2023年山东各地数学中考一模试题汇编含详解4 三角形有关证明与计算

专题04三角形有关证明与计算

一.选择题（共13小题）

1.（2023•金乡县一模）如图，已知4=N2,那么添加下列一个条件后，仍无法判定ΔABCSΔADE的是

（）

BDC

ΔΩΛ（:ABBC

A.ZC=ZEB.ZB=ZADEC.—=—-L）.-----=-----

ADALsADDE

2.（2023•东平县校级一模）如图，将ΔABC沿直线折叠，使点。与点A重合，已知AB=7,BC=6,则ΔB8

的周长为（）

上

A.12B.13C.19D.20

3.（2023•河口区校级一模）如图，点。在AABC的边AC上，添加一个条件，使得ΔAD5S∆ABC,下列不正确的

是（）

B

CDA

CBDAD

A.AB2=ADACB.ZADB=ZABCC.ZABD=NCD.----=-----

BCAB

4.（2023∙东明县一模）如图，已知Nl=N2,那么添加一个条件后,仍不能判定MBC与AADE相似的是

（）

E

BEC

nABAC

A.ZC=ZAEDB.ZB=ZDC.—=—

ADDEADAE

5.（2023•泰山区校级一模）如图，在ΔABC中，。是BC边的中点，ΛE是44C的角平分线，ALCE于点E,

连接DE.若A8=7,DE=\,则AC的长度是（）

A

C.5D.5.5

6.（2023•薄泽一模）如图，在ΔA8C中，点£>、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结£>E、EF、DF、

AE,点。是AE与小的交点，下列结论中，正确的个数是（）

①ΔDEF的周长是ΔABC周长的一半；

②AE与QE互相平分：

③如果ZBAC=90°,那么点O到四边形ADE尸四个顶点的距离相等；

④如果Afi=AC,那么点O到四边形AD砂四条边的距离相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.（2023•成武县校级一模）如图，在RtAABC中，ZC=90o,分别以点A,3为圆心，以大于'AB的长为半径画

2

弧，两弧交于点E,F,直线E尸分别交BC,43于点G,H,若AC=4,BC=S,则ΔBG"的面积为（）

8.（2023∙新泰市一模）如图，RtΔABC中，ZA=30o,NASC=90。，将RtAABC绕点台逆时针方向旋转得到△ABC,

此时恰好点C在AC上，AB交AC于点£,则ΔABE与AABC的面积之比为（）

c∙1d∙!

9.（2023•新泰市一模）如图，在ΔABC和ΔADE中，ZCAB=ZDAE=36°,AB=AC,AD=AE.连接CD,连

接BE并延长交AC,4）于点尸，G.若BE恰好平分NABC,则下列结论错误的是（）

A.ZADC=ZAEBB.CDHABC.DE=GED.BF2=CFAC

10.（2023∙天桥区一模）如图，在ΔA8C中，AB=-AC,以点C为圆心，C8长为半径画弧，交AB于点3和点£>,

再分别以点B,D为圆心，大于,8。长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交43于点E,若AE=5,BE=I,

A.3B.√10C.√∏D.

11.（2023•东阿县一模）如图，在RtAABC中，Zβ4C=90o,过点A作4W//3C,按下列方式作图：①以点C为

圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,BC于点F,G;②分别以点尸，G为圆心，大于工FG的长度为半径画

2

弧，两弧交于点”；③作射线CH交ΛB于点E,交AM于点。，若B=I:2.则丝的值为（）

12.（2023•利津县一模）将一副三角板的直角顶点重合按如图方式放置，其中8C//AE,则Hc的度数为（

)

AC

A.60oB.45oC.75oD.55o

13.（2O23∙利津县一模）如图，在RtΔABC中，NC=90。，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB

于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于IMN的长为半径画弧，两弧交于点尸，作射线ΛP交边BC于点。，

2

若C£>=4,AB=15,则AABO的面积是（）

二.填空题（共7小题）

14.（2023•东平县校级一模）如图，在AABC中，AB=10,AC=8,ZABC,NACS的平分线相交于点O,MN

过点O,且MNUBC,分别交AB、AC于点V、N.则ΔAΛfiV的周长为.

