相交线（单元教学设计）大单元教学人教版七年级数学下册

5.1相交线(单元教学设计)

一、【单元目标】

通过观察现实生活中的图片，了解相交线的相关概念，包括对顶角、邻补角、垂线和“三

线八角”的概念认识与拓展，形成对知识点的全面认识，并促进学生思维的发展：

(1)构造生活中的具体情境，让学生通过实例归纳总结出对顶角和邻补角的概念和性

质；掌握垂线和垂线段的概念，同时理解点到直线的距离；同时通过线段的位置关系理解“三

线八角”的概念，并能正确识别图形中出现的同位角、内错角和同旁内角；学会从生活实际

抽象出具体的概念；

(2)通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生

的数学抽象素养，进一步发展了学生的类比推理素养；

(3)通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑

推理素养；

(4)在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转

化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；

(5)通过观察图片，提高学生的观察事物的能力，同时激发学生的学习兴趣，提升学

生的人文素养；

二、【单元知识结构框架】

‘对顶角、邻补角

垂线

相交线＜(同位角

三线八角｛内错角

、(同旁内角

三、【学情分析】

1.认知基础

本节内容是本章的基础，同时也是理解角的关键；在小学阶段我们就已经学习了角的概

念，对于角的大小和计算有一定的了解，但本节内容拓展了角的概念，丰富了对角的理解;

2.认知障碍

学生在理解对顶角、邻补角和垂线的相关概念时，往往比较直观，对概念的理解和把握

比较准确，但涉及到''三线八角”问题时容易混淆同位角、内错角和同旁内角的概念，主要

在于对概念的深入理解不够，缺乏举一反三的能力；

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约3课时

教学重点：对顶角、邻补角的概念，垂线和垂线段的概念与表示；同位角、内错角和

同旁内角的概念；

教学难点：点到直线的距离和垂线的性质；“三线八角”的识别与应用；

五、【教学问题诊断分析】

5.1.1对顶角、邻补角概念

问题1：同学们，你们看这座宏伟的大桥，它的两端有很多斜拉的平行钢索，桥的侧面

有许多相交钢索组成的图案；围棋棋盘的纵线相互平行，横线相互平行，纵线和横线相交.这

些都给我们以相交线、平行线的形象.在我们生活中，蕴涵着大量的相交线和平行线.那么

两条直线相交形成哪些角？这些角又有什么特征？

【破解方法】通过身边熟悉的环境场景，引发学生的思考，掌握直线相交形成的对顶角

和邻补角；掌握对顶角相等，邻补角互补的性质；

问题2：下列图形中/1与N2互为对顶角的是（）

ARCD

【破解方法】判断对顶角只看两点：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的

两边的反向延长线.

【解析】观察NI与/2的位置特征，只有C中Nl和N2同时满足有公共顶点，且/1

的两边是22的两边的反向延长线.故选C.

问题3：如图所示，直线/8和切相交所成的四个角中，Nl的邻补角是

2

【破解方法】邻补角的定义包含了两层含义：相邻且互补.但需要注意的是：互为邻补

角的两个角一定互补，但互补的角不一定是邻补角.

【解析】根据邻补角的概念判断：有一个公共顶点、一条公共边，另一边互为延长线.Z

1和42、Nl和N4都满足有一个公共顶点和一条公共边,另一边互为延长线,故为邻补角.故

答案为/2和N4.

问题4：如图，直线46、6®相交于点0,若NBOg42°,如平分NC施；求的度

数.

7E、

co∖d

【破解方法】解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找

出已知角和未知角之间的数量关系.

【解析】由对顶角相等得/加C=NaM=42°.:小平■货匕CoE,：,匕COE=22AOC=

84°.由邻补角的性质得/〃应'=180°-ZCQf=180°-84°=96°.

5.1.2垂线的概念与性质

问题5：如图，已知点。在直线/8上，于点0,若/1=150°,则/3的度数为

()

【破解方法】两条直线垂直时，其夹角为90°；由一个角是90°也能得到这个角的两

条边是互相垂直的.

【解析】先根据邻补角关系求出/2=180°-150°=30°,再由CaOO得出NCa=

90°,最后由互余关系求出N3=90°-Z2=90o-30°=60°.故选D.

问题6：(1)如图①，过点尸画47的垂线；

⑵如图②，过点。分别画如、如的垂线;

⑶如图③，过点/1画比的垂线.

