2021年高考数学真题试卷（天津卷）

2021年高考数学真题试卷（天津卷）

阅卷人

、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

得分

1.(2021天津)设集合力={-1,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4),贝U(XAF)UC=

)

A.{0}B.{0,1,3,5)

C.{0,1,2,4)D.{0,2,3,4}

2.(2021•天津)已知aCR,则“a>6”是“a2>36”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不允分也不必要条件

3.（2。21天津）函数、=罂的图像大致为（）

4.（2021•天津）从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数

据分为8组：［66,70）,［70,74）,…，［94,98］,并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区

间［82,86）内的影视作品数量是（)

nt/eiR*

A.20B.40C.64D.80

03

5.（2021・天津）设a=log20.3,b=log工0.4,c=O,4,则“，b<c的大小关系为（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

6.（2021・天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为竽，两个圆锥

的高之比为I..3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.37rB.4兀C.9兀D.127r

7.（2。21・天津）若2。=5-0，则〉3（）

A.-1B.Ig7C.1D.log710

8.（2021•天津）已知双曲线l（a>0,b>0）的右焦点与抛物线y2=2px（p>0）的焦点重

合，抛物线的准线交双曲线于A,8两点，交双曲钱的渐近线于C、。两点，若\CD\=y[2\AB\.则双

曲线的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.3

(COS(2TTX—27ra).

9.(2021•天津)设a€R,函数/(%)=%”,2,c,若/(%)在区间(0,+

八'(x2-2(cz4-l)x+a2+5

8)内恰有6个零点，则a的取值范围是()

A.（2，刍U（|,B.G，2）U（|,斗

C.（2,右U洋，3）D.弓，2）U洋，3）.

阅卷人

二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空

得分的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

10.（2021・天津）i是虚数单位，复数组乎=.

11.（2021•天津）在（2炉+》6的展开式中，x6的系数是.

12.（2021•天津）若斜率为遮的直线与y轴交于点4,与圆x2+（y-l）2=l相切于点8,则

|ZB|=,

13.（2021•天津）若a〉0,b>0,则］+/+b的最小值为.

14.（2021•天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方

获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为:和［，且每次活动中甲、乙猜对

65

与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为,3次活动中，甲至少

获胜2次的概率为.

15.（2021•天津）在边长为1的等边三角形43c中，O为线段3c上的动点，DE1AB且交A8于点

E.DF//AB且交AC于点F,则\2BE+~DF\的值为;（DE+DF）DA的最小值

为_________

阅卷入

三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程

成演算步骤.

得分

16.（2021•天津）在△ABC，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinA；sinB：sinC=

2：1：V2，b=\［2■

（1）求4的值；

（2）求cosC的值；

（3）求sin（2C—着）的值.

17.（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体ABCD-中，E为棱8c的中点，E为棱的

中点.

（1）求证：。/〃平面A1EC1；

（2）求直线AC.与平面&EC］所成角的正正弦值.

（3）求二面角A—41cl-E的正弦值.

18.(2021•天津)已知椭圆^|+4=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为8,离心率为等,且

\BF\=V5.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线/与椭圆有唯一的公共点与y轴的正半轴交于点N,过N与8尸垂直的直线交x轴于点

P.若MP//BF,求直线/的方程.

19.(2021•天津)己知｛an｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.［bn］是公比大于。的等比数

歹ll，b1=4，星—勿=48.

⑴求M和｛bn］的通项公式；

(2)记Cn=M6/V*.

(i)证明｛*—。2九｝是等比数列；

(ii)证明\m±l<2V2(nGN*)

k=l

20.(2021•天津)已知a>0,函数/(%)=ax—xe*.

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程：

(2)证明f(x)存在唯一的极值点

(3)若存在a,使得/(x)<a+b对任意X&R成立，求实数〃的取值范围.

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：由题意得ACB={1},则(ACB)UC={0,1,2,4}

故答案为：C

【分析】根据交集，并集的定义求解即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：当a>6时，a2>36,所以充分性成立；

当a2>36时，a<-6或a>6,所以必要性不成立，

故"a>6”是受2>36”的充分不必要条件.

故答案为：A

【分析】根据充分必要条件的定义求解即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：/(一%)=部轰=黑=/(%),则函数/(%)=黑是偶函数，排除A,C,

当XG(O,1)时,In|x|<0,x2+2>0,则f(x)<0,排除D.

故答案为：B

【分析】由函数为偶函数可排除AC,再由xe(O,1)时，f(x)<0,排除D,即可得解.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知，评分在区间［82,86)内的影视作品数量是

400x0.05x4=80.

