2022-2023学年江苏省徐州市高一年级下册第三次月考数学模拟卷（含解析）

2022-2023学年江苏省徐州市高一下册第三次月考数学模拟卷

(含解析)

一、单选题(共40分)

1.已知向量。=(2,4),"=(l,x),且a〃b,则x=()

A.2B.-2C.8D.-8

【正确答案】A

【分析】由平面向量共线的坐标表示可求得X的值.

【详解】由已知可得2x=4,解得x=2.

故选：A.

2.函数/(x)=lgx+x-2的零点所在区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【正确答案】B

【分析】

根据零点的存在性定理，即可判断出结果.

【详解】因为/⑴=lgl+l-2=T<0,/(2)=lg2+2-2=lg2>0,

根据零点存在性定理可得，函数/(x)在区间(1,2)内有零点；

又函数/(x)=lgx+x—2显然单调递增，所以/(x)有唯一零点.

故选：B.

3.设复数Z满足z"=l+2i(i为虚数单位)，则复数Z的虚部是()

A.2B.-2C.1D.-1

【正确答案】D

【分析】由z∙i=l+2i求出复数z,从而可求出其虚部.

【详解】由z∙i=l+2i,得z=9=ɪ⅛^=-(i+2i2)=2-i,

所以复数Z的虚部是为-1,

故选：D

4.已知a,仅是两个不重合的平面，/,加是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A.若/〃”,/〃£,则〃?Il夕

B.若α〃夕,加UaJu夕，则加〃/

C.若m_Lα,/_L〃？，则/〃ɑ

口.若加〃0£,加<=4,0£口a=/,则〃2〃/

【正确答案】D

【分析】由空间线面位置关系的判定及性质依次判断即可.

【详解】对于A,若/〃见/〃£,则〃夕或机UA,A错误;对于B,若α〃夕,加uα,/u4，

则加〃/或/,，〃异面，B错误；

对于C,若加lα,/，机，则/〃α或/Uα,C错误；对于D,由线面平行的性质知正确.

故选：D.

.（兀、1

5.若SinaH—=—,则sin20=（）

<4J3

771-√∑D巫

A.--B.—c

99'3'~T~

【正确答案】A

/兀、兀

【分析】结合二倍角公式、诱导公式，由2。=2a+------即可转化求值

4J2

【详解】

.C.!"C兀、πlJπ}-l+2sin2[a+=-∖+-=.

sin2a=sιn2a+-——=-cos2a+—=

Ll4j2jI4j（4）99

故选：A

6.在“8。中，。为BC的中点，丽=3荏,万二=2定,功与4）交于点。就=；1而，

贝IJI=（）

A

£

∖F

【正确答案】B

,1•一3“―...,,一,,..

【分析】由已知可得AD=2AE+-AF,根据E,G,F共线可设μAE+(↑-μ)AF=AG，

/∕∈R,结合已知及平面向量的基本定理列方程组求参数值.

'I，一'‘――J''=•，•一■■一■，i

【详解】由题设，ZO=5(/8+/C)=2/E+]ZE,又χz∕E+(l-〃)4尸=ZG,/∕∈R

且就=；□万，

_________3___μ—2λ

所以〃亚+(1—〃)万=22次+—；IN,即,3,，解得＜

\—u——λ

4

故选：B.

7.已知函数/(x)=2mχ2-X—1在区间(_2,2)恰有一个零点，则机的取值范围是()

3ɪ3ɪ

8,88'8

3Jɪ3

8,88,8

【正确答案】D

【分析】利用函数零点的存在定理解决本题，要对该函数的性质进行讨论，是否为二次函数,

是否有等根等.注意分类讨论思想的运用.

【详解】解：若帆=0,则/(x)=-x-l,它的零点为一le(-2,2),故W=O符合题意.

若加k0,函数/(》)=2"吠2—》-1在区间(-2,2)恰有一个零点，则需满足:

/(-2)=0f∕(2)=0

①√•(-2”(2)<0或②l或③l

—Z<—<UU<---<Z

I4mI4m

133

解①得，V<0或OV<一;解②得，"7解集为0;解③得〃？=—；

888

综上，心的取值范围是(―H.