15.（2023•河口区校级一模）如图，在ΔABC中，ZC=90o.AC=BC.以点A为圆心，以任意长为半径作弧交

AB,AC于O,K两点；分别以点O,E为圆心，以大于LOE长为半径作弧，在NB4C内两弧相交于点P；作

2

射线AP交BC于点尸，过点尸作尸G_LAB,垂足为G.若AB=8cm,则ΔBFG的周长等于cm.

16.（2023•荷泽一模）如图，已知O是等边AABC边AS上的一点，现将AABC折叠，使点C与£）重合，折痕为£尸,

点E、尸分别在AC和BC上.如果AD:1）8=2:3,则CE:C户的值为.

17.（2023∙新泰市一模）如图，在RtΔABC中，NAcB=90。，CD为中线，延长C3至点E,使BE=BC,连结DE,

F为DE中点,连结郎.若AC=8,8C=6,则M的长为

B

D

18.（2023∙天桥区一模）如图，将AABC沿BC边上的中线AD平移到aAB（C的位置，已知ΔASC的面积为9,阴

影部分三角形的为4.若AA=I,则40=.

19.（2023•东阿县一模）如图，在RtΔABC中，ZC=90o,ZA=30o,AB=8,点。是边AB的中点，点P是边BC

上一动点，连接尸D,将线段PD绕点尸顺时针旋转，使点。的对应点〃落在边AC上，连接£>£>',若ΔADD为直

角三角形，则族的长为.

20.（2023∙临清市一模）如图，在A48C中，ZS=30°,将ΔA8C绕点A顺时针旋转到MOE的位置，点E恰好落

在边BC上，且49//BC,则NC的度数为.

21.（2023•泰山区校级一模）如图，在ΔABC中，4）平分NBAC交BC于点£>,尸为AD上一点，且班'=3E>.BF

的延长线交AC于点E.

(1)求证：AB-AD=AF-AC↑

(2)若Nfi4C=60。，45=4,AC=6,求£)尸的长.

AA

22.（2023•滕州市一模）如图，在等边三角形ABC中，点M为ΛB边上任意一点，延长BC至点N,使CTV=AM,

连接Λ∕N交AC于点尸，例〃_1_4。于点”.

（1）求证：MP=NP；

（2）若AB=α,求线段P〃的长（结果用含”的代数式表示）.

23.（2023•荷泽一模）如图,在RtAABC中，ZB=90o,CDHAB,QEj_AC于点E,且CE=AB.求证：XCED=MBC.

24.（2023•郸城县一模）已知：如图，点A、D、C、B在同一直线上，ABHDE,NB=NE,BC=EF.求证:

AD=CF.

25.（2023•新泰市一模）如图，点P在ΔA5C的外部,连结AP、BP,在ΔABC的外部分别作Zl=ZBAC,/2=NABP，

连结PQ.

（1）求证：AC-AP=AB-AQ-.

（2）判断NPQA与NACB的数量关系，并说明理由.

专题04三角形有关证明与计算

一.选择题（共13小题）

1.（2023•金乡县一模）如图，已知Nl=∕2,那么添加下列一个条件后，仍无法判定Δ4BCSAM>E的是（）

ABACCABBC

A.NC=NEB.ZB=ZADEL).=

'^AD~~∖EADDE

【答案】D

【分析】先根据Nl=N2求出Zfi4C=NfME,再根据相似三角形的判定方法解答.

【详解】解：N1=N2,

.-.ADAE=ABAC,

A、添加NC=NE,可用两角法判定ΔAβCsA4QE,故本选项错误;

B、添加NS=NAQE,可用两角法判定ΔABCsAM>E,故本选项错误;

C、添加丝=生，可用两边及其夹角法判定AABCSA4DE,故本选项错误;

ADAE

。、添加任=生，不能判定ΔABCSΔADE,故本选项正确：

ADDE

故选：D.

