数学-吉林省辽源市田家炳高中友好学校七十六届期末联考2024届高三上学期1月期末考试试题和答案

友好学校第七十六届期末联考高三数学1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内.试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.2.若复数z=为纯虚数，则实数m的值为()A.1B.－1C.2D.－23.设函数f(x)=ln(x+a)在x=1处的切线与直线y=+1平A.-2B.2C.-1D.14.2023年7月28日、第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得BC=36m，A.72.0mB.51.0mC.50.8mA.21B.48C.75D.836.已知点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，点P(2,3)，且点M为抛物线C上任意一点，则|MF|+|MP|的最小值为()A.5B.6C.7D.8的大小关系为()8.已知三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，AB」AC,BC=2,PB」平面ABC，若球O的体积为36π,则该三棱锥的体积的最大值是()AB5CD符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是真命题的是()1”的充分不必要条件C.把y=sinx的图像向左平移个单位长度，得到的图像的解析式为y=-cosx10.如图是函数y=f(x)的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是()A.f(x)在(-2,-1)上是增函数B.f(x)在(2,4)上是减函数C.当x=-1时，f(x)取得极小值D.当x=1时，f(x)取得极大值11.已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2，抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是()A.p=412.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E是棱DD1上的动点（不包含端点则下列说法正确的是()A.若E为DD1的中点，则直线B1E//面A1BDB.三棱锥C1-B1CE的体积为定值C.直线AC与直线B1E所成角为定值()15.已知函数y=f(x)为奇函数，f(x+4)=f(x)，若当x=[0,2)时，f(x)=log1(x+a)，则2f(2023)=.切线PA，切点为A，则切线段PA长的最小值为.17.已知向量=(cosx,)，=(sinx,cos2x),xeR，设函数f(x)=..（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在[0,]上的最大值和最小值.18.在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC」平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（1）证明：AC」SB；（1）求A的大小；（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝2，求△ABC的面积.（1）求{an}的通项公式；ln.an,n为偶数n,n为奇数，求数列{bnln.an,n为偶数于M、N两点，且ΔMNF2的周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）求ΔMNF2面积的最大值.1)x，其中aeR.（1）讨论f(x)的单调性； 2e（2）设a>0，若不等式f(x) 2e友好学校第七十六届期末联考高三数学1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内.试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.【答案】B【解析】【分析】由描述法表示集合，求函数的定义域可得集合A，再由集合的交集的定义可求解.故选：B.2.若复数z=为纯虚数，则实数m的值为()A.1B.－1C.2D.－2【答案】D【解析】【分析】根据除法运算求出z，再根据纯虚数的定义可得结果.故选：D3.设函数f(x)=ln(x+a)在x=1处的切线与直线y=A-2B.2C.-1D.1.【答案】D【解析】【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求a.函数f(x)=ln(x+a)的导函数f,(x)=，+1平行，因为函数f(x)=ln(x+a)在x=1处的切线与直线+1平行，所以=，所以a=1，经验证，此时故选：D.4.2023年7月28日、第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得BC=36m，A.72.0mB.51.0mC.50.8m【答案】C【解析】【分析】在‘ABC中，由正弦定理可求AC=36，进而可得结果. 2故选：C.A.21B.48C.75D.83【答案】C【解析】【分析】设等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的求和公式求出d的值，再利用等差数列的求和公式可求得S5的值.=a+【详解】设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n(n=a+1又因为a1d故选：C.26.已知点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，点P(2,3)，且点M为抛物线C上任意一点，则|MF|+|MP|的最小值为()A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，所以=4，解得p=8，所以抛物线C的方程为：x2=16y.由抛物线的定义知：点M到点F(0,4)的距离等于点M到准线y=一4的距离，结合点P(2,3)与抛物线C的位置关系可知，|MF|+|MP|的最小值是点P(2,3)到准线y=一4的距离，故故选：C.的大小关系为()【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及导数等知识确定正确答案.【详解】f(x)=x.3x的定义域是R,f(一x)=一x.3x=一f(x)，所以f(x)是奇函数.当x>0时，f(x)=x.3x,f,(x)=3x+x.3x.ln3>0，3=f(log32)，323所以f(ln3)>f(log32)>f(log3)，即b>c>故选：B8.已知三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，AB」AC,BC=2,PB」平面ABC，若球O的体积为36π,则该三棱锥的体积的最大值是()A.B.5C.D.【答案】A【解析】【分析】将三棱锥P-ABC放入长方体内，得到PC为球直径，由基本不等式求出AB根AC<4，从而求出三棱锥的体积的最大值.【详解】因为AB」AC,BC=2，易知三角形ABC为等腰直角三角形，又PB」平面ABC，所以PB为三棱锥P-ABC的高，则可将三棱锥P-ABC放入长方体内，如图，长方体的体对角线即为外接球直径，即PC为球直径，:V=π3=36π,故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是真命题的是()A.“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件22 2πC.