常数.人类研究》的历史悠

久并创造了辉煌的成就.为了得到精确度更高的圆周率，一代代数学家付出过许多艰苦

的努力.中国古代数学家刘徽曾用“割圆术”计算圆周率，得到万。3.1416.以正〃边形

的周长近似表示其外接圆周长时，可得乃的近似值.乃与〃的关系为：%”/(〃)，则小,

为()

A.“cos火B.“cos幽D.高磨

C.

nnnn

【答案】C

【解析】

【分析】

将一个单位圆平均分成“个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为3也60L°,由〃个扇形所

n

对应的弦长之和近似于外接圆周长，求出结论即可.

【详解】

将一个单位圆平均分成〃个扇形，

则每个扇形的圆心角度数均为3型60-°

n

1QAO

可得每个圆心角所对的弦长为|AB|=2xlxsin:-

由于正“边形的周长近似表示其外接圆周长

[80°]80。

所以2〃x1xsin------22%，则万sin-------

nn

故选：C

11.我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：“割之弥

细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣即通过圆内接

正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆

周率.如果用圆的内接正〃边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为可，那么用圆的内接

正2〃边形逼近圆，算得圆周率的近似值72“可以表示为（）

匹匹兀〃兀“

A.180°B.360°C..180°D..90°

cos------cos-------sin------sin-----

nnnn

【答案】A

【解析】

【分析】

由三角函数的倍角公式及三角形的面积公式计算可得.

【详解】

解：由题意有g&sin迎上,

2n

n=2-

所以，.360。，

-,.360°

又nRd2sin——=万2“R,

2n

2环.180°%,

Sm

所以对-360^—180°,

sin------cos------

nn

故选：A.

12.刘徽（约公元225年―295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基

人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与

圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一

个圆的内接正〃边形等分成〃个等腰三角形如图1所示，当〃变得很大时，这N个等腰

三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin3。的近似值为

A.—B.—C.—D.-------

306090180

【答案】B

【解析】

【分析】

将个单位圆分成120个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为3。，由这120个扇形对

应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，能求出sin3。的近似值.

【详解】

解：将一个单位圆分成120个扇形，

则每个扇形的圆心角度数均为3。，

,这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，

120x—xIx1xsin30=60sin3°«,

2

sin3°«—

60

故选：B.

13.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术''可以估算圆周率%理论上能把乃的值计算

到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将刀的值精确到小数点后七位，其结果

领先世界一千多年，"割圆术''的第一步是计算圆内接正六边形的面积"，则S«=

)

A36R3&「也

224D-T

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积即可.

【详解】

如图，

E

B

单位圆的半径为1,则其内接正六边形'中，AAC®是边长为1的正三角形，

所以正六边形ABCDEF的面积为S6=6x-^xlxlxsin60=.

故选：A

14.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，

以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比

如在也+亚二中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方

___2----?---

程与工=x确定x=2,则，1等于（）

z-----

2-

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

?1,

根据题目中的例子，号、一~~X,则2-L=X,从而可求得结果

----X

【详解】

BPX2-2X+1=0.解得X=1,

2—

故选：A.

15.公元263,魏晋时期的数学家刘徽借助圆内接正多边形计算圆的面积，其“割圆术”

思想为：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体.某数学兴趣

小组，分别计算单位圆内接正“边形和外切正”边形(各边都和圆相切)的面积，将

它们的平均数作为圆的面积，则用此法求得圆面积为()

(.1800180°180°、1(.180°180°180°、

—+tan—

nn

3600360,

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，利用三角形的面积公式，分别求出单位圆内接正〃边形的面积和单位圆外

切正，边形的面积，然后求它们的平均数即可.

【详解】

取单位圆，即半径r=1,所以，单位圆内接正〃边形，可以分解成〃个三角形，且每

个三角形面积为彳1xlxlxsin3」600-=1xsin3——60°，所以，单位圆内接正“边形的面积为

2n2n

单位圆外切正“边形可以同样分解成〃个三角形，且每个三角形面积为

11Q()o1ono

Ixlxtan-x2,所以，单位圆外切正〃边形的面积为〃lan

2nn

乂……由十人.360°180%1(.180°180°180。)

故它们的平均数为1~sin----+〃tan----=-/?sin----cos----+tan----.