2.（2023•东平县校级一模）如图，将ΔA8C沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知A8=7,BC=6,则MQ

的周长为（）

A.12B.13C.19D.20

【答案】B

【分析】利用翻折变换的性质得出AD=CD,进而利用A∕）+8=A8得出即可.

【详解】解：由折叠可知，AD=CD,

AB=7,BC=6,

.∙.ΔβCD的周长=BC+BD+CD=BC++AD=3C+AB=7+6=13.

故选：B.

3.（2023•河口区校级一模）如图，点。在AABC的边AC上，添加一个条件，使得ΔAZ>3S∆ABC,下列不正确的

是（）

B

CDA

A.AB2=AD-ACB.ZADB=ZABCC.ZABD=ZCD.—=—

BCAB

【答案】D

【分析】利用相似三角形的判定依次判断可求解.

【详解】解：A、若Afi2=4）∙AC,则空=生，

ADAB

又ZA=ZA,

.∙.AADB^ΔABC,故选项A不符合题意，

B、若ZADB=ZABC,且ZA=/4,则ΔAD3S∆ABC,故选项3不符合题意，

C、若NASZ）=∕C,且/4=/4,则ΔADBSΔABC,故选项C不符合题意，

D、若些=22,无法证明∆AZ）BSA4BC,故选项。不符合题意,

BCAB

故选：D.

4.（2023•东明县一模）如图，已知N1=N2,那么添加一个条件后,仍不能判定MBC与AADE相似的是（）

厂ABBCABAC

A.ZC=ZAEDB.ZB=ZDC*-γλD.-----=-----

ADDEADAE

【答案】C

【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案.

【详解】解：Nl=N2

.-.ADAE=ZBAC

.∙,A,B,。都可判定ΔABCsA4£>E

选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似,

故选：C.

5.（2023•泰山区校级一模）如图，在ΔABC中，。是BC边的中点，AE是N54C的角平分线，AEjLCE于点E,

连接£）E.若AS=7,DE=I,则AC的长度是（）

A.4B.4.5C.5D.5.5

【答案】C

【分析】延长CE,交Λβ于点通过ASA证明ΔE"^ΔE4C,根据全等三角形的性质得到AF=AC,EF=EC,

根据三角形中位线定理得出BF=2,即可得出结果.

【详解】解：延长CE,交A3于点F∙

AE平分NBAC,AEA,CE,

.∙.ZEAF=ZEAC,ZAEF=ZAEC,

在ΔE4F与ΔE4C中，

ZAEF=NEAC

AE=AE,

ZAEF=ZAEC

:.AEAF≈AEAC(ASA),

:.AF=AC,EF=EC,

又•。是Bc中点，

..BD=CD,

.•.DE是ΔBCF的中位线，

.∙.BF=2DE=2.

.-.AC=AF=AB-BF=7-2=5

故选：C.

6.（2023•黄泽一模）如图，在ΔABC中，点。、E、产分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、

AE,点O是AE与8'的交点，下列结论中，正确的个数是（）

①ΔDEF的周长是ΔABC周长的一半；

②ΛE与小互相平分；

③如果NS4C=90。，那么点O到四边形45E尸四个顶点的距离相等；

④如果AB=AC,那么点O到四边形ADf尸四条边的距离相等.

BEC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】①根据三角形中位线定理即可解决问题；

②根据三角形中位线定理证明四边形4DEF是平行四边形，进而可以解决问题；

③证明四边形ADE尸是矩形，进而可以解决问题；

④证明四边形ADEF是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题.

【详解】解：①点。、E、尸分别为边回、BC、AC的中点，

ΛEF=­AB,DF=-BC,DE=-AC,

222

:.EF+DF+DE=^（AB+BC+AC）,

.∙.ΔDE尸的周长是A48C周长的一半，故①正确；

②点D、E、『分别为边45、BC、AC的中点，

.∙.DEHAC,DFHHBC,

：.四边形4）历是平行四边形，

.∙.AE与OF互相平分，故②正确；

③∙ZBAC=90°,四边形4DE尸是平行四边形，

四边形ADEF是矩形，

..AE^DF,OA=OE=OD=OF,

，点。到四边形ADEF四个顶点的距离相等，故③正确；

④AB=AC,

.-.AD=AF,

四边形ADE尸是平行四边形，

，四边形是菱形，

:.AE,是菱形两组对角的平分线，

.∙.点O到四边形AZ）EF四条边的距离相等，故④正确.