故选：D.

8."BC中，若48e(θ,'，SinC=SinZSinB,则tan(Z+8)的取值范围是(

)

B.D.

【正确答案】A

【分析】利用三角函数恒等变换进行化简，可得tan∕+tan8=tan∕tanB,利用基本不

等式得tanZtan824,利用两角和的正切公式表示tan(∕+8),结合以上条件即可求解

tan(4+8)的取值范围.

(乃、

【详解】;45∈0,一,Λcos√4cos5≠0,

I2j

VsinC=sinsinB,即sin(/+8)=SinAsinB,

.*.sinAcosB+cos/sinB=sinZSin8,

两边同时除以COSZCOSB,得tan4+tan3=tanAtanB,

∖∙tanA,tan5>0,

∙*∙tanZ+tan3≥2VtanAtanB，当且仅当tanA=tanB时等号成立，

∙*∙tanAtanB≥2jtan4tan8，即tanZtan8≥4，

/c、tanA+tanBtanAtanB1

tan(z√l+5)=-----------------=-----------------=------------------

1-tany4tanB1-tan√4tanBɪ_1，

tanAtanB

・；tanAtanB≥4,.*.0<-------------≤—，

tanA∙tanB4

tanZtan84

-i<______1______<_i.「4、

.∙∙3^1.,即tan(Z+8)的取值范围是一一,-1.

------------------ɪ3)

tan/∙tanB

故选：A.

二、多选题(共20分)

9.若复数Z满足(l+i)z=3+i(其中i是虚数单位)，复数Z的共辅复数为1,则()

A.∣z∣=√5B.复数Z的实部是2

C.复数Z的虚部是1D.复数三在复平面内对应的点位于

第一象限

【正确答案】ABD

【分析】根据复数的运算法则和基本概念即可逐项判断.

…人，.3+i(3+i)(l-i)4-2iC.,

［详解］(1+i)z=3+i=z=-----=-........-------=-------=2—i,z—2+i，

v71+i(l+i)(l-i)2Z—2+1,

Λ∣z∣=√5,故A正确；复数Z的实部为2,故B正确；复数Z的虚部为一1,故C错误;

复数三在复平面内对应的点为(2,1)在第一象限，故D正确.

故选：ABD.

10.在AN8C中，角N,B,C所对的边分别为α,b,c以下说法中正确的是()

A.若4>B.则Sin/>sinB

B.若α=4,b=5,c=6,则A∕8C为锐角三角形

C.若"cos∕=bcos8,则“8。一定是等腰三角形

D.已知α=2,⅛=√6./=45。符合条件的三角形有两个

【正确答案】ABD

【分析】运用正弦定理和余弦定理对每一个选项分析计算可以求解.

【详解】对于A,VA>B,.∙.a>b,由正弦定理

abSjn√4ci

---=------,——-->∖,A,B∈(θ,Λβ),sinA>O,sinB>O,:.sinA>sinB,

sin/SinBsinBb

故A正确；

“工D、j∖zɔ∖∖-Q-+B2—C24-+5—-6.1

对于B,c>b>a,∖OB>nA,λcosCzt=--------------=--------------=—>0,

2ab2×4×58

・・・C是锐角，故/BC是锐角三角形，B正确；

对于C,acosA=bcosB,sinAcosA=sin5cosB.48∈(θ,ττ),

1.1.71

即5sin2A--sin2B,.∖2A≈2B或2/+25=肛/+8=万，

:AABC或是等腰三角形或是直角三角形，故C错误；

对于D,由正弦定理得：-ɪɪɪ,sinfi=-sinzt=-X—=—

sin/sin8a222

π1π

B=-或6=——，故D正确；

33

故选：ABD.

11.下列说法中正确的有()

∕Γrʌrr,rr.

