2022-2023学年北京市顺义区高一年级上册期末质量监测数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年北京市顺义区高一上册期末质量监测数学模拟试题

(含解析)

一、单选题

I.已知集合A={l,2},B={2,3,4},则AB=()

A.{1,2}B.{2,3}C.{2}D.{3,4}

【答案】C

【分析】根据交集的概念，直接求解，即可得出结果.

【详解】因为A={l,2},5={2,3,4},所以AC8={2}.

故选：C.

2.已知函数"x)=log3(x-2),那么/(x)的定义域是()

A.{x∣Λ>0}B.{Λ∣x<2}

C.{x∣x*2}D.[x∖x>2]

【答案】D

【分析】根据真数大于0求解可得.

【详解】由x-2>()解得x>2,

所以函数/(x)的定义域为{x∣x>2}.

故选：D

3.命题“WxwR,/>2”的否定为()

A.3x∈R,X2≤2B.3x∈R,JV2>2

C.VxeR,x2≤2D.3xgR,X2≤2

【答案】A

【分析】根据全称量词命题的否定形式直接判断可得.

【详解】全称量词命题的否定为特称量词命题，

所以TXeR,W>2的否定为ΞreR,Y≤2.

故选：A

4.下列函数中，在区间(0,+8)上是减函数的是()

A.y=Iog3xB.y=4x

C.y=3xD.y-—x2

【答案】D

【分析】由解析式直接得到函数的单调性，选出正确答案.

【详解】y=iog3》在(。,+8)上单调递增，A错误；

y=√7在(0,+8)上单调递增，B错误；

J=3'在(0,+8)上单调递增，C错误：

卜=-^在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，D正确.

故选：D

5.已知函数"x)=e”,+4x-4.在下列区间中，包含/(x)零点的是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】A

【分析】依次求出“0)，/⑴,/(2)，”3)的符号，由零点存在定理判断即可.

【详解】7(0)=g-4<0J(l)=l>0J⑵=e+4>0,∕(3)=e2+8>0,由零点存在定理可知，包含“X)零

点的是(0,l)∙

故选：A

6.己知”=g3,6=2'=(；］，则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】由对数运算直接求出a=-IvO,由y=2'为增函数可得0<c<'即可判断.

【详解】O=Iogzg=-IvO,由y=2*为增函数可知0<2-忘<2《，即a<0<c</?.

故选：B

7.已知a>b,贝∣Jc>d是a+c∙>力+4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由不等式的可加性可以直接推出α+c>h+d;反之，可以赋值验证c>d不成立.

【详解】已知若c>d,由不等式的可加性，则α+c>>+d成立；

已知〃>力，若α+c>b+d成立，则c>d不一定成立，例如，令。=Io,b=l,c=09d=∖,a+c=lθ,

b+d=2,满足ɑ>",a+c>b+d,(Se∙vd.

所以c>d是。+c"+d的充分不必要条件.

故选：A.

8.若函数〃x)=sin(2x-?J的图象关于直线χ=f对称，则r的值可以是(

)

ππ

B.cD.

T∙≡~2

【答案】C

【分析】令2x-1JT=]TT+E∕∈Z,然后对Z赋值可得.

【详解】由2X-E=5+E,%∈Z,WX=⅞+⅞Λ∈Z

32122

5Jr

取4=0可得X='.

12

故选：C

9.已知/(x)=2χ2一(α-l)χ+b(”,6∈R),且存在6>e(使得/(COSe)=f(cos(。一兀))，则”的

值是()

A.0B.1C.2D.-1

【答案】B

【分析】利用诱导公式得到了(cos。)="YOSe),代入函数解析式即可得到2g-l)cos6=0,从而

求出”的值.

【详解】解：因为存在de(g,?使得"cos6)=∕(cos(e-兀)),

即存在θ∈'^f《J使得/(cos6,)=/(YoSO)，

即2cos?6一(Q-I)COS夕+h=2cos2e+(α—I)COSe+Z?,

即2(α-l)cos6=0,

因为0e,∙∣,∣∙),所以COSoe(0,1],

所以a—1=0,所以α=l.

故选：B

二、解答题

10.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇

形制作而成.设制作扇子的扇形面积为5,圆面中剩下部分的面积为邑，当今=去1=0.618时，扇

面看上去形状较为美观.那么，此时制作扇子的扇形圆心角约为()

C5兀3兀C2π

A.πB.—C.—D.一

643

【答案】C

【分析】设扇子的扇形的圆心角为冈，圆面中剩下部分的圆心角为鬼,半径为厂，根据扇形的面积

公式得到e=空4,再由q+%=2π,求出名，即可得解.

【详解】解：设扇子的扇形的圆心角为四，圆面中剩下部分的圆心角为a?,半径为『

1J

则卷=产-=与^0∙618,即与1%,

邑//22-

又al+α2=2π,

县lɑ,+α,=2*

2"

故%=焉=M-I卜，

所以α∣=与ɪɑ?=(3-有)w,α,=(3-√5)×180o≈137.5o≈^；

故选：C.

