电路第7章教学

第七章一阶电路和二阶电路的时域分析2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求解；重点

4.一阶电路的阶跃响应和冲激响应。3.稳态分量、暂态分量求解；1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。特点：1.动态电路

7.1动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零电阻电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC

=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUsRCi

(t→

)初始状态过渡状态新稳态t1USuct0?i有一过渡期电容电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL

=0uL=0,i=Us/RK接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路初始状态过渡状态新稳态t1US/Rit0?UL有一过渡期K+–uLUsRLi

(t=0)+–uLUsRLi

(t→

)电感电路过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件

L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化2.动态电路的方程+–uCUsRCi

(t>0)应用KVL和元件的VCA得：+–uLUsRLi

(t>0)有源电阻电路一个动态元件一阶电路+–uLUSRLi

(t>0)CuC＋－＋－二阶电路一阶电路描述电路的方程是一阶微分方程。一阶电路中只有一个动态元件。

稳态分析和动态分析的区别稳态动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的一般解任意激励（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；复频域分析法时域分析法

动态电路的分析方法建立微分方程：经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用

(1)t=0＋与t=0－的概念认为换路在

t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时u，i

及其各阶导数的值0－0＋0tf(t)图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。例R－+CiuC(t=0)解特征根方程：得通解：代入初始条件得：说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。t=0+时刻当i()为有限值时iucC+-q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。

(2)电容的初始条件0q

=CuC电荷守恒结论当u为有限值时

L

(0＋)=

L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)iuL+-L

(3)电感的初始条件t=0+时刻0磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论

L

(0+)=

L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)（4）换路定律（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件注意:换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2）换路定律反映了能量不能跃变。5.电路初始值的确定(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1)由0－电路求uC(0－)或iL(0－)+-10V+uC-10k40kuC(0－)=8V(3)由0+等效电路求

iC(0+)iC(0－-)=0iC(0+)例1求

iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k电容开路电容用电压源替代

iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0时闭合开关k,求uL(0+)iL+uL-L10VK1

4

+uL-10V1

4

0+电路2A先求由换路定律:电感用电流源替代10V1

4

解电感短路求初始值的步骤:1.由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向）。iL(0+)=iL(0－)=ISuC(0+)=uC(0－)=RISuL(0+)=-RIS求iC(0+),uL(0+)例3K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解0+电路uL+–iCRISRIS+–0－电路RIS由0－电路得：由0＋电路得：作业9：Ｐ191／7-3思考：P190/7-1本节课重点:

（1）动态电路方程的建立（2）动态电路的初始条件确定

7.2一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。1.

RC电路的零输入响应已知uC

(0－)=U0iK(t=0)+–uRC+–uCR特征根特征方程RCp+1=0则

uR=Ri零输入响应代入初始值uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0uCR+－CtU0uC0I0ti0令

=RC,称

为一阶电路的时间常数（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续函数跃变（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC

大→

过渡过程时间长

小→

过渡过程时间短电压初值一定：R大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C大（R一定）

W=Cu2/2

储能大物理含义工程上认为,经过3

－5

,过渡过程结束。

：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。

＝t2－t1

t1时刻曲线的斜率等于U0tuc0

t1t2U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

次切距的长度（3）能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+－C2.

RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)USL+–uLRR1t>0iL+–uLR-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：连续函数跃变（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；iL+–uLR令

=L/R

,称为一阶RL电路时间常数L大W=Li2/2起始能量大R小

P=Ri2放电过程消耗能量小放电慢

大

大→

过渡过程时间长

小→

过渡过程时间短物理含义时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=L/R电流初值i(0)一定：（3）能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设iL(0+)=I0电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+–uLRiL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V造成V损坏。例1t=0时,打开开关K，求uv。现象：电压表坏了电压表量程：50V解iLLR10ViLK(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10V小结4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC

,

RL电路

=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加输入激励作用所产生的响应。列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=07.3一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解答形式为：1.

RC电路的零状态响应零状态响应齐次方程通解非齐次方程特解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定全解uC

(0+)=A+US=0A=－US由起始条件uC

(0+)=0

定积分常数A的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解-USuC”uC’USti0tuc0（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）+（2）响应变化的快慢，由时间常数

＝RC决定；大，充电慢，小充电就快。（3）响应与外加激励成线性关系；（4）能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。2.RL电路的零状态响应iLK(t=0)US+–uRL+–uLR已知iL(0－)=0，电路方程为：tuLUStiL007.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。iK(t=0)US+–uRC+–uCR解答为uC(t)=uC'+uC"uC

(0－)=U0以RC电路为例，非齐次方程

=RC1.全响应全响应稳态解uC'=US暂态解uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始值定A2.全响应的两种分解方式强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应

=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)（1）着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=U0iK(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0－)=0+uC

(0－)=U0C+–

uCiK(t=0)+–uRR全响应=

零状态响应

+零输入响应零状态响应零输入响应(2).