2(2nn)2\nnn)

故选：B

16.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又

割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程

1

比如在表达式］I1中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值，它可以通过

方程l+2=x求得》=匕且，类似上述过程及方法，则,6+而而三的值为

x2

)

A.—+-76B.3C.2+V2D.25/3

【答案】B

【解析】

【分析】

令4+7^^尹=x，则有历7=x,然后转化为一元二次方程，解出X的值，并

排除不正确的值，即可得到结果.

【详解】

令《6+示+J6+=x<则x/6+x=x,整理，得V-x-6=0，

解得x=3,或x=-2,x>0,x=3)

\)6+^6+^6+=3•

故选：B.

17.魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率兀约为言，是当

时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破.若已知力的近似值

1-2COS27°

还可以表示成4sin52°,则的值为()

乃J16-兀°

B.C.8D.-8

8

【答案】B

【解析】

【分析】

1-2浸7°

将7r=4sin52°代入结合三角恒等变换化简可得结果.

兀飞16一九,

【详解】

2

将兀=4sin52。代入1-:2cos7°中,

兀q16-/

l-2cos27°-cos140_-cos14°_cos14°

%J16-万24sin52°V16-16sin252°16sin52°cos5208sin104°

cos14°_cos140_1

8sin(90°+14°)--8cosl4°一于

故选：B

18.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近

圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决

数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆f+V=2的一个内接正八边

形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的

一条边所在直线的为

A.x+(V2-l)>'-V2=0B.(1-V2)JC->'+>/2=0

C.及+l)y+0=OD.(^-l)x-y+V2=0

【答案】C

【解析】

【详解】

分析：山题意求解题中所给的直线方程，对比选项，利用排除法即可求得最终结果.

详解：如图所示可知A(夜,0)1(1,1),C(O,V2),£>(-1,1),

所以直线A&BC,8的方程分别为：

y=(l-y/2)x+y/2,

y=(V2-l)x+V2

整理为一般式即：

x++(血-l)y_&=0,

(l-V2)x-y+>/2=0,

(V2-l)x-y+V2=0,

分别对应题中的ABD选项.

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查直线方程的求解，圆的方程等知识，意在考查学牛.的转化能力和

计算求解能力.

19.我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割

之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并

使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接

正〃边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为可，那么用圆的内接正2〃边形逼近圆，算

得圆周率的近似值加巧〃可表示成

【答案】C

【解析】

【分析】

设圆的半径为「，由内接正〃边形的面枳无限接近圆的面积可得：

^,=nxsin—xcos—,由内接正2〃边形的面积无限接近圆的面积可得:

nn

7Tln=nxsin竺上，问题得解.

【详解】

设圆的半径为,，将内接正"边形分成"个小三角形,

由内接正〃边形的面积无限接近圆的面积可得:

2n

此时％,=

同理，山内接正2〃边形的面积无限接近圆的面积可得:

兀丫~B2〃X—x广sin----,整:t里得：»27?x—xsin----=〃xsm----

此时肛“二〃xsin---

n

所以巧"

故选C

【点睛】

本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公

式，考查计算能力，属于中档题.

20.我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，

书中记载了他计算圆周率所用的方法.先作一个半径为1的单位圆，然后做其内接正

六边形，在此基础上做出内接正6X2"(〃=1,2,)边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆

周，从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽割圆术现设单位圆。的内接正〃边形的

一边为AC,点8为劣弧AC的中点，则BC是内接正2〃边形的一边，现记AC=S„,

AB=S2n,贝IJ()

A-5筋=也二石耳B.52“=.+斤亨

C.邑,=24+斤豆D,邑=斤点豆

【答案】A

【解析】

方法一，可以设NAO3=。，则在.AOB中，由余弦定理得睨=2-2cos。，设AC与

。5相交于点O,则8LAD,利用三角函数的定义可得cos〃=?2=Jl-或，代入

OAN4

上式化简求得结果：方法二，设AC与。3相交于点D,可以得到ODLA。，且

AO=；S“，所以8=,一亨,所以BD=1-OD=1—/当,利用勾股定理可得

22

S2„=ylBD+AD=,2_j4_S；,从而求得结果.