11.已知函数/(x)=√Γ与定义域为集合A,集合8={x∣2<x<9}.

⑴求集合4

(2)求AUB,∂κβ.

【答案】(1)[3,-)；

(2)(2,+∞),(→o,2][9,+∞).

【分析】(1)定义域满足x-320即可；

(2)按定义直接进行并集、补集运算即可

【详解】（1）由己知得，A={xlx-3N0},.∙.A=[3,y）;

(2)B=(2,9),.∙.AuB=(2,yo),43=(γo,2][9,M).

lnx,1<%<e,“一

12.己知函数/(X)=其中，≈2.71828

-X2+2x+2,x≤l.e

⑴求〃e)与〃-1)的值;

(2)求/(x)的最大值.

【答案】(l)f(e)=IJ(T)=-L

(2)3

【分析】(1)根据分段函数的解析式可求出结果；

(2)利用函数的单调性分段求出最大值，再比较可得结果.

【详解】(1)/(e)=Ine=I,

/(-1)=-(-1)2+2∙(-l)+2=-l.

(2)当l<x≤e时,/(x)=InX为增函数，/(x)πm=∕(e)=l,

当x41时，/(x)=-f+2x+2=-(x-iy+3为增函数，/(x)maχ=/(1)=3,

因为3>1,所以/(x)的最大值为3.

13.己知函数"x)=2sin(2x+e)(-∙∣<夕满足"O)=

⑴求。的值；

(2)求函数/(x)的单调递增区间.

【答案】(呜

(2)——+kπ,-+kπ(keZ)

''1212v,

【分析】(1)根据/(O)=6代入计算可得；

(2)由(1)可得/(x)的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.

【详解】(1)解：因为/(x)=2sin(2x+e)且/(0)=6,

所以/(0)=2sins=G,即sine=#,又4所以S=5∙

(2)解：由⑴可得〃x)=2sin(2x+1

令一二+2kπ≤2x+2≤二+2Zπ(k∈Z),解得一2+E≤x≤-^-+Λπ(⅛∈Z),

2321212

Sσrττ

所以函数的单调递增区间为--+E,R+E(⅛∈Z).

14.在平面直角坐标系XOy中，角α的顶点与原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，终边与单位

圆交于第一象限的点唱y

(1)求％的值;

将角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转角后与单位圆交于点，再从条件①、条

(2)a0βQ(Λ2,%)

件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求&的值.

了2

Φ^=∣;②4=兀；③£=日.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

3

【答案】(Iq

(2)若选①，则&•=-］；若选②，则&=］；若选③，则

x∙y3%,4X23

【分析】(1)根据点尸(1,yj为单位圆上位于第一象限的点，直接求解即可；

(2)根据三角函数的定义，先得到Sina=cosα=∣,sin(α+夕)=%,cos(αr+/?)=x2；再结合

所选条件，利用诱导公式，即可求解.

【详解】(I)(I)因为角α的终边与单位圆交于第一象限的点p(%yj,

所以∙H+*=ι,解得％=(；

Jl>0

(2)(2)由(1)根据三角函数的定义可得，sinc=∙∣,cosa=∣,sin(α+∕)=%,cos(<z+⑶=刍；

若选条件①/

cosa_4

-sina3

若选条件②夕=兀,

Vsin(α+兀)

则匹o=T一^；---si-n-c-r=一3

X2COS卬+兀)-cosα<4

若选条件③夕=号,

3π-

sin2

一CoSa4

则&=—---------=——

ɪ2COS3πsina3

2

15.悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；

如横跨深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为

悬链线.这类悬链线对应的函数表达式为/(x)="e'+加々aS是非零常数，无理数e=2∙71828).

(1)当α=l,6=-l时，判断了(x)的奇偶性并说明理由；

(2)如果/(x)为R上的单调函数，请写出一组符合条件的值；

(3)如果/(x)的最小值为2,求α+Z>的最小值.

【答案】(1)奇函数，理由见解析；

(2)a=l,b=-∖(αbWO均可)

(3)2

【分析】(1)由奇偶函数的定义判断即可；

(2)为R上的单调函数，则必=0或y="e*,y=加T单调性相同即可，结合指数函数单调性

判断即可；

(3)当他WO时:/(x)单调无最小值，再结合均值不等式分别讨论。>0">0、”<0,6<0时是否

有最小值，即可得“、b的关系式，从而进一步求α+b的最小值.

【详解】(1)/(x)为奇函数.理由如下：

当α=l,6=-l时，/(x)=e'-e^x,XeR,；/(-x)=eτ-e*=-∕(x),为奇函数.

(2)..∙∕(x)为R上的单调函数，则必=O或y="e',>=从7单调性相同即可，故必WO.

一组符合条件的”,方值为α=L6=-1(αbWO均可).

(3)f(x)的最小值为2,由(2)得当必WO时，/(x)单调无最小值，故必>0.

当α>0,方>0时，〃司=沈,+处92力1厌-*=2而，当且仅当e?，=—时取等号，且当必=1时,

/(x)的最小值为2,此时〃+人≥2√^=2,当且仅当Q=h=l时取等号；

当“<0,Z?<0时，/(χ)=-(-ɑev-be~x)≤-2^-∞Λ∙(-⅛e^v)=2∖[ab,无最小值，不合题意.