A.对于向量2,b,c>^∖a∙b∖∙c=a∖b∙c

B.与向量Z=(LjJ)的夹角为30°的单位向量是

C.m,[为非零向量，则“存在负数4,使得/=%]”是“2.：<0”的充分不必要条件

D.“8C中，。是BC边上一点，满足丽=2而，CD=ΛAB+JUAC(Λ,JLIER)>则

%+〃=0

【正确答案】CD

【分析】对A,由向量数量积为标量即可判断；

G∙G

22

对B,设单位向量0=(x,ʃ),由COS30。=同同，x+y^l,求解即可判断:

对C,非零向量而，兀由);<ou>沌万夹角为90°<e≤180°即可判断；

对D,CD=∣CS=∣(∑β-JC),即可求出/1,〃，即可判断

/rrrrrr

【详解】对A,向量数量积为标量，故(α∙b)∙c不一定等于α∙∕∙c),故A错；

对B,设单位向量G=(X,V),则有CoS30°==>X=与,又Y?+/=],

可解得x=9∕=J.,或X=OJ=I,故与向量Z=(LG)的夹角为30。的单位向量是

Lf1'

对C,存在负数；I,使得前=4兀则风万反向，则"〃cosl80°<0,充分性成

立；当。.；<0成立，所,石夹角为90°<e≤180°,则玩,万不一定反向，必要性不成立,

故“存在负数;L，使得¢=4/'是“味∙i<0''的充分不必要条件，C对；

对D,因为丽=2丽，故8=-C8=-(Z8-∕c),故4=；,〃=—：,则力+〃=0,

33、,33

故D对；

故选：CD

12.如图，在长方体ZBa)-GA中，4B=4,BC=BB∣=2,E,F分别为棱4B,4R

的中点，则下列说法中正确的有()

B.直线C尸与4田为相交直线

C.若尸是棱C∣∑h上一点，且O√5=l,则E、C、P、尸四点共面

D.平面CEF截该长方体所得的截面可能为六边形

【正确答案】BC

【分析】结合三垂线定理即可判定A不正确；证明四边形旧田为梯形，可判定B正确;

取GA的中点M,连接4Λ∕,MC,P∕"通过证明PE//CE,即可判定C正确；确定截

面共有五边形，可判定D正确.

【详解】由题意，在正方体/8CZ）-中，因为84_L平面ZBe。，

所以。4在平面ABCD内射影为DB，

在长方形ZBCZ）中，因为ZB=4,8C=2,可得BC与CE不垂直，

结合三垂线定理可得与CE不垂直，所以A错误；

因为AxFHBC且4F≠BC,可得四边形CFAIB为梯形，

所以CR与84必相交，所以B正确；

点尸是棱GA上一点，且qp=ι,取GA的中点M,连接4",MC,PE,

因为凡尸分别是4〃和OCI的中点，所以PF/∕4M,

由四边形4"CE为平行四边形，所以PF∕/CE,所以及C,P,b四点共面，所以C正确;

由选项C可知，PRPC,CE为截面的边，截面又与平面4844及4DR4相交，

可得截面的两条边，所以截面共有五边形，所以D错误.

故选：BC.

A_ʃ-----------------.C1

三、填空题（共20分）

l+tan15o

13.求值:

l-tanl5o

【正确答案】√3

【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得;

l+tan15otan45o+tan15°

【详解】解:=tan(45o+15o)=tan60o=√3

l-tanl5ol-tan45o∙tanl5o

故√J

14.如图所示，在正方体中，异面直线ZB与Cz）所成的角为

【分析】利用几何法求解异面直线所成的角，通过做辅助线，将异面直线所成的角转化到同

一平面内两直线所成的角进行求解.

【详解】如图，连接BE、AE,由正方体的性质可知，CDI/BE且CD=BE,

故异面直线AB与CD所成的角即为/8与BE所成的角.

在A∕8E中，AB、BE、/E均为面对角线,

:∙AB=BE=AE,△ABE为等边三角形,

所以NZBE=60。，即为异面直线ZB与CO所成的角.

故答案为.60°

15.已知Zl为复数，且∣zj=2,则∣z∣+2i∣的最大值为

【正确答案】4

【分析】由题意，设z∣=α+bi(α,b∈R),得到/+/=4,则∣z∣+2i∣=亚+(一6,

利用复数的模的几何意义，即可得解.

【详解】由题意设4=α+bi(α,6eR),则4+2i=α+6i+2i=α+(b+2)i

QlZll=2,二yja2+b2-2,Wα2+⅛2=4>

即㈤的模的轨迹可理解为以(0,0)为圆心，半径为2的圆.