图①图②图③

【破解方法】垂线的画法需要三步完成:一落:让三角板的一条直角边落在已知直线上，

使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿

此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.

【解析】分别根据垂线的定义作出相应的垂线即可.

解：如图所示.

困①困⑵图翁）

问题7：如图，是一条河，C是河边Æ?外一点.现欲用水管从河边将水引到。处,

请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由.

A--------------------B

【破解方法】在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间,

线段最短”和“垂线段最短”来解决.

【解析】根据垂线的性质可解，即过。作皿力员根据“垂线段最短”可得以最短.

解：如图所示，沿四铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短.

ς

A=L=B

5.1.3同位角、内错角和同旁内角的概念

问题8：如图，/1和/2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？Zl

和23是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？

【破解方法】①同位角中的“同”字有两层含义：一同是指两角在截线的同旁，二同是

指它们在被截两直线同方向；②在表述“三线八角”中某种位置关系的角时，可用以下方法：

“NX和NX是直线X和直线X被直线X所截形成的X角”.

【解析】识别同位角要弄清哪两条直线被哪一条直线所截.也就是说，在辨别这些角之

前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线.

解：/1和N2是直线跃火被直线Λ?所截形成的同位角，/1和/3是直线力氏CD

被直线防所截形成的同位角.

问题9：如图，下列说法错误的是（）

C

1

A.//与/6是同旁内角

B.N3与Nl是同旁内角

C./2与N3是内错角

D./1与/2是同位角

【破解方法】在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必

有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即

为被截的线.同位角的边构成“F”型，内错角的边构成“Z”型，同旁内角的边构成“U”

型.

【解析】根据同位角、内错角、同旁内角的基本模型判断.A中与N8形成“U”型，

是同旁内角；B中N3与NI形成“U”型，是同旁内角；C中N2与N3形成“Z”型，是内

错角；D中NI与/2是邻补角，该选项说法错误.故选D.

六、【教学成果自我检测】

1.课前预习

设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.

1.三条直线相交于一点，形成（）对顶角

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】两条直线相交于一点，形成两对对顶角，把三条直线相交于一点，拆开成三种两条

直线相交于一点的情况，再判断对顶角的对数.

【详解】解：三条直线相交于一点，拆开成三种两条直线相交于一点的情况，

因为两条直线相交于一点，形成两对对顶角，

所以三条直线相交于一点，有3个两对对顶角，共6对对顶角.

故选：D.

【点睛】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共

边的两个角.

2.NI的对顶角是N2,N2的邻补角是N3,若/3=50。，则Nl的度数是（）

A.40oB.50oC.130oD.50°或130°

【答案】C

【分析】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解.

【详解】解：∙.∙N2的邻补角是N3,∠3=50o,

/./2=130。，

的对顶角是N2,

Zl=130o,

故选：C.

【点睛】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解决本题的根据是熟记对顶角、邻补角

的定义.

3.如图，下列说法错误的是（）.

A.NI与N4是同旁内角B.Nl与/3是内错角

C.N2与/4是内错角D.N2与N3是同位角

【答案】D

【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，可得答案.

【详解】解；A、Nl与N4是同旁内角，故此选项不符合题意；

B、Nl与N3是内错角，故此选项不符合题意；

C、N2与N4是内错角，故此选项不符合题意；

D、N2与N3是同旁内角，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角

或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定.在复杂的图形中判别三类角时，应

从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在

同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“F”形，内错角的边

构成''Z"形，同旁内角的边构成“U”形.

4.Nl与N2是对顶角，N2与N3是邻补角，则Nl+N3=度.

【答案】180

【分析】根据对顶角相等，邻补角互补即可得到答案.

【详解】解：由题意可得，

NI=N2,N2+N3=180°,

Zl+Z3=180o,

故答案为180.

【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角互补，解题的关键是根据题意得到角度关系.

5.如图，过直线上一点O作射线OC,ZBar=30。，0。平分NAOC,则Nz）OC的度

数为.

【答案】75。##75度

【分析】先根据48=30°,求出NAoC=I50。，再根据。。平分，40C,即可得出答案.

【详解】解：∙∙∙ZBOC=30°,

.∙.ZAOC=I80。一NBOC=180o-30°=150°,

*/平分/40C,

.∙.ZDOC=-ZAOC=l×I50o=75o.

22

故答案为：75°.