综上，a+6的最小值为2.

16.已知A是非空数集，如果对任意x,yeA,⅞∣5Wx+yeA,xyeA,则称A是封闭集.

⑴判断集合3={O},C={-1,O,1}是否为封闭集，并说明理由；

(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由：

命题P：若非空集合A，4是封闭集，则474也是封闭集；

命题4：若非空集合A，4是封闭集，且ACa≠0,则ACA也是封闭集；

(3)若非空集合A是封闭集合，且AxR,R为全体实数集，求证：aA不是封闭集.

【答案】⑴集合3={()},。={-1,(),1}都是封闭集，理由见解析；

(2)命题。为假命题，命题q为真命题，理由见解析；

(3)见解析.

【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可：

(2)对命题P举反例A={x|x=2&,AreZ},4={x|x=34,&eZ}说明即可；

对于命题4：设“为e(4c4),由4,&是封闭集，可得α+力G(AC&),Me(ACA2),从而判断为

正确；

(3)根据题意，令A=Q,只需证明∖Q不是封闭集即可，取AiQ中的±0即可证明.

【详解】(1)解：对于集合B={0},因为0+0=0e3,OxO=OeB,

所以B={0}是封闭集；

对于集合C={T,0,l},因为-1+O=-1∈C,-IxO=OeC,-1+1=OeC,-l×l=-1∈C,

0+l=l∈C,0×l=0∈C,

所以集合c={-1,0,1}是封闭集；

⑵解:对命题P：4∙A={x∖x=2k,keZ},A2={x∖x=3k,keZ],

则集合A，4是封闭集,如A={0L2},A2={0,3},但A□4={0,-2,3}不是封闭集，故错误;

对于命题心设a,〃e(Ac&),则有a∕eA,又因为集合A是封闭集,

所以α+beA∣,“匕eA,

同理可得α+beA2,"eA2,

所以α+Z>s(A∣nA,),a⅛∈(Alnλ2),

所以ACA2是封闭集，故正确；

(3)证明：因为非空集合A是封闭集合，且A≠R,

所以物≠0,R4≠R,

假设ðkA是封闭集，

由(2)的命题夕可知：若非空集合儿,人是封闭集，且ACaH0,则ACA2也是封闭集,

又因为Ac&4)=0,

所以OA不是封闭集.

得证.

三、双空题

4ττ

17.计算：(D∣og∣62=；(2)cos—=.

【答案】[##0.25-L##-0.5

42

【分析】(1)由对数运算性质即可求.

(2)由诱导公式即可求.

111

4

【详解】(1)Iog162=Iog1616=-Iog1616=-；

故答案为：ɪ；-ɪ.

四、填空题

18.不等式-2V+χ≤-3的解集是.

【答案】{χ∣χ≥∣或X≤T}

【分析】将不等式变形为(2x-3)(x+l)≥0,即可求出不等式的解集.

【详解】解：不等式一2∕+x≤-3,即2f-X-3≥0,即(2x-3)(x+l)≥0,

3

解得x≥;或χ≤-1,

2

3

所以不等式的解集为{X∣尤*5或x≤T}.

故答案为：{χ∣χ≥∣或X≤-1}

19.函数y=2sin(3x)的最小正周期是.

【答案】y

【分析】直接由周期公式得解.

rr

)π)

【详解】函数y=2sin(3x)的最小正周期是：T=~=y

2

故填：-π

3

【点睛】本题主要考查了y=Asin(s+0)+B的周期公式，属于基础题.

20.A、B、C三个物体同时从同一点出发向同向而行，位移>关于时间X(X>0)的函数关系式分别为

x

力=2-∖,yβ=log,x,无=1，则下列结论中，所有正确结论的序号是.

①当x>l时，A总走在最前面；

②当()<xvl时，C总走在最前面；

③当x>4时，B一定走在C前面.

【答案】①②

【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论.

x

【详解】在同一坐标系内画出yA=2-l,yB=log,x,yc=的函数图象，

当x>1时，指数函数以=2*-1的增长速度>幕函数为=」的增长速度>对数函数无=%的增长速

度,

2

当冗=1时，yι=2-l=l,γc=I=1，故当x>l时，A总走在最前面，①正确;

当OVXVl时，由图象可知：C总走在最前面，②正确；

2,

当x=4时，%=log24=2,ʃɛ=4=2

ɪ

,

当X=16时，yβ=Jog216=4,yc=16^=4

由于'基函数y,=X；的增长速度>对数函数为=1的增长速度,

故4<x<16时，8走在C前面，

当x>16时，B走在C后面，③错误.

故答案为：①②

21.下表是某班10个学生的一次测试成绩，对单科成绩分别评等级:

学生学号12345678910

数学成绩140136136135134133128127124m

语文成绩10211()Ill126102134979598n

在这10名学生中，己知数学成绩为“A等”的有8人，语文成绩为“A等”的有7人，数学