电磁场理论02教材

1.4位函数及其波动方程用势因数来解决电磁理论问题，常常是很方便的，场可由对势函数的微分得出。1.4.1矢量势的波动方程方程(3)指出，矢量B是无源的，因此可将它写成另外一个任意矢量A的旋度:

将方程(22)代入方程(1)式，得由于是无旋的，故可将它写成某一任意标量函数φ的梯度，于是或函数A和φ分别为场的矢景势和标量势。如果媒质是线性、均匀和各向同性的，利用方程(8)、(9)、(22)和(24)，能把方程(2)和(4)变换成：和方程(25)中，可认为矢量J是由两个原因引起的，一个是外加的电动势，另一个是导电媒质中的电场。后者可表示为所以将方程(25)重写为：利用矢量恒等式

（28）且使A和φ的选择满足下述洛伦兹条件方程(27)可化为：利用洛伦兹条件后，类似地可把方程(26)变换为洛伦兹条件的提出，似乎是任意的，实际上它仅是对选择矢势A和标势φ的一种限制，因为这样做有一个值得注意的好处－使得标量势和矢量势完全对称，亦即使它们与场矢量满足同样的波动方程。注意，方程(31)为非齐次波动方程，求它的满足适当边界条件的解是电磁理论在地球物理中应用的基本问题。在无源区，这是矢量A的波动方程。对于谐变场e－iωt，

由毕奥沙伐尔拉普拉斯公式：从上式可以看出，矢量势A是电性源的矢量势。矢量势A的方向与导体中感应电流的方向是一致的。1.4.2常用矢量势及它们之间的关系由A＊为磁性源，它的方向和磁流的方向是一致的。我们希望将方程(20)和(41)代入方程(2)，得到

为了解决某些问题方便，引入矢量势π和π＊，π与A对应，为电性势，π＊与A＊对应，为磁性势。在一般情况下，既有电源又有磁源(虽然下面我们并不讨沦这种情况)，场矢量可由下式引出：不含源的谐变场谢昆诺夫对称波势由可引入G：由可引入F

G和F称为谢昆诺夫对称势。常用矢量势及它们之间的关系：1.4.3含源问题对型时间的谐变场，这些方程变成：1．5TE极化波与TM极化波上一节所建立的反映矢量磁仅与电流源、矢量电位与磁流源关系的波动方程(1.4-17)及式(1.4-30)是矢量方程，在求解具体问题时，在一定坐标系中要将矢量方程转换为标量方程来求解。在某些坐标系中，由于坐标单位矢量的方向随空间坐标的变化而变化(如圆柱坐标中的径向和角向单位矢量)，并非在所有正交曲线坐标系中拉普拉斯算符都存在如下关系故矢量波动方程不能在每种坐标系中均可转化为各分量的标量方程来求解。上述波动方程是在均匀媒质中导出的，由于均匀媒质不存在界面的反射与透射，媒质中的场仅为源所激发的场－一次场。此时的矢量位与源方向一致；在分区均匀媒质中，由于界面的反射与透射作用，有源区中的矢量位除存在与源方向一致的一次场外，还存在界面反射的二次场，无源区中存在透射场，反射场与透射场的矢量位满足齐次波动方程，其方向不一定在源所指的方向上。一般情况下矢量位的方向由两个因素决定：一是源所指的方向，二是媒质变化的方向。这样，一方面由于坐标的限制，另一方面由于分区均匀媒质的限制，使得波动方程并非能在任何情况下得到解析解。

在很多边值问题中，矢量位仅有一个方向的分量，而且在空间中方向不变，我们把该方向定义为纵向。如与z轴呈轴对称的柱状模型中，轴上电偶极子源的矢量磁位仅有纵向分量Az，同样模型中磁偶极子源的矢量电位仅有Fz，它们的场分量由式(1.4-19)、式(1.4-20)和式(1.4—33)、式(1.4—34)导出，在直角坐标系下写出各分量为第二列中的μ与第一列中的复介电常数对应，两列场分量正好与式(1.2-28)所示的对偶关系吻合。观察第一列所示的电源场分量可以看出，z方向的磁场为零，若z轴为纵向，则磁场位于z轴的横向方向上，这种结构的电磁波称为横磁波(TM波)；同理第二列所示的场z方向电场分量为零，第二种极化的电磁波称为横电波(TE波)。