综上所述：正确的是①②③④，共4个，

故选：D.

7.（2023•成武县校级一模）如图，在RtAABC中，ZC=90o,分别以点A,3为圆心，以大于LAB的长为半径画

2

弧，两弧交于点E,F,直线E尸分别交BC,43于点G,H,若AC=4,BC=S,则ΔBG"的面积为（）

A.4B.5C.10D.16

【答案】B

【分析】利用勾股定理求出43,解直角三角形求出G”，可得结论.

【详解】解：ZC=90o,AC=4,BC=S,

：.AB=yjAC2+BC2=√42+82=4√5

由作图可知，EF垂直平分线段AB,

AH=BH=2后,GH=BHtanB=yβ,

:.ABGH的面积=LB"∙G"='*2GX√5=5.

22

故选：B.

8.（2023∙新泰市一模）如图，RtΔABC中，NA=30。，NASC=90。，将RtΔABC绕点3逆时针方向旋转得到△,

此时恰好点C在A。上，AB交AC于点£,则ΔAβE与ΔAδC的面积之比为（）

【答案】D

【分析】由旋转的性质得出BC=BC,ZACB=ZA'Cfi=60°,则ΔfiCCr是等边三角形，ZCBC=60°,得出

LAFa

ZBE4=90。，设CE'=α,则BE=Gα,AE=3a,求出——=-,可求出答案.

AC4

【详解】解：ZA=30。，ZABC=90。，

.-.ZACS=60°,

将RtΔABC绕点B逆时针方向旋转得到△A1BC,

:.BC=BC,ZACB=ZACB=60°,

.∙.ΔfiCC'是等边三角形，

.∙.NC8C'=60°,

.∙.ZABA'=60。，

.∙.ZBE4=90o,

设CE∙=a,

在RtΔCBE中，ZABE=30°,

BC=ICE=Ia9

在RtΔΛBE中,

.∙.ZA=30°,

:.AC=2BC=4a,

:.AE=AC-BE=3a，

CE1

.,.-_-_-__—―,

AE3

AE3

.•.____—_―,

AC4

.∙.ΔAβE与AABC的面积之比为一.

9.（2023•新泰市一模）如图，在ΔABC和ΔADE中，^CAB=ADAE=3Cf,AB=AC,AD^AE.连接CE>,连

接破并延长交AC,Ar）于点F,G.若砥恰好平分NA8C,则下列结论错误的是（）

A.ZADC=ZAEBB.CDHABC.DE=GED.BF1=CFAC

【答案】C

【分析】根据题意得出N∕MC=NE4B，用边角边定理证明ΔDAC=ΔE4fi,从而得出ZMQ=NAfB；

根据平分线的性质得出角之间的关系：NOCA=NEBA=36。=NeAB=36。，再根据平行线的判定可得出CDHAB-.

