2023海淀第一学期高三数学期末练习答案(一)

海淀区2022—2023学年第一学期期末练习

高三数学

参考答案

一、选择题

题目12345678910

答案DADBCBCADB

二、填空题

(11)(-,0)(12)-8

2

(14)>=±屆；(1,2](15)①②④

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

(16)(本小题13分)

-TT

解：(I)/(X)的解析式为/(x)=sin(2x+—),

6

单调递增区间为k兀-二"+']/eZ).

36

(II)由(I)可知/(3)=sin(28+巴)=丄，

62

因为0＜8〈兀，

所以四＜28+二＜2兀+二.

666

所以28+2=処.

66

即3」.

3

由余弦定理得从=巒+/-26TCCOSB.

BP12=a2+c2-oc.

即12=(a+c)2-3ac.

即12=36-3ac.

即ac=8.

所以S^c=；.csinB=273.

（17）（本小题14分）

解：（I）取PD中点N,连接AN,MN.

在△PC。中，M,N分别为PC,尸。的中点，所以仞VDC,MN=-DC,

2

因为A5DC,AB=-DC,

2

所以4?MN,AB=MN.

所以四边形A8MV为平行四边形，因此助0AN.

又因为平面EAZ）,ANu平面八山，

所以8M，平面

（II）选择条件①

因为戸£）丄平面43cD,AQ,OCu平面43a）,

所以丄A£>,PDLDC.又因为A。丄DC,

所以建立如图空间直角坐标系。-孙z.

因为叨丄平面ABCD,u平面ABCD,

所以PZ）丄3D.

所以在Rt/XPBO中，PD=\,PB=6可得80=应.

在RtA4BO中，AD=\,BD=O，所以钻=1,又因为AB=goC,所以3c=2.

由题意得50,0,0),41,0,0),8(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,l),M(0,l,-),

2

所以。A=(l,0,0),DM=(0,1,1),£>B=(1,1,0).

设平面BDM的法向量为“=(x,Mz),

y+*0,

n•DM=0,

所以即《

n-DB=0,x+y=0.

令y=T,则x=l,z=2.

所以平面BDM的一个法向量为n=（1,-1⑵.

易知DA为平面PDM的一个法向量.

疋…„.n-DA1在

所以cos<ZM>=-------------=—j=—=—.

\n\-\DA\76-16

因为二面角P—DM-3为钝角，所以二面角的余弦值为-".

选择条件②

因为PZ)丄平面A8CD,AD,OCu平面A8CD,所以电＞丄AO,PDLDC,又因为

ADLDC,所以建立如图空间直角坐标系。一孙z.

取8的中点£,连接8E.

因为ABDC,AB=-DC,所以ABDE,AB=DE,

2

又因为AO丄。C,所以四边形ABED为矩形.

在△BCD中，因为8。丄BC,所以8£=丄。C.

2

又因为4?=丄。C,所以AB=5E.

2

所以四边形A3EZ)为正方形，即/W=AO=1,DC=2.

由题意得以0,0,0),A(l,0,0),8(1/,0),C(0,2,0),P(0,0,l),M(0,l,丄),

2

所以0A=(1,0,0),DM=(0,1,i),08=(1,1,0).

设平面BDW的法向量为〃=(x,y,z),

(f1

n-DM=0,y+—z=0,

所以即2

[〃£>B=0,[x+y=o.

令y=7,则x=l,z=2.

所以平面BDM的一个法向量为〃=(l-k2).

易知DA为平面PDM的一个法向量.

「…〜…DA1展

所以cos<n,DA>=--------=—r=—=——.

\n\-\DA\V6-16

因为二面角为钝角，所以二面角P—DW-3的余弦值为-".

6

(18)(本小题14分)

解：(I)由图可知，亩产量是400kg的概率约为0.005x50=0.25,亩产量是450kg的概率约为

0.01x50=0.5,亩产量是500kg的概率约为0.005x50=0.25.

估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率为0.25x0.6=0.15.

(II)X的所有可能取值为960,1080,1200,1350,1500.

P(X=960)=0.25x0.4=0.1,P(X=1080)=0.5x0.4=0.2,

尸(X=1200)=0.25x0.4+0.25x0.6=0.1+0.15=0.25,

P(X=1350)=0.5x0.6=0.3,P(X=1500)=0.25x0.6=0.15.

X的分布列为

X9601080120013501500

P0.10.20.250.30.15

£(X)=960x0.1+1080x0.2+1200x0.25+1350x0.3+1500x0.15=1242.