由式(1.4—19)和式(1.4—33)也容易看出，He⊥A，Em⊥F，若A或F只存在纵向分量，必然He或Em仅存在横向分量。对于平面波，由图1．2(b)知，平面波在纵向z方向传播时，E×H→ez，即电场和磁场相对于纵向z袖均在横向方向上，这种极化的电磁波称为横电磁波(TEM波)。由式(1．3－9)相式(1.3-10)所示的场量波动方程知，多数情况下直接求解场量非齐次波动方程是很困难的。但在有些情况下，TE波或TM波不仅仅只含纵向方向的矢量磁位或矢量电位，此时由矢量位方程出发求解边值问题也不一定方便。而有时TE波的纵向磁场或TM波的纵向电场与源容易建立标量关系或在无源区求解TE波或TM波场(如波导问题)，纵向电场或纵向磁场又能从波动方程中分离出来(如柱坐标或直角坐标系中存在()。在这些情况下，常常直接求解纵向场所满足的波动方程，而后再由纵向场分量导出其他横向场分量。

下面将导出由纵向场表示横向场的关系式。若媒质中无源时，由式(1.l-24)和式(1.1-5)得时谐无源麦克斯韦方程:

1．7齐次标量波动方程的解求解电磁场边值问题时，在无源区的二次场满足齐次波动方程；在合源区，反射场也满足齐次波动方程，因此，解齐次波动方程是必不可少的一环。综上所述，各种情况下总回避不了求解下列齐次标量波动方程：

第二章均匀媒质中的源在分区均匀媒质中求解电磁场的边值问题时，在有源区内需求解非齐次波动方程的特解项，该特解即为源产生的一次场，相当于源区媒质无限均匀大时源所产生的场，故在均匀媒质中求解电磁源产生的场(响应)是必不可少的一个环节。值得说明的是，均匀媒质无边界，源产生的一次场无反射，只要源一定，不管采用什么坐标系，空间一固定点之场是相同的。在不同坐标系中，将一次场(或位)展开为各种函数，目的仅仅是为了与解齐次方程所得本征函数匹配而已。2．1标量格林函数不管电磁源的形体是线、面还是点，均可看成无穷多个点源之组合，因此，点源是一基本单元。一个点源的强度是单位强度的倍数，若单位点源在空间某点产生的场或位为已知函数，由于波动力程是线性的，强度为J的源所产生之场或位是单位点源的场或位函数之J倍。单位点源产生的场或位即为格林函数。对于联系标量位与电荷源的波动方程或者可转化为标量波动方程的矢量位方程(矢量位与矢量源的方向一致，矢量波动方程可以转换为标量方程时)，联系单位源与响应(位)之时空关系的函数是一标量，即标量格林函数。任一点源的体密度需用狄拉克函数表达，因此，位于坐标原点之单位标量点源之格林函数应满足的波动方程为

在直角坐标系中利用空间域与波数域之间的三维傅里叶变换关系

故得标量格林函数之象函数为下面对式〔2．1—6)求傅里叶逆变换求出格林函数的象原函数——空间域表达形式。为方便起见，分步求二维逆变换。这里先对纵向z方向求逆变换有

2.2非齐次波动方程的积分解2.2.1谐和源波动方程的解

2．3张量格林函数在某些电磁场边值问题中，直接求解联系场源关系的非齐次场量波动方程会方便一些。由于场与源的方向不同，故联系单位幅度的源与场的关系不再是一标量，而是一张量，称为张量格林函数，也叫并矢格林函数。在均匀媒质中存在一电流源时，通过矢量磁位和标量电位求电场强度的过程，建立电场与源的相互关系，可引出并矢格林函数。2.4均匀媒质中的点源2.4.1导电媒质中的直流点电流源在无限大导电媒质中存在一供电点电极，点电极上供直流电流I0这种静态场可出标量电位来描述，标量电位满足伯松方程。由式(1.4-41)和式(1.4-42)知，源位于坐标原点时有：与标量格林函数所满足的方程(2.1-1)对比知，此标量电位为格林函数(2.1-17)在k＝0时的一种特殊情况，故有：若电流源位于r’时，相应的方程及解为