先假设DE=GE,根据等边对等角及三角形的内角和推出各角之间的关系，得到NAEG≠NE4B+NABE与三角形

的外角性质产生矛盾，从而推出假设不成立；

【详解】解：①ZCAB=ZDAE=36°,

：.ZCAB-ZCAE=NDAE-ZCAE,即ZDAC=ZEAB,

AD=AE

在Δβ4C和ΔE4β中有：<NDAC=NEAB,

AC=AB

.∙.ΔDAC≡ΔEAβ(5AS),

.-.ZADC=ZAEB,

故A选项不符合题意：

②ZCAB=ZDAE=^36°,

ZACB=ZABC=(180o-36o)÷2=72o,

平分ZABC,

:.ZABE=ZCBE=36°,

由①可知NDCA=NESA=36。，NCAB=36。，

.-.CD//AB(内错角相等，两直线平行)，

故8选项不符合题意；

③假设DE=GE,则ZDGE=ZAL>E=72°,ZDEG=180o-2×72°=36°,

.∙.ZAEG=ZAED-NDEG=72°-36°=36°,

ZABE=36。，NAEG是AABE的一个外角，

.∙.ZAEG=ZEAB+ZABE

而事实上NAEGXNE4B+ZABE,

.∙.假设不成立，

故C选项符合题意；

④∙ZFAB=ZFBA=36°,

.∙.ZA∕¾=180o-2×36°=108°,

二在ZVSB中有"=更二ɪ,

AB2

∙.ZCBF=36°,ZFCB=12°,

ZBFC=IT,

.,士CF∖[s_1

.∙.在IsBFC中有：=-----，

BF2

^BF2=ABCF,

ABBF

AB=AC,

.-.BF2=ACCF,

故。选项不符合题意.

故选：C.

10.(2023•天桥区一模)如图，在ΔABC中，AB=AC,以点C为圆心，C3长为半径画弧，交AB于点8和点£>,

再分别以点B,。为圆心，大于L长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=S,BE=I,

2

则Ee的长度为（)

A.3B.√10C.√MD.

【答案】C

【分析】根据作图可知CE,AB,由已知条件可知AC=6,根据勾股定理，可得EC的长.

【详解】解：根据作图可知CELA8,

AE=S,BE=I,

.*.AB=6，

AB=AC,

.∙.AC=6,

根据勾股定理，得EC=，AdE2=旧.

故选：C.

11.（2023•东阿县一模）如图，在RtΔABC中，ZBAC=90°,过点A作AA/〃3C,按下列方式作图：①以点C为

圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,BC于点、F,G;②分别以点尸，G为圆心，大于LFG的长度为半径画

2

弧，两弧交于点”；③作射线C”交ΛB于点E,交AM于点。，若AE∙.EB=1∙.2.则丝的值为（）

【答案】D

【分析】根据基本作图方法得出8平分NAc3,结合角平分线的性质以及已知得出EK:£B=1:2,进而利用特殊

角的三角函数值得出答案.

【详解】解：过点E作EKLBC于点K,

根据图中尺规作图可得Co平分ZACB,

Zfi4C=90°,

.'.EK=AE9

又AE:EB=I:2,

.∙.EK:EB=I:2,

:.NB=30。，

.∙.ZACβ=60o,

AMHBC,

:.ZADC=ΛDCB,

，ZADC=ZACD,

:.AD=AC,ZACD=-ZACB=30°

29

12∙（2023∙利津县一模）将一副三角板的直角顶点重合按如图方式放置，其中8C//AE,则Nr的度数为（

A.60°B.45°C.75oD.55°

【答案】C

【分析】依据平行线的性质，即可得到NBCE=4=30。，再根据三角形外角的性质得到NZWC=NB+NBCW,计

算即可.

【详解】解：BC//AE,

.∙.NBCE=NE=30。，

/8=45。，

.∙.ZT>FC=ZB+ZBCE=45o+30o=75o.

故选：C.

13.（2023•利津县一模）如图，在RtAABC中，ZC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB

于点Λ7,N,再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,

2

若CD=4,AB=I5,则AAfiD的面积是（）

A.15B.30C.45D.60

【答案】B

【分析】判断出"是NBAC的平分线，过点。作小，AB于£,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得

DE=CD,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.

【详解】解：由题意得AP是N54C的平分线，过点。作DELAB于K,

又NC=90°,

..DE=CD,

.∙.ΔAβZ）的面积=,AB∙DE='x15x4=30.

22

二.填空题（共7小题）

14.（2023•东平县校级一模）如图，在AABC中，AB=10,AC=8,ZABC,NACS的平分线相交于点O,MN

过点O,旦.MN//BC,分别交AB、AC于点M、N.则ΔAΛZN的周长为.

【分析】由在ΔASC中，NABC与NACB的平分线相交于点O,过点。作MN//8C,易证得ΔβOM与ACON是等

腰三角形，继而可得ΔAΛ7N的周长等于/W+AC.