(3)建议农科所推广该项技术改良.

设增产前每亩冬小麦产量为Jkg,增产后每亩冬小麦产量为〃kg,则〃=J+50.

设增产后的每亩冬小麦总价格为丫元，

由分析可知E(y)=E(X)+50X(2.4X0.4+3X0.6)

所以增产的50kg会产生增加的收益是50x(2.4x04+3x0.6)=138>125,故建议农科所推广该项

技术改良.

19.(本小题小分)

(I)解法一：0是/(x)的极小值点，

理由如下：

当x>0时，ln(x+l)>0,所以/(x)=xln(x+l)>0.

当一1cxe0时，0<x+l<l,可知ln(x+l)<0,所以/'(x)=xln(x+l)>0.

而/(0)=0,

由极小值点的定义知，0是/(x)的极小值点.

(I)解法二：0是，(x)的极小值点，

理由如下：

对函数求导得/'(x)=ln(x+l)+—匚.

X+1

Y

当x>0时，ln(x+l)>0,----->0,

x+1

所以八力>0.

_Y

当一l<x<0时，0<x+l<l,可知ln(x+l)<0,——<0,

x+1

所以f'(x)<0.

所以f(x)在区间(0,a)上单调递增,在区间(-1,0)上单调递减.

所以0是/(x)的极小值点.

2

f(x)1]n(x+D1ln(x+l)+1x-x

(II)证明：斗>+]等价于<丿>_丄、+1,即--------2-------->0.

x2x2x

记g(x)=ln(x+1)+；无2—x(x>—1).

求导得g'(x)=，+x-l=E.

X+lX+1

当x>-l时易知g<x)NO,所以函数g(x)在区间(-1,+00)上单调递增.

又g(0)=0，

可得当x>0时，g(x)>g(O)=O,

即当x>0时，不等式ln(x+l)+丄V—%〉0成立.

2

即当x>0时，不等式驾U-L+1成立.

厂2

当一1vxv0时，g(x)<^(0)=0,

即当一1vxvO时，不等式1。(工+1)+丄/一工<0成立.

2

即当—l<x<0时，不等式要>」x+l成立.

x22

综合上述，不等式雪〉-L+1成立.

x2

(20)(本小题15分)

解：(I)将点P(-2,l),。(20,0)坐标带入椭圆E的方程，得

-41,

二+不=1，

b解得“2=8,从=2.

A=1

1矿

•>2

所以椭圆£的方程为'+二=1.

82

(II)若直线/斜率不存在，即直线/为x=0时，A和用点重合，3和N点重合，分别为椭圆

的上下顶点(0,夜),(0,-夜),此时|GM|“GN|=(2-0)x(2+夜)=2,符合题意.

若直线/斜率存在，设直线4J的方程为y=fcr+2,A(芭,乂),8(马,必)(占二-2且七片-2).

iy=kx+2

联立方程2得，(4公+1)/+16依+8=0.

----F—=1

A=(16*)2-32(4k2+1)=32(4*2-1)>0,k2>-,即%>丄或&<-L

422

—16k8

…=环宀=访.

kPA=^-,所以直线弘的方程为y=2二l(x+2)+l,取x=0得朋(0,2(扌—1)+1).

%1+2%]+2x,+2

同理可得N(0,2(%-1)+I).

由|GW|“GN|=2得2(y'-1)+1-2-2(>--1)+1-2=2,

X)+2x2+2

2(依+1)2(乩+1)।

即1---------------1=2・

%+2X2+2

所以(2%-1)2』——工=2,

玉+2“2+2

即3-I)2----------學------=2.

x1x2+2(百+%)+4

8

Qk-I)24.——二2,

832k.

----------------------F4

41c2+14k2+\

即j(24T)2i,

\4k2-Sk+3\

因为丄，

2

即％=1.

经检验符合题意，此时直线/为y=x+2.

综上所述，直线/的方程为x=0或y=x+2.

(21)(本小题15分)

解：(I)1,2,1和3,1.

(II)S(Q)的最小值为7.

首先证明5(Q)》7：由题知C,；N6得〃W4.

①当〃=4时，应有数列中各项均不相同，此时有5(。纭1+2+3+4=10；

②当〃=5时，由于数列中各项必有不同的数，进而有S(Q)N6.若S(Q)=6,满足上述要求

的数列中有四项为1,一项为2,此时7(。)44,不符：

③当”26时，同②可得S(Q)27.

综上所述，有S(Q)》7