【详解】

法一：设NAO8=e,则在AO8中，由余弦定理得S；.=2-2cos0,

设AC与08相交于点。，则

所cos”型=、还，

OA\4

所以耽=2-2卜斗=2-也-5：,

故选：A.

法二：设AC与08相交于点。，则ODLAD,

因为AO=：S“，所以O£>=1一或，

2V4

所以BD=1-00=1一/寺,

所以5,„=ylfiD2+AD2=^2-74-S；,

故选:A.

【点睛】

该题考查的是有关数学文化的知识，在解题的过程中，注意对圆中特殊三角形的应

用，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，还有余弦定理的应用，属于简

单题目.

21.刘徽（约公元225年―295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基

人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与

圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一

个圆的内接正〃边形等分成〃个等腰三角形（如图所示），当也变得很大时，这〃个等腰

三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到sinl°的近似值为

（）

【答案】B

【解析】

【分析】

将一个圆的内接正360边形等分成360个等腰三角形；根据题意，可知360个等腰三角

形的面积和近似等于圆的面积，从而可求sinl°的近似值.

【详解】

将一个圆的内接正360边形等分成360个等腰三角形，设圆的半径为「，

14

!）ll]360x—xrxrxsinlo«^r2,即l80sinl°二万，所以sinl。B丽.

故选：B.

二、多选题

22.刘徽是我国杰出的数学家，他在263年撰写的《九章算术注》以及后来的〈海岛算

经〉，都是我国宝贵的数学遗产，奠定了他在中国数学史上的不朽地位.其中《九章算

术注》一书记载了刘徽利用圆的内接正多边形来近似计算圆周率的方法，后人称之为

“刘徽割圆术”.已知单位圆。的内接正”边形A444的边长、周长和面积分别为

a.L",sn,尸为正〃边形A444边上任意一点，则下列结论正确的是

)

A--cos—B.

InSz.2

C。；+(2-成,)2=4

D.PA+PA++叫

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据给定条件，求出正〃边形的中心角，山此计算%，L„,5“即可判断选项A,B,

c；由OA+O4++04=0即可判断D作答.

【详解】

依题意，单位圆。的内接正”边形A44…4的中心角为生，则%=2sin^,

nn

c.万。J.2"、1.24

4二也〃2nsin—,S=n-(—sin——)=—nsin——,

n“n2n2n

',几71

j2nsin—2sin——cos——

Ln_n2n2nJI

对于A,=cos—,A正确;

J4«sin—2sin2〃

2n£

1.2zr.7i冗

&-nsin——sin—cos—

%=2〃=〃〃

对于B,=cos工，B不正确;

S.71,4n

29,1〃sin—sin

nn

对于C,因2-*=2-(2sing>=2cos工，又a；=4sii?三，则〃；+(2-*)一=4,C

2nn〃'/

正确;

对于D,在复平面内令。为原点，由对称性不妨令点4,L,4逆时针排列，向量

OA,,OA2,4n所对复数分别为Z”Z2，,Z„

则。4,+04++3,所对复数为4+Z2++z“，将正〃边形A444逆时针旋转

327r图形重合,

n

则由复数的三角形式得：Zk=zJ(COS—+isin—)^eN\2<fc<n,

nn

/27r..2乃、

4=z(cos——+isin——),

nnn

因此，Q4j+oa++。4所对复数为(Z]+z?++z)(cos——i-isin—),

nnnn

于是有：（Zj+z++z)(cos---i-isin—)=Zj+z++z,而〃>2,

2nnn2n

则4+Z2++z“=o,即OA+OA2++OL4,,=0

于是有pA+P4++PAj=|QA+O4++OA,-nOP\=n\OP\<n,D正确.

故选：ACD

三、填空题

23.联合国教科文组织将3月14日确定为“国际数学日”，是因为3.14是圆周率数值最

接近的数字.我国数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积

去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.步骤是：第1步，计算圆内接正六边形的

周长；第2步，计算圆内接正12边形的周长；第3步，计算圆内接正24边形的周

长；以此类推，第6步，需要计算的是正边形的周长.