故答案为：D

【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：：log20.3<k)g21=0,...aco

：log10.4=-log20.4=log2|>log22=1,,-.b>l

,.,0<0.4°3<0.4O=l,.*.0<c<l

a<c<b

故答案为：D

【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出a,c,b的范围即可求解.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D,

设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3：1,即AD=3BD,

3

设球的半径为R,则皿=%三解得R=2,

33

所以AB=AD+BD=4BD=4,

所以BD=1,AD=3

VCD1AB,

・・・ZCAD+ZACD=ZBCD+ZACD=90°

・・・NCAD=NBCD

又因为NADONBDC

所以△ACD^ACBD

所在I以'M诙。=前CD

:.CD=yjAD-BD=V3

,这两个圆锥的体积之和为gITxCD2x(AD+BD)=Jnx3x4=4n

故答案为：B

【分析】作出图形，求得球的半径，进而求得两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径,

再结合锥体的体积公式求解即可.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：由2。=5占=10得a=log210,b=log510,

1111

则万+万=函而+%而=62+切5=/gl0=l

故答案为：c

【分析】根据指数式与对数式的互化，结合换底公式求解即可.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：设双曲线马—马=l(a>0,b>0)与抛物线V=2pQ>0)的公共焦点为

ab

(c,0),

则抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-c

将X=-C代入/=1,得解得y=±匕，所以|/8|=他一，

又因为双曲线的渐近线为y=±t*所以|CD|=华，

所以他£=2回2,贝|jc=，5b

aa

所以a2=c2—2=%

所以双曲线的离心率为e=^=V2

故答案为：A

【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，结合离心率的定义求解即可.

9.【答案】A

【解析】【解答】解：入2-2年+1〃+22+5=0最多有2个根，

・\COS(2TTX・2兀a尸0至少有4个根，

由2加％—=£+kn,k6Z,得％=4+J+Q,kEZ

由0VA+J+aVQ得一2a_i<fc<—i

Z4LL

⑴当x<a时，当一5工一20—5〈一4时，f(x)有4个零点，即彳<。<去

当一6£—2。一*〈一5时，f(x)有5个零点，即?<a<¥；

当一7W—2a-/<-6时.，f(x)有6个零点，即导<a<竽；

(2)当xNa时,f(x)=x2-2(a+1)x+a2+5

A=4(a+1)2-4(a2+5)=8(a-2)

当a<2时,A<0,f(x)无零点；

当a=2时，A=0,f(x)有1个零点；

当a>2时，令f(a)=a2-2(a+l)a+a2+5=-2a+5X),则2<as|，此时f(x)有2个零点；

所以若a>制寸，f(x)有1个零点;

综上，要是f(x)在[(),+8)上有6个零点，则应满足

799n

<a<-<a<_

-4-411<a<13

4~或444

5-

2<a<-a2她>a<2

2=

则a的取值范围是(2,1]U(1,由

【分析】由x2-2(a+l)x+a2+5=0最多有2个根，可得cos(2兀x-2兀a尸0至少有4个根，再结合分类讨论思

想，根据x<a与x>a分类讨论两个函数零点个数情况，再综合考虑求解即可.

10.【答案】4-i

【解析】【解答】解：由题意得舞=(需?匕;)=约旦=4T

故答案为：4-i

【分析】根据复数的运算法则求解即可.

11.【答案】160

【解析】【解答】解：(2%3+1)6的展开式的通项公式是Tr+1=C式2/)6-『=26f.-8-针

令18-4r=6,得m3

所以K的系数是23霏=160

【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.

12.【答案】V3

【解析】【解答】解：设直线AB的方程为y=gx+b,则点A(0,b)

•.•直线AB与圆x2+(y-l)2=1相切

.•.与且=1，解得b=-l或b=3

所以|AC|=2

又：|BC|=1

\AB\=y/\AC\2-\BC\2=V3

故答案为：V3

【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.

13.【答案】2^2

【解析】【解答】解：•*>(),b>0

・弓+/+力？+b=介b2=2在

当且仅当:=/且崟=6,即a=b=四时等号成立

所以l+的最小值是22.

【分析1利用基本不等式求解即可.

14.【答案】I；20

【解析】【解答】解：由题意知在一次活动中，甲获胜的概率为,xg=|,

23

则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为喘x（|）x|+（|）'=翁

故答案为：|,弱

【分析】根据甲猜对乙没猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，再根据n次独立重复试验的概率求法

求解即可.

15.【答案】1；/

【解析】【解答】解：设BE=x,xe（0,j）

VAABC为边长为1的等边三角形，DEJ_AB

.•.ZBDE=30°,BD=2x,DE=V3x,DC=l-2x

,.,DF//AB

；.△DFC为边长为l-2x的等边三角形，DELDF

222

(2BE+而)=4BE+4BE-DF+DF=4x2+4x(1-2x)-cos0°+(1-2x)2=1

：.^2BE+DF=1

2

9^(DE+DF]-DA=(DE+DF]-(DE+£71)=Z5E+DF-EA

211

(V3%)+(1—2%)x(1—x)=5x2—3%4-1=5+

20

则当％=喘时，（法+而卜苏1取得最小值为分

故答案为：1,,

【分析】根据向量的数量积及向量的求模公式，再结合二次函数的最值问题求解即可.