则归+2i∣=J/+优+2)2,可理解为求点(a,b)到点(0,-2)之间的距离，

数形结合可知，∣z∣+2i∣的最大值为4.

16.如图所示，该图由三个全等的A84D∖∕∖ACF.Z∖C3E构成，其中”)£户和A4BC都

式

为等边三角形.若。R=2,ZDAB=-,则ZB=.

【正确答案】√6+√2⅛⅛√2+√6

【分析】设4/=BO=X,在4∕8Z)中，利用正弦定理求出X的值，再利用正弦定理可求

得NB的长.

【详解】由己知VZBO丝VC4R,所以，AF=BD，设∕77=x,

2π71TC

在AZBD中，^ADB=—,NBAD=-,则/48。=一，

3124

.∕c,c.π.(ππ∖.πππ.π√6-√2

sinABAD=sin—=sin-------=sm—coscos—sm—=------------

12(34J34344

BDADXx+2

AF=X=空

由正弦定理.π,π，即灰一JΞ一√2，解得BD=

sinsɪn3

12442

BD^空XB

BDAB

由正弦定理.万.2π得AB3_32y[h+V2.

sɪn——sin——.π√6^√2

123sɪn——

124

故答案为.√6+√2

四、解答题（共70分）

17.已知复数z=(∕√-2”?-3)+(加2+∕w-2)i,(加eR).

（1）若Z>0,求加的值；

（2）若Z是纯虚数，求z∙7的值.

【正确答案】（1）W=-2

（2）4或100

【分析】（1）根据复数Z>0.可知Z为实数，列出方程，解得答案；

（2）根据Z是纯虚数，列出相应的方程或不等式，再结合共轨复数的概念以及复数的乘法

运算，求得答案.

【小问1详解】

因为Z>0,所以zeR,所以W2+ZΠ-2=O,所以m=-2或机=1.

①当加=-2时，z=5>0,符合题意；

②当ZM=I时，z=-4<0,舍去.

综上可知：m=-2.

【小问2详解】

—2m—3=0

因为Z是纯虚数，所以〈2，所以M=T或加=3,

m+m-2≠0

所以z=-2i,或Z=Ioi,

所以z∙5^=-2ix2i=4或z∙5^=10i×(-IOi)=IOO,

所以zN=4或100.

18.已知向量4=(-3,1),b=(1,-2),

(1)若一2"+6与左α+B垂直，求实数女的值；

(2)求向量£+B与石夹角的余弦值.

【正确答案】(1)攵=3；(2)正

55

L1一一

【分析】(I)求出.2α+6与左α+b的坐标，利用数量积等于。列方程即可求解.

rI*

(2)求出α+B与Z-否的坐标、(α+B)∙(”否)、,+B∣和α,利用向量夹角公式即可

求解.

_1

【详解】(1)因为向量α=(-3,1),6=(1,—2),

所以一2々+否=-2(—3,1)+(1,-2)=(7,-4),

后+加=左(一3,1)+(1,—2)=(1—3左,左一2),

若一2：+3与左G+5垂直，则(一24+B)∙(左α+B)=O,

即7(1—34)+(-4)(左一2)=0,解得：k=(；

(2)α+⅛=(-3,1)+(1,-2)=(-2,-1),

=(-3,1)-(1,-2)=(-4,3),

所以(a+B).("B)=(-4)x(-2)+3x(-l)=5,

∣α+⅛∣=∙^(-2)2+(-1)2=y/5>Ia-N=^(-4)2+32=5>

设向量Q+B与G-B夹角为。,

5√5

所以CoSg=%~ττ-4z~q

∖a-^b∖×∖a-b∖y∕5×55

所以向量Z+B与Z-B夹角的余弦值咚

19.在①b=acosC-∖———csin力；②S+c+。）S+c—。）=3hc；③，沿"_SlnC

3SInB-sinC

这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答.

记/U8C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知.

（1）求小

（2）若α=百，求A∕8C面积的取值范围.