【详解】解：在ΔABC中，ZABC,NAeB的平分线相交于点O,

.∙.ZABO=NOBC,

MN//BC,

.∖AMOB=AOBC,

.∙.ZABO=ΛMOB,

.-.BM=OM,

同理CV=ON,

.∙.ΔAM∕V的周长是：AM+NM+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=10+8=1S.

故答案为：18.

15.（2023•河口区校级一模）如图，在ΔASC中，NC=90。，AC=BC.以点A为圆心，以任意长为半径作弧交

AB,AC于O,E两点；分别以点O,E为圆心，以大于L£>£长为半径作弧，在NBAC内两弧相交于点尸；作

2

射线A尸交BC于点F,过点尸作尸GJ_A8,垂足为G.若AB=8α”,则AfikG的周长

等于Ctn.

【答案】8.

【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出AC=AG,即可得出答案.

【详解】解：在AABC中，

∙,ZC=90o,

:.FC-LAC,

FG.LAB,

由作图方法可得：AF平分NΛ4C,

,∖ZBAF=ZCAF,FC=FG,

在RtΔACF和RtΔAGF中,

{AF=AF

[FC=FG'

:.RtΔABD=RtAAED（HL）,

AC=AG,

AC=BC,

・•.AG=BCf

.∙.ABFG的周长=GF+BF+BG=CF+BF+BG=BC+BG=AG+BG=AB=Scm.

故答案为：8.

16∙（2023∙荷泽一模）如图，已知。是等边AABC边4?上的一点，现将AABC折叠，使点C与。重合，折痕为石尸,

点、E、F分别在AC和BC上.如果4):DB=2:3,则CE:CF的值为

【答案】7:8.

【分析】根据题意证明ΔAZ)ES∆BFD,设4)=2X,CE=DE=a,CF=DF=h,QB=3x,可得ΛB=5x=AC=BC,

所以AE=5x—α,BF=5x-b,所以3=变型=2解得α=更χ,进而可以解决问题.

b3x5x-b8

【详解】解：如图，连接上，DF,

ISEFC与ΔEFD关于EF对称，

：.NEDF=NECF=60。,EC=ED,FC=FD,

ZBDF+ZEDF=ZBDE=ZA+ZDEA,

NaF=NA=60。，

..ZBDF=ZDEA,

:.^ADEc^ΔBFD，

设AZ)=2x,CE=DE=a,CF=DF=b,

AD:BD=2:3,

.∙.DB=3x,

.∖AB=5x=AC=BCf

.∖AE=5x-a,BF=5x-h，

ΔAβE<^ΔBfD,

.EDEAAD

~DF~~DB~~BF1

a5x-a2x

..—=-------=--------,

b3xSx-b

由前两项得，30r=h(5x-a),

,3ax

.,.b=-------,

5x-a

由后两项得，(5x-α)(5x-8)=6χ2,

/.5x(5X-d)-b(5x-d)=6x2,

/.5x(5X-a)-3ax=6x2,

19

.∙.a=­X，

8

a5x-a7

-=-------=—.

∕?3x8

.∙.CE:CF=7:8.

故答案为：7:8.

17.（2023∙新泰市一模）如图，在RtΔABC中，NACe=90。，CD为中线，延长CB至点E,使BE=BC,连结DE,

/为Z）E中点，连结BE.若AC=8,3C=6,则BF的长为.

【答案】2.5.

【分析】利用勾股定理求得他=10;然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得S的长度；结合题意

知线段所是ACDE的中位线，则BP=ICO.

2

【详解】解：.∙在RtAABC中，NACB=90。，AC=8,BC=6,

:.AB=JAC2+BC2=√82+62=10.

又Q为中线，

:.CD=-AB=5.

2

F为DE中煎,BE=BC即点3是EC的中点，

班'是NCDE的中位线，W∖BF=-CD=2.5.

2

故答案为2.5.

18.（2023∙天桥区一模）如图，将AABC沿BC边上的中线45平移到aAB（C的位置，已知AABC的面积为9,阴

影部分三角形的为4.若A4=1,则Wo=.

B'

【答案】2.

【分析】由SM（C=9，S..=4且AD为BC边的中线知5上='皿=2，SMBD=2ABC=根据△

DAE^ADAB,利用相似三角形面积的比等于相似比的平方列式求解可得.