着眼于因果关系便于叠加计算零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U03.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令t=0+其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用0+等效电路求解用t→

的稳态电路求解

RC电路

=RC

,

RL电路

=L/R解tuc2(V)0.66701A2

例11

3F+-uC已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t)

。例2已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解1i3K3+uC2

6

5F－i2i1+uC4

5F－i1t>0等效电路分流得：uc三要素为：解2这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：i3K3+uC2

6

5F－i2i1+uC4

5F－i1t>0等效电路分流得：例3t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的变化规律

。解1先化简电路，有：iLK+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReqt>0解2这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iLK+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReqt>0练习：如图所示电路中，电路原已达到稳态，当t=0时开关S闭合。分别用三要素法求iL（t）、i（t）。

解1）求初始值iL（0+），换路前的稳态电路如图

由KCL得：iL(0-)=3i(0-)由KVL得：4i(0-)＋4iL(0-)=16联立以上方程解得

iL(0-)=3A根据换路定律，则iL(0+)=iL(0-)=3A

2）求稳态值iL(∞)，等效电路如图：由KVL得：4i(∞)＋3i(∞)（4//4）=16

解得

i（∞）=1.6A则

iL(∞)=0.5*3i（∞）=2.4A

3)

求电路时间常数τ=L/R，等效无源二端网络如图：由

u=4i，－4i4i＋4（3i＋i，）=0得R=u/i’=5Ω∴τ=L/R=0.5/5=0.1s4)根据三要素公式可得iL（t）的全响应为:iL（t）=iL(∞)

＋[iL（0+）－iL（∞）]e－t/τ=2.4＋0.6e－10tA(t≥0)5)据电路结构求i（t）

作业10：Ｐ191／7-4，7-16思考：7-12，7-19（7-5——7-10,7-18,7-20）本节课重点:

（1）一阶电路的零输入响应（2）一阶电路的零状态响应（3）一阶电路的全响应（4）一阶电路的三要素分析法练习1t=0时,开关K打开，求t>0后的iL解iLK(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

应用三要素公式:iL三要素为:练习2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。解+–10V1A1

+－uC1

+－u1

uc三要素为：应用三要素公式:练习已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)

、i1(t)。0.1F2A4

1

+uC－+－4

i12i18V+－124、一阶电路的子区间分析法每个子区间稳态值的计算，稳态值是指本区间无限延长后所能达到的值，可能不是子区间结束时该支路的电压电流值。每个子区间初始值的计算，满足电容电压、电感电流连续性质的条件下，uc、iL能保持连续不变，其他电压、电流子区间的初始值应按本区间初始的等效电路来计算。把分段常量信号作用下的一阶电路分为若干子区间，且每个子区间内的输入信号为常量，每一子区间内的直流一阶电路均可利用三要素法进行分析，时间作相应的延迟。每个子区间内若不仅作用的常量信号发生了变化，电路结构也发生了变化，则时间常数也会发生变化。102t/su/V0-203102t/su/V0-203例1.脉冲序列分析1.RC电路在单个脉冲作用的响应RCusuRuci10Ttus(1)0<t<T(2)t>Tuc(t

)uR(t

)t0TRCusuRucit0(a)

<<T,

uR为输出uR输出近似为输入的微分(b)

>>T,uc为输出t0输出近似为输入的积分RCusuRuciuCTT2.脉冲序列分析t0(a)

<<TuRucRCusuRucit0(b)

>TU1U2ucuRRCusuRuci例2方波作用下的RC串联电路，求稳态过程uc、uR的变化情况解电路进入稳态时开始计时，电容充电区间0≤t≤T/2设电容充电的初时值为U1，电容充电的结束值为U2该区间电容充电的稳态值为UsuR（t）+－++－－RCuc（t）us（t）Usus（t）0T/2T3T/22T5T/2t应用三要素公式且电容放电区间

T/2≤t≤T电容放电的初始值为U2，电容放电的结束值为U1，电容放电的稳态值为0应用三要素公式且讨论：（1）当τ<<T/2时电容的波形接近方波电阻的波形是一系列尖脉冲Usus（t）0T/2T3T/22T5T/2tuc（t）0T/2T3T/22T5T/2tUsuR(t)在充电区间，因为τ<<T/2所以充电很快，即