（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【正确答案】（1）A=g

【分析】对于条件①：两边边的条件为齐次，化边为角结合三角恒等变换可解得4=g;

TT

对于条件②：边的条件为齐二次，整理条件到余弦定理的结构可解得N=;;

对于条件③：由正弦定理化角为边，整理条件到余弦定理的结构可解得N=]Tr.

【小问1详解】

（I）若选①：因为6=αcosC+立CSin/,根据正弦定理得

sin8=sinNcosC+•——sinCSinN，

3

所以Sin(N+C)=sinAcosC4——-sinCSinZ，

所以SinZCOSC+cos4sinC=sin√4cosC+JsinCsin4∙

3

则COSZSinC=——SinCSinN，因为SinZNO,sinCH°，所以

3

tan4=百，又0＜∕＜兀，所以4=g∙

若选②化简得：b-+c2-a1=bc＞则CoSZ="+厂—"-=生=:

2bc2bc2

TT

又0＜力＜兀，所以力=§.

开3尸，l,、，SinZ-SinCbɪɑ…「”。一。bL…

右选③：因为------;---=-----,根据正弦定理得-----=-----,所以

sinB-sinCα+ch—ca+c

a2-c2-b1-be∙即COS力="十二~~—ɪɪ,

2bc2

因为0＜力＜兀，所以4=1.

【小问2详解】

(2)因为Q=Λ∕J,由'=---=",则6=2sinB,c=2sinC=2sin(8+巴

sin5sinCsin60∖3

SAABCɪɪ^sinɪ=VJsinSsin+yj=VJɪsin25+ɪsinBcosB

∕√l-cos2B,√3.λ∣√3.fπ^∣,√3

=√3------------+——sin2π5o=——sin2πBo——+——,

442I6)4

.所以Sin(23-Ee1-5/

又BE

则SAABC

20.四棱锥P-NBe。中，P/，平面ZBCO,四边形ZBC。为菱形，NNQC=60°，

PA=AD=2,E为AD的中点.

（1）求证：平面PCE±平面PAD；

（2）求尸。与平面尸所成的角的正切值;

【正确答案】(1)证明见解析

(2)巫

5

【分析】(1)由平面几何知识证明CE_LN。，由线面垂直的性质定理得CE_LPN,由线

面垂直的判定定理得线面垂直，从而可得面面垂直；

(2)由(1)得NCFE是PC与平面以。所成角的平面角，求出这个直角三角形(需证明)

中两直角边长，然后可得结论.

【小问1详解】

；四边形NBCC为菱形，；.D4=Z)C,=NZOC=60°,.∙.C为等边三角形，

CA=CD,在aZDC中，E是中点，；.CE_LZZ),：PZJ_平面/8C0,

CEU平面/8CZ),二CEJ"尸N,：PZCZZ)=/,PZU平面以。，NOu平面以。，

二EC1平面PAD,

,：CEU平面PCE,：.平面PCE_L平面PAD.

【小问2详解】

,/EC1平面PAD,：.斜线PC在平面内的射影为PE,

即ZCPE是尸C与平面PAD所成角的平面角，

；尸/1.平面48。。，/OU平面Z8CQ,/.PALAD,

在RtAP∕E中，PE=JPA?+AE?=#)，在RtACE。中，CE=4CD。-ED2=下),

「EC，平面RlO,PEU平面为Q，∙∙.ECLPE,在RtACE尸中，

..,CE√15

tanZCλPdγE=——=----，

PE5

.∙.PC与平面以。所成角的正切值为巫.

5

21,已知向量α=(2cosx,sinx+V∑sine),B=(2sinx,-CoSX+ʌ/ɪeosθ).

(1)若G〃掌,求CoS(X+6)；

(2)若(9=7，函数/(x)=α%(xe[0,乃]),求/(x)的值域.

【正确答案】（1）巫；

2

C8

(2)0,—.

3

【分析】（1）根据向量共线定理的坐标形式建立方程即可求得结果;

（2）利用换元法转化成一元二次函数，即可求得结果.

【小问1详解】

解：•二向量Q=(2cosx,sinx+V∑sinθ),b=^2sinx,-cosx+V2cos0j,£〃B,

.∙.2cosxcosx+V∑cos=2sinx(sinx+V∑sin夕)

即2>∕2(