【详解】解：如图，

SMBC=9、S/所=4，且4）为BC边的中线，

_1__1_9

•∙SA'DE=5SA'EF=2，SetABD=3SilABC=

将AABC沿BC边上的中线AD平移得到aA'B'C,

:.AE//AB,

：.ΔDA!E‹^ΔDAB,

24

则(色K=S皿A'D、.=-=

,即（∙---------)99-

ADAzD+1-

SSIMII2

7

解得AO=2或4。=-1（舍）,

故答案为：2.

19.（2023•东阿县一模）如图，在RtΔABC中，ZC=90o,NA=30。，45=8,点。是边Afi的中点，点P是边BC

上一动点，连接产。，将线段Pr）绕点P顺时针旋转，使点。的对应点/7落在边AC上，连接。£>',若AADU为直

角三角形，则BP的长为

3

【分析】分两种情况讨论,由直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出DH的长，由矩形的性质和锐角三角函数

可求解.

【详解】解：ZC=90o,ZA=30o,AB=S,

.∙.BC=4,

・点。是边AB的中点,

.∖AD=BD^4,

如图，当NAQz）=90。时,过点P作于H,

B

D

ZA=30o,

.∙.DD'=-AD=2,

2

将线段P3绕点P顺时针旋转，使点D的对应点Iy落在边ACl.,

.-.DP=DfP,

PHLDty,

.∙.DH=DH=∖,

■：NC=ΛPHD'=ZCiyH=琳,

.∙.四边形Ps'〃是矩形，

.∙.cp=ιyH=i,

.∙.BP=3,

如图，当NADD=90。时，过点P作于〃，PGLDB于G,

C

.∙・丽考,

将线段P。绕点P顺时针旋转，使点D的对应点。落在边AC±,

:.DP=DP,

PHLDD,

.∙.D'H=DH=—,

3

∙.ZPGD=APHD=ZBDH=90°,

∙∙.四边形PHDG是矩形，

.∙.HD=PG=—,

3

N8=60°,

..DPG√3

PB2

4

：.PB=一,

3

故答案为：3或

3

20.（2023•临清市一模）如图，在AABC中，/8=30。，将Δ48C绕点A顺时针旋转到ΔADE的位置，点E恰好落

在边BC上，且AD//BC,则NC的度数为.

【分析】由旋转的性质得到A£=AC,ZDAB-ACAE,AD=ZB,根据等腰三角形的性质得到NAEC=NC,根

据平行线的性质即可得到结论.

【详解】解：由旋转的性质得AE=AC,ZDAB=ZCAE,ZD=ZB,

ZB=30°,

/.ZO=30°,

AD//BC,

:.ZDAB=ZB=30°,

.-.ZCAE=30°,

AE=AC,

—若",

故答案为：75°.

≡.解答题（共5小题）

21.（2023•泰山区校级一模）如图，在AABC中，4λ平分NSAC交BC于点。，F为A£>上一点，且班'=3D.BF

的延长线交AC于点E.

(1)求证：AB-AD=AF-AC;

(2)若44C=60。，AB=4,AC=6,求£)尸的长.

【分析】（1）证ΔAFBS∆AZ>C即可

(2)作8〃_LAD于〃，作CV_LA£>于N,贝IJBH=JAB=2,CN=LAC=3,再证ABMAACVD即可.

22

【详解】(1)证明：AO平分NS4C,

ZBAF=ZDAC,

又；BF=BD,

.-.ZBFD=AFDB,

.-.ZAFB=ZADC,

.∙.ΛAFB^ΛADC，

AFAB

.∙.--------=---------♦

ADAC

.∖ABAD=AF-AC;

(2)解：作于”，作CTV_LAD于N,贝lj8”=4A8=2,CN=-AC=3,

22

：.AH=√3BH=2√3,AN=辰N=34,

：.HN=B

NBDH=ZCDN,

..耶HD^ACND,

,HDBH2

DΛF^GV^3,

5

又BF=BD,BHLDF,

4√3

:.D