Usus（t）0T/2T3T/22T5T/2tuc（t）0T/2T3T/22T5T/2tUsuR(t)uR（t）+－++－－RCuc（t）us（t）RC微分电路的构成:①RC串联电路,输出为uR(t);②电路时间常数τ<<T/2.（小与5倍以上）讨论：（2）当τ>>T/2时利用:充电:线性关系RCusuRuci在充电区间，因为τ>>T/2所以充电很慢，即

Usu（t）0T/2T3T/22T5T/2t放电:充放电过程电容电压与时间的关系都是线性关系，电容的输出波形为三角波，这时U2、U1的值相差很小RC积分电路的构成:①RC串联电路,输出为uc(t);②电路时间常数τ>>T/2.（大与5倍以上）us（t）线性Usuc（t）0T/2T3T/22T5T/2tRCusuRuci例3所示电路包括两个开关,在t<0时,两开关S1和S2均打开,t=0时开关S1闭合,t=In2时开关S2闭合,求t≥0的u(t)解所示电路可用子区间分析来处理在0≤t≤In2区间且在t≥In2区间R=1//(1/3)=0.25Ω

τ=0.25Su(∞)=0.25V+－u(t)1F+－1VS1S21Ω1/3Ω+－u(t)1F+－1V1Ωτ=1Su(0+)=0u(∞)=1V例4i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3

2

已知：电感无初始储能

t=0

时合k1,t=0.2s时合k2

求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2st>0.2s解(0<t

0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.262作业：Ｐ197／7-28,7-29(1)本节课重点:

（1）一阶电路的子区间分析法

7.5二阶电路的零输入响应uc(0+)=U0i(0+)=0已知：1.二阶电路的零输入响应RLC+-iuc特征根：特征方程：电路方程：++--uRuL2.零输入响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠阻尼U0tuc设|P2|>|P1|若|P1|>|P2|uc的值变为负的,也不会正负变化。t=0+ic=0,t=ic=0ic>0t=tm时ic

最大tU0uctm2tmuLic0<t<tmi增加,uL>0t>tmi减小,uL

<0t=2tm时uL

最大RLC+-iuciC为极值时的tm即uL=0时的

t,计算如下:由duL/dt可确定uL为极小时的t.能量转换关系RLC+-tU0uctm2tmuLic0<t<tmuc减小，i增加。t>tmuc减小，i

减小.RLC+-例电路如图所示，已知Us=10V，C=1µF，R=4kΩ，L=1H，开关S原来闭合在位置1处，在t=0时，开关由位置1接至2处。求：uc、uR、i、uL及imax。解特征根该电路属于二阶零输入响应，uc(0+)=Us

，i(0+)=2.5mA且满足,放电过程是非振荡的12s+－UsC+－+－－+ucuRuLRLi电路微分方程的通解为按初始条件确定A1和A2解得电流电阻电压电感电压电流最大值发生时刻或对应的时间值电流的最大值12s+－UsC+－+－－+ucuRuLRLi特征根为一对共轭复根δωω0

t=0时uc=U0uc零点：

t=-，2-...n-t-2-2

0U0uct-2-2

0U0uc

ic

uL零点：

t=，+，2+...n+ic零点：

t=0，，2...n，为uc极值点

ic极值点为uL零点。能量转换关系：0<t<<t<--<t<t-2-2

0U0uc

icRLC+-RLC+-RLC+-特例：R=0时等幅振荡tLC+-方波激励下的欠阻尼波形（uc(t)

）衰减系数和固有振荡频率的测量设响应波形如图:tuct1t2由于:

而峰值时

故：,

得所以

:-U1m-U2m解出：小结：定常数可推广应用于一般二阶电路电路如图，t=0时打开开关。求uc,并画出其变化曲线。解（1）

uc(0－)=25V

iL(0－)=5A特征方程为：

50P2+2500P+106=0例1.5ΩμF20Ω10Ω10Ω0.5H10050V+-uc+

-iL（2）开关打开为RLC串联电路，方程为：(3)

t0uc35525或(3)

7.6二阶电路的零状态响应和全响应1.二阶电路零状态响应uc(0－)=0,iL(0－)=0微分方程为：特解通解特解:

求通解的特征方程为；RLC+-uCiLe(t)Euc解答形式为：tucE已知：iL(0)=2Auc(0)=0求：iL,iR

。(1)列微分方程(2)求特解RLCiRiLiC50V50WμF1000.5H解2.二阶电路的全响应通解及特解的表达式与二阶电路零状态响应完全相同,只是初始状态不同.(3)求通解特征根为：P=-100

j100(4)定常数特征方程为：(5)求iR或设解答形式为：定常数RLCiRiLiC50V50WμF1000.5HRiRiC50V50W2A小结：(1)二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。(2)二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。(3)求二阶电路全响应的步骤(a)列写t>0+电路的微分方程(b)求通解(c)求特解(d)全响应=强制分量+自由分量例求所示电路i的零状态响应。

i1=i

－0.5u1=i－0.5(2－i)2=2i－2由KVL：整理得：二阶非齐次常微分方程第一步列写微分方程2-ii1+u1-0.5

u12W1/6F1Hk2W2W2Ai解第二步求通解i’特征根为：

P1=－2，P2=－6解答形式为：第三步求特解i”+u1-0.5u12W2Wi2A稳态模型由稳态模型有：i=0.5u1u1=2(2－0.5u1)i=1Au1=2第四步定常数由0+电路模型：+u1-0.5

u12W1/6F1Hk2W2W2Ai＋－作业：思考：Ｐ197／7-24本节课重点:

（1）二阶电路的零输入响应

7-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应1.单位阶跃函数

定义t

(t)01

单位阶跃函数的延迟t

(t-t0)t001t=0合闸i(t)=IsIsKu(t)KEu(t)u(t)（1）在电路中模拟开关的动作t=0合闸u(t)=E单位阶跃函数的作用（2）延迟一个函数tf(t)0tf(t)0t0（3）起始一个函数tf(t)0t0

用单位阶跃函数表示复杂的信号例1

(t)tf(t)101t0tf(t)0t0-

(t-t0)例21t1f(t)0243例41t1f(t)0例31t1f(t)0243例5t1

u(t)02已知电压u(t)的波形如图，试画出下列电压的波形。t1

u(t)0－22t1

u(t)0－11t1

u(t)01提示:

u(t－1)与u(t)的波形好象sin(x－π/2)与sinx的波形一样u(t－1)的波形比u(t)的波形滞后一个时间单位

u(t)t1021iC+–uCRuC

(0－)=0tuc1注意和的区别t0i2.一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。阶跃响应前者t>0或者t≥0+tiC0激励在t=t0

时加入，则响应从t=t0开始。iC

(t-t0)C+–uCR+-t-t0(t-t0)t0注意－t(t-t0)不要写为用阶跃函数表示左图所示的方波电流，再求iL

，并画出波形。iSiL1HLR2

01t2iS解：左图所示的方波电流，可以用两个阶跃函数表示:

iS(t)=2

(t)-2

(t-1)A例1由于是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态响应等于2

(t)和-2

(t-1)两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。（1）先求单位阶跃响应s(t)

(t)s(t)1HLR2

所以：（2）应用线性及时不变性（3）叠加，2

(t)-2

(t-1)作用的零状态响应为黄线和紫线分别表示2s(t)和-2s(t-1)。它们相加得到iL(t)波形，如红线所示iL(t)201t-2求图示电路中电流iC(t）。10k10kus+-ic100FuC(0－)=00.510t(s)us(V)0例2+-ic100FuC(0－)=05k等效5k+-ic100F叠加5k+-ic100F5k+-ic100F单位阶跃响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：用子区间分段表示为t(s)i(mA)01-0.6320.5波形0.368二阶电路的阶跃响应类似与二阶电路直流激励的零状态响应或全响应的求解

/21/

tp(t)-/2t

(t)(1)07-8一阶电路和二阶电路的冲激响应1.单位冲激函数

定义单位脉冲函数的极限单位冲激函数的延迟t

(t-t0)t00（1）

单位冲激函数的性质（1）冲激函数对时间的积分等于阶跃函数。2.

冲激函数的筛分性

同理有：例t

(t)(1)0f(t)f(0)*f(t)在t0处连续f(0)

(t)uc不是冲激函数,否则KCL不成立分二个时间段来考虑冲激响应。电容充电，方程为：(1).t在0－

→

0+间电容中的冲激电流使电容电压发生跃变例1.2.一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。单位冲激响应uC(0－)=0iCR

（t）C+-uC0冲激函数的导数是冲激偶(2).t>0+

为零输入响应（RC放电）icRC+uc－uCt0iCt(1)若冲激电流强度为A0iL不可能是冲激函数

(1).t在0－

0+间方程为：例2L+-iLR+-uL分二个时间段来考虑冲激响应。0电感上的冲激电压使电感电流发生跃变若冲激电压强度为A(2).t>0+RL放电RuLiL+－tiL0tuL单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激

(t)单位阶跃

(t)线性非时变电路有一个重要的性质:如果激励x产生响应y，那么激励将产生响