【答案】192

【解析】

【分析】

根据“割圆术''的规律求得正确答案.

【详解】

依题意，边长依次为：6,12,24,48,96,192.

故答案为：192

24.在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又

割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣''注述中所用的割圆术是一种无限与有限

转化思想.比如在J2+J2+VT二三中“…”即代表无限次重复,但原数中有个定数x，这

可以通过&7^=》确定出来x=2,类似地可得到：l+g+*+…+击+-=

【答案】|

【解析】

【详解】

分析：利用所给例子和类比思想进行求解.

详解：利用类比思想，令l+[=x,解得X=].

点睛：本题考查类比思想等知识，意在考查学生的类比推理能力.

25.我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥

细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣'’.也就是利用圆的

内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积和周长.如图①，若用圆的内接正六

边形的面积来近似估计半径为1的。的面积，再用如图②的圆的内接正十二边

形的面积邑来近似估计半径为1的。的面积，则$2-5=.（结果保留根号）

图①图②

【答案】3-逮

2

【解析】

过圆心。点作由正六边形的性质可得是等边三角形，计算出三角形

的面积进而可得正六边形的面积；过正十二边形的顶点。作。尸，CO,由正十二边形

的性质可计算出CDO的面积以及正卜二边形的面积，进而得出S2-S-

【详解】

如图，过。点作

由题意知是等边三角形，

1/?

AOA=OB=AB=1,AE=BE=—,E0=—.

22

.cA1G「3G

••Si=6x-x—x1=.

,222

如图，过点£＞作DFLCO,

0

D

由题意知NCO0=3O°,CO=OD=\,则=

2

S,=12x—xlx—=3.

-22

.c<a3石

,,S2-S\=3_-y--

故答案为：3-空

2

26.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施"以直代曲”的近似计算，用正〃

边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率力的精度较高的近似值，这是我国最优秀的

传统科学文化之一.借用“以直代曲''的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象

的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设〃X）=J,则/（力=,

其在点（0,1）处的切线方程为.

【答案】2xJy=i

【解析】

【分析】

利用复合函数的求导法则可求得/'（X）,利用导数的几何意义可求得曲线y=/（X）在点

（0,1）处的切线方程.

【详解】

/（%）=J,故/（X）=（x2）'丁=,则r（o）=0.

故曲线y=〃x）在点（0,1）处的切线方程为y=L

故答案为：2xe'；y=L

27.在微积分中“以直代曲'’是最基本，最朴索的思想方法，中国古代科学家刘徽创立

的“割圆术”，用圆的外切正〃边形和内接正”边形"内外夹逼''的办法求出了圆周率加的

精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优

秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲''的方法，在切点附近、可以用函数图象的切

线代替在切点附近的曲线来“近似计算请用函数/（x）=e，"近似计算门。流的值为

(结果用分数表示).

【答案】20232022##112022

【解析】

【分析】

求出函数/(x)=d的导函数，得到函数在x=0处的导数值，再由直线方程的点斜式求

曲线/(x)=e'在点(0,1)处的切线方程；曲线的切点附近，可用切线近似代替函数曲

线，即在x=0附近，有e'ax+1，再将*=总代入，即可求出结果.

【详解】

函数/(x)=e，的导数为/(x)=",所以/'(0)=1,

函数/(x)="在点(0,1)处的切线y=x+1,

所以f(x)=e”在x=0附近可以用y=》+l代替，即/(尢)=，*x+l,

..1>*—、匚r(1),02。厂112023

又----非常接近0,/-------=«------+1=-------.

2022(2022)20222022

故答案为：黑2023.

2022

355

28.魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率乃约为云，是当

时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破.若已知〃的近似值

还可以表示成4cos38,则处三的值为_____.

l-2sin27

【答案】8

【解析】

【分析】

根据同角三角函数的基本关系式，以及倍角公式，进行转化运算，即可求解.

【详解】

因为乃=4cos38，

所以%<16-/_4cos38JiG-lGcoshg_4cos38x4sin38_8sin76_8cosl4

l-2sin27I-2sin27cos14cos14cos14

故答案为：8.

29.如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为12dm的正方形铝板制作一

个无底面的正〃棱锥(侧面为等腰三角形，