在不同边值问题中，根据坐标系的不同，齐次方程基本解的本征函数不同，则需将式(2.4-2)或式(2.4-4)所示的一次电位展开为相应的本征函数，以便于使用边界条件进行场匹配。点电流源的电场强度可由电位的负梯度得到2.4.2时谐电偶极子源当坐标原点处置一z方向的电偶极子源，偶极子强度为Idl，由式(1.2-10)知，偶极子源的电流密度为代入矢量位波动方程(1.4-17)有在无限大媒质中，矢量位的方向与源方向一致。将式(2.4-7)代入式(2.2-4)，利用δ函数挑选性得若偶极子源位于r’处，则矢量位为在圆柱或球坐标系中求解边值问题时，可将式(2．4—9)或式(2．4—10)展成柱函数或球函数。由式(1．4—19)和式(1．4—20)可求出电磁场由式(2．4—14)看出，电偶极子所指方向的磁场为零，故相对于电偶极子方向而言，所产生的场为横磁波(TM波)。若将式(2．4—7)代入式(2．3—6)所示的张量格林函数，经过一系列简化，同样可得到式(2．4—13)所示的电场表达式。若源点位于r’，则分别用代替式(2．4—13)和式(2．4—14)中的r、x、y和z即可。

2.4.3时谐磁偶极子源在坐标原点处，x－y平面内有一小电流环(环面积S、通电流I)时，可用磁矩为m＝IS的磁偶极子点源代表。由式(1．2—11)知等效磁流密度为由式(1.4—33)和式(1.4—34)可得到电磁场表达式

用对偶性原理(1.2—28)，对式(2.4—13)和式(2.4—14)作如下等效代换也可由电偶极子场得到磁偶极子场(2.4—18)和式(2.4—19)，即由式(2.4—18)看出，电场的z方向分量为零，即磁偶极子产生的波相对其方向而言是横电波(TE波)。若源位于r’，和电偶极子类似，进行适当坐标平移即可得矢量位或电磁场。纵观式(2.4—2)、式(2.4—9)和式(2.4—17)知，点源产生的值之等幅面是以源为球心的球面，交变电磁波的等相位面也为球面，故点源所产生的波为球面波。

2.5时谐线电流源设无限长导线上通电流I，取直角坐标的z轴沿导线方向，这种线电流源产生的矢量磁位仅含z方向分量，可看成无穷多个电偶极子(长度dl＝dz’)的叠加。求解矢量位的方法之一是将式(2.4-10)对源点坐标z’从一∞到十∞积分；方法之二是利用二维格林函数求解。这里采用第二种方法，整个模型呈二维空间变化，即，此时的电流源可表示为

对式(2.5-3)两端取二维傅里叶变换并利用其微分性质，注意到狄拉克函数的傅里叶变换为1，故可将微分方程(2.5-3)转换为代数方程所以有

A仅有z方向分量，但又不随z坐标变化，故A的散度为零，由式(1.4-20)知其电场仅有z方向分量，且为由式(1.4-19)得到磁场强度为

由此可见，磁场无z方向分量，即相对于线源方向，场为TM极化波。由式(2.5—11)至(2.5—13)均可看出，线源激发的电磁波是以线源为轴线的柱面波，即在半径ρ一定的圆柱面上，位和场的幅值和相位相等。2.6回线电流源对于一闭合电流环，环上通电流I＝I0eiωt，在垂直于电流环所在平面的垂直方向上(z方向)电场强度为零，即这种源所激发的电磁波为TE波。闭合电流环可切成任意多段，每段可看成环平面上的一电偶极子源，故可将环电流源看成无穷多个电偶被子源的组合，其电磁场为无穷多个电偶极子场的叠加；另外环上任一面积元又可看成一垂直磁偶极子，其场也可由无穷多个磁偶被子的场叠加而成。本节首先根据上述叠加的思路求出圆环电流源的场和位，再根据垂直磁偶板子的矢量位函数写出任意形状电流环矢量位的积分表达式，进而详细导出矩形环的矢量位函数。

2.6.1圆形回线源对于一半径为ρ0的圆形回线，回线位于x—y平面内且中心位于坐标原点，则模型对称于z轴，即。如图2.1所示，电流环上位于r0＝(ρ0，φ0)处、弧长为dl的一段电流源可看成一电偶极子，该电偶极子源垂直于φ0方位角上的子舞面，指向eφ0方向；

该电偶极子在任意一点r＝(ρ，φ)处所产生的矢量磁位dA也指向eφ0方向，根据式(2.4—10)知其矢量磁位的大小为这里有下面求整个电流环的贡献。先利用贝塞尔函数恒等关系式

由于电流环所产生的电磁波是相对于垂直于环平面方向上的TE波，我们