16.【答案】（1）因为sinA：sinB：sinC=2：1：V2,由正弦定理可得a：b：c=2：1：V2，

vb—y[2,Aa—c=2;

口2+匕2_/284-2-43

（2）由余弦定理可得cosC=

2ab2x272x72-4

(3)vcosC=7,:.sinC=V1-cos2C=4,

**q

二sin2C=2sinCcosC=2x，x擀=>cos2c=2cos2c—l=2x^—1=^，

448loa

所以sin（2C—看）=sin2Ccos看一cos2csi吟=x_1x1=.

【解析】【分析】（1）根据正弦定理直接求解即可；

（2）根据余弦定理直接求解即可；

（3）根据同角三角函数的基本关系，二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可.

17.【答案】（1）以4为原点，AB,AD,A4分别为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系,

则4(0,0,0),公(0,0,2),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0)，Q(2,2,2),

。1(0,2,2)

因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E（2,1,0）,尸（1,2,0）,

所以印=(1,0,-2).&C；=(2,2,0),布=(2,L-2)

设平面AyEC-i的一个法向量为m=（%1,yx，z1），

m-A1Ci=2xi+2yl=0

则令=2则m=[2,-2,1),

m-AXE=2%i+-2zi=0

因为万F•访=2-2=0，所以，

因为DiFC平面A1EC1,所以D[F”平面A1EC1；

(2)由(1)得，宿=(2,2,2),

设直线ACr与平面&Eg所成角为6,

则sin。=|cos（m,禧）|=|-^=:|=j宣=等；

|m|-|24c1|3x2/3?

（3）由正方体的特征可得，平面AArCi的一个法向量为丽=（2,-2,0）,

丽沅_8_2/2.

则cos(DB,m)=

\DB\-\m\~3x2>/2~~

所以二面角A—AIC-^—E的正弦值为Jl-COS2（DB'，）'

【解析】【分析】（1）根据向量垂直的充要条件求得平面4EQ的一个法向量荒，再利用向量法直接求

证即可;

（2）先求出AC/再由sin。=}os<m,AC]>|求解即可;

TT

（3）先求出平面A&G的一个法向量而，再由cos<蔡,而>=苛空-结合同角三角函数的平方关

\m\-\DB\

系求解即可.

18.【答案】(1)易知点F(c,0)、8(0,b),故\BF\=Vc2+b2=a=遥，

因为椭圆的离心率为e=£=挛，故c=2,b=Va2-c2=1.

a5

因此，椭圆的方程为（+俨=1；

2

（2）设点MQo，y0）为椭圆+y=1上一点，

先证明直线MN的方程为誓+y0y=1,

—c-+yoy=1

2

联立2，消去y并整理得X-2XQX4-%0=0,4=4%o-4XQ=0

号X+俨2=d1

因此，椭圆<+y2=i在点M(Xo,y0)处的切线方程为等+y0y=l.

在直线MN的方程中，令％=0,可得y=/由题意可知y0>0,即点N（0,

直线BF的斜率为/cBF=-^=-l,所以，直线PN的方程为y=2x+^-,

DrC£,Z0

在直线PN的方程中，令y=0,可得％=一1笳，即点「（一航1，0），

y2y31

即而铲n=2和%+]=-整理可得(%o+5yo)2=°,

因为MP//BF,则kMP=kBF

所以，的=-5几，因为羽+%=6%=1，二丁。>0，故兀=络，4=一等，

所以，直线I的方程为—电工+电y=i,即x-y+V6=0.

66J

【解析】【分析】（1）先求出a值，结合a,b,c的关系求得b,从而求得椭圆的方程；

0

（2）设M（xo,yo）,可得直线1的方程5求出点P的坐标，再根据MP//BF得KMP=KBF,

求得xo,yo的值，即可得出直线1的方程

19.【答案】（1）因为｛an｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.