把y=sinx 2π【答案】ABD【解析】个单位长度，得到的图像的解析式为y=一cosx【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B，根据三角函数的变换规则及诱导公式判断C，根据余弦函数的性质判断D；由x2>1推不出x>1，所以x>1是x2>1的充分不必要条件，故A正确；故选：ABD10.如图是函数y=f(x)的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是()A.f(x)在(2,1)上是增函数B.f(x)在(2,4)上是减函数C.当x=1时，f(x)取得极小值D.当x=1时，f(x)取得极大值【答案】BC【解析】【分析】根据导数与原函数关系解决.【详解】从导函数图像可以看出函数f(x)在(一2,一1),(2,4)上为单调减函数；f(x)在(一1,2),(4,5)上为增函数，故A错B对，C对D错.故选：BC11.已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2，抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是()A.p=4【答案】AB【解析】【分析】根据双曲线的焦点即可求解抛物线的定义，即可判断A，联立双曲线方程与抛物线方程，即可求解交点坐标，利用点点距离即可求解长度，即可判断BC,由余弦定理即可判断D.【详解】由已知，双曲线右焦点F2(2,0)，即p=4，故A项正确．且抛物线方程为y2=8x.对于B项，联立双曲线与抛物线的方程〈3，|ly2整理可得．3x2-8x-3=0，解得x=3或x=-（舍去负值△F29 产PF12+PF22-F1F2272+29 产PF12+PF22-F1F2272+52-42误.故选：AB12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E是棱DD1上的动点（不包含端点则下列说法正确的是()A.若E为DD1的中点，则直线B1E//面A1BDB.三棱锥C1-B1CE的体积为定值C.直线AC与直线B1E所成角为定值()【答案】BCD【解析】【分析】若F为BB1中点，连接DF，判断DFB1E为平行四边形，结合DF八面A1BD=D判断A；由V-B1CE=VB1-C1CE，数形结合及棱锥体积公式判断B；根据正方体性质及线面垂直的判定、性质判断C；根据线面角定义求其正切值的范围判断D.【详解】A：若F为BB1中点，连接DF，又E为DD1的中点，正方体中易知DE//FB1,DE=FB1，所以DFB1E为平行四边形，则DF//B1E，而DF八面A1BD=D，显然B1E//面A1BD不成立，错；B：VC1-B1CE=VB1-C1CE，显然△C1CE的面积为定值，且B1到面C1CE的距离为定值，所以三棱锥C1-B1CE的体积为定值，对；C：由题意AC」BD且DD1」面ABCD，AC一面ABCD，则DD1」AC，BDnDD1=D，BD,DD1一面BDD1B1，则AC」面BDD1B1，而B1E一面BDD1B1，所以AC」B1E，直线AC与直线B1E所成角为定值，对；D：由上B1到面CDD1C1的距离为a，而E是棱DD1上的动点（不包含端点 BC()所以C1Ee(a,2a)，则直线B1E与面CDD1C1所成角正切值故选：BCD【答案】##60。2【解析】【分析】根据模长公式即可代入求解.【详解】由221,2故答案为：.【答案】2n1【解析】【分析】根据条件求等比数列的基本量及等比数列求和公式计算即可.【详解】设公比为q，则q>0，2323牵nn1neN*).15.已知函数y=f(x)为奇函数，f(x+4)=f(x)，若当xe[0,2)时，f(2023)=.【答案】1【解析】【分析】根据函数的周期性、奇偶性以及对数运算求得正确答案.【详解】所以f(x+4)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，又函数y=2所以f(0)=0则f(2023)=所以f(0)=0则f(2023)=22故答案为：12=4，直线l：2x+y+2=0，切线PA，切点为A，则切线段PA长的最小值为.【答案】1【解析】【分析】由已知求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理得答案.2=4的圆心坐标为M(1,1)，半径为2，如图，故要使|PA|最小，则|PM|最小，此时PM⊥l，故答案为：1.17.已知向量=(cosx,)，=(sinx,cos2x),xER，设函数f(x)=..（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在[0,]上的最大值和最小值.【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换公式和辅助角公式化简表达式即可求解；(2)求函数在给定区间内的最大值和最小值即可求解.【小问1详解】 2π所以函数的最小正周期为T==π.2【小问2详解】因为xE[0,]，所以2xE[0,π]，所以2x+E[,]，所以当2x+=即x=时函数有最大值为1，18.在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC」平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（1）证明：AC」SB；【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）取AC得中点O，得SO」AC，BO」AC，可知AC」平面SBO，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN与平面MBC的法向量，根据向量的夹角公式求解.【小问1详解】取AC得中点O，连接SO，OB，于是可知AC」平面SBO，又SB平面SBOAC」SB；------【小问2详解】∵平面SAC」平面ABC，平面SACn平面ABC=AC，SO一平面SAC，SO」AC，∴SO」平面ABC，以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系O一xyz,设=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，又=(0,0,2)为平面MBC的一个法向量，---33------：nOS=nOS即二面角N一CM3,（1）求A的大小；（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝2，求△ABC的面积.【解析】【分析】(1)先根据正弦定理化边为角，再根据诱导公式以及两角和正弦公式化简得tanA=一，即得结，利用向量的模以及向量数量积、余弦定理化简求得bc=，最后根据三角形面积公式得结果.【详解】解:（1）由正弦定理siA=即sinAcosCsinAsinC=sinBsinAsinC=cosAsinC，又Ae(0,π)，所以A=222)23bc由b+c=6，解得bc=所以ΔABC的面积SΔABC=bcsinA=xx=【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（1）求{an}的通项公式；ln.an,n为偶数nnn,nln.an,n为偶数nnn3222nn32【解析】2=2=n+n11(n之2)，两式相减化简可得数列{a为公比的等比数列，从而可求出其通项公式，ln.anln.an,n为偶数和，相加即可.【小问1详解】{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，n1n【小问2详解】ln.ln.an,n为偶数2