所以Qi+---FQ8=8%+^―x2=64，所以=1,

所以=%+2（几-1）=2几一1,nEN*;

设等比数列｛,｝的公比为q,（q>0）,

22

所以b3—b2=&iQ—bxq=4(q—Q)=48,解得q=4(负值舍去),

所以勾=biqnT=4",nWN*;

（2）（i）由题意，cn=+今=42,+京,

所以碌—C2n=（42n+式）—（4.+击）=24，

所以非一C2n工0，且厂3+2==4，

c

n-c2n2-4

所以数列｛非—C2n｝是等比数列;

即4+1_(2九一1)(2n+1)_4九2-14九2

（ii）由题意知,2n2n

Cn-c2n24"2-22-2

2

\anan+\|4n_2n__1___n

所以Jc2c2n^2-22nV2-2n422n-1

AT_\_1,2,3,,n

则乱=/+,+亳+…+袋，

两式相减得见=1+抖志+…+/-%=上等f=2-字，

所以^=4—器，

n

n

所以Z霁*户=*-序会•

【解析】【分析】(1)根据等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可；

(2)(i)运算可得以-C2n=2・43结合等比数列的定义即可得证；

(ii)利用放缩法得翳"<然，进而可得孤1岁廿<青忆1£，结合错位相减法即

C

n-C2n2-24q-C2k"2

可得证.

20.【答案】(1)/(%)=a—(x+l)ex,则f(0)=a—1，

又/(0)=0，则切线方程为y=(a—l)x,(a>0);

xx

(2)令/(%)=a_(x+l)e=0，贝Ua=(x+l)e

令g(x)=(%4-l)ex，则g(x)=(%+2)ex，

当xe(-co,-2)时，g(x)<0,g(x)单调递减；当(-2,+8)时，g(x)>0,g(x)

单调递增,

当x-oo时，g(x)V0,,g(-l)=0,当％t+8时，，g(x)>0,画出g(x)大致图像如下:

所以当Q>0时，、=。与)/=g(x)仅有一个交点，令g(m)=a,则血>一1,且f(m)=a—

g⑺=0,

当%e(-oo,m)时，a>g(x),则/(%)>0，/(x)单调递增，

当%G(m,+oo)时，a<g(x),则/(%)<0，/(%)单调递减，

x=m为/(%)的极大值点，故/(%)存在唯一的极值点；

m

(3)由(II)知/(X)max—/()，此时m>—1,

所以{/(无)-a}max=f(jn)—a=(m2-m-l)em,(m>-1),

令/i(x)=(x2—x—l)ex,(x>—1)，

若存在a,使得/(x)<a+b对任意xER成立，等价于存在xe(-1,+oo),使得h(x)Wb,即

bNh(%)min，

h(x)=(%2+x—2)ez=(x—1)(%+2)ez>x>—1,

当xe(-1,1)时，/t(x)<0，h(%)单调递减，当xc(l,+8)时，h(x)>0，/i(x)单调递

增，

所以/i(x)min=h(l)=-e,b>—e,

所以实数b的取值范围［-e,+oo).

【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可；

(2)令f(x)=O,可得a=(x+l)ex,则可化为证明y=a与y=g(x)仅有一个交点，利用导数研究y=g(x)的变

化情况，数形结合求解即可；

(3)令h(x)=(x2-x-l)ex,(x>-l),则将问题等价转化为存在xe(-l,+8),使得h(x)Wb,BPb>h(x)min,利

用导数求出h(x)的最小值即可.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：150分

客观题（占比）50.0(33.3%)

分值分布

主观题（占比）100.0(66.7%)

客观题（占比）10(50.0%)

题量分布

主观题（占比）10(50.0%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

选择题，在每小题给

出的四个选项中，只

9(45.0%)45.0(30.0%)

有一项是符合题目要

求的.

解答题，本大题共5

小题，共75分，解

答应写出文字说明，5(25.0%)75.0(50.0%)

证明过程成演算步

骤.

填空题，本大题共6

小题，每小题5分，

共30分，试题中包

6(30.0%)30.0(20.0%)

含两个空的，答对1

个的给3分，全部答

对的给5分.

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(20.0%)

2容易(55.0%)

3困难(25.0%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1频率分布直方图5.0(3.3%)4

2等比数列的前n项和15.0(10.0%)19

3二项式定理的应用5.0(3.3%)11

4奇偶函数图象的对称性5.0(3.3%)3

5复数代数形式的混合运算5.0(3.3%)10

6直线与圆的位置关系5.0(3.3%)12

7等比数列的通项公式15.0(10.0%)19

8直线与圆锥曲线的综合问题15.0(10.0%)18

9等差数列的通项公式15.0(10.0%)19

旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结

105.0(3.3%)6

构特征

11函数零点存在定理5.0(3.3%)9

12两角和与差的正弦公式14.0(9.3%)16

13相互独立事件的概率乘法公式5.0(3.3%)14

14双曲线的简单性质5.0(3.3%)8

15数列的求和15.0(10.0%)19

16正弦定理14.0(9.3%)16

17导数的几何意义16.0(10.7%)20

18向量的模5.0(3.3%)15

19指数式与对数式的互化5.0(3.3%)7

20基本不等式5.0(3.3%)13

21同角三角函数基本关系的运用14.0(9.3%)16

22余弦定理14.0(9.3%)16

23直线与圆锥曲线的关系15.0(10.0%)