【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，领补角的计算，解题的关键是根据邻补角求

出ZAoC=I50。.

6.如果把图看成是直线46,跖被直线徵所截，那么

（1）Zl与/2是一对什么角？

（2）N3与/4呢？/2与/4呢？

【答案】（I）Nl与N2是一对同位角；（2）/3与/4是一对内错角，N2与N4是一对

同旁内角

【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，

我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线

的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；同旁内角：两

条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截直线之间的两角，叫做同旁内角；由以上

概念进行判断即可.

【详解】解：直线48,"被直线5所截，

(1)Nl与N2是一对同位角；

(2)/3与/4是一对内错角，/2与/4是一对同旁内角.

【点睛】本题考查同位角、内错角以及同旁内角的识别，掌握这几种角的基本定义是解题关

键.

2.课堂检测

设计意图：例题变式练.

【变式1】如图，两条直线AB与C。相交于点O,OE是射线，则图中共有邻补角和对顶角

的数量分别为()

A.6对，2对B.4对，2对C.8对，4对D.4对，4对

【答案】A

【分析】根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解.

［详解】解：Y两条直线AB与C。相交于点0,OE是射线，

对顶角有：NAoC与NBoD,NCoB与ZAOD,共2对，

邻补角有：/AOC与NCOB,/AOE与∕E0B,NCoE与NEoD,NCOB与∕B0D,ZAOD

与NBoD,N4OD与/AOC,共6对

故选:A

【点睛】本题考查了邻补角与对顶角的定义，掌握定义是解题的关键.

【变式2】如图，直线A。、BE被直线8尸和AC所截，下列说法正确的是()

A.N3与/4是同旁内角B.N2与N5是同位角

C./6与Nl是内错角D./2与/6是同旁内角

【答案】D

【分析】根据定义判断可得.

【详解】A：/3与N4是内错角，错误

B：N2与N5不是同位角，错误

C：/6与Nl不是内错角，错误

0：N2与/6是同旁内角，正确

故选：D.

【点睛】本题考查了三线八角模型的相关知识，理解三种角的定义是解题关键.内错角：两

条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样

一对位置关系的角叫做内错角；同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截

两直线的同一方，具有这样一对位置关系的角叫同位角；同旁内角：两条直线被第三条直

线所截，在两条直线之间，并在第三条直线同旁的两个角.

【变式3】如图，A0,80于点0,直线CO经过点。，且NBODZAOC=2x5,则N4OD

的度数为——度.

【分析】设NAoD=X，则NBoD=90。-X,根据NBODNAoC=2：5,列出方程，解方程

即可求解.

【详解】解：YAOL80，

.,.ZAOD+ZBOD=90°,

设NAoO=X,则NBOD=90。-X,

,/ZAOC+ZAOD=180°,

ZAoC=I800-ZAO£)=180°-X,

•：NBODZAOC=2：5,

：.(90°-x)：(180°-x)=2：5,

解得X=30。，

ZAOC=30°,

故答案为：30.

【点睛】本题考查的是平角、余角的定义，解题的关键是找到互余、互补的两个角.

3.课后作业

设计意图：巩固提升.

1.如图，已知直线“，方被直线C所截，NI的同旁内角是（)

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

【答案】A

【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三

条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角.

【详解】•••直线方被直线C所截，

，NI的同旁内角是N2∙

故选：A.

【点睛】本题主要考查了同旁内角的概念,掌握同旁内角在图形中的位置是解决问题的关键.

2.如图，点力，0,5在同一直线上，。。是/AOC的平分线，Eo是/80C的平分线，

ZEOC=AOo,则的度数是（）

【答案】A

【分析】根据OE是NBoC的平分线求出NBOC,由邻补角的定义求出ZAOC,再根据OD

是NAoC的平分线，即可求解.

【详解】解：E是480C的平分线，ZEOC=40°

.,.ZBOC=2ZEOC=SOo,

.∙.ZAOC=180。—NBoC=100。，

YOO是/AOC的平分线，

ZDOA=-ZAOC=50°.

2

故选A.

【点睛】本题考查角度的计算，关键是利用角平分线定义求解.

3.下列说法中，正确的是（）

A.有公共顶点，并且相等的角是对顶角

B.如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角

C.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

D.互补的两个角不可能是对顶角

【答案】B

【分析】根据对顶角的定义和性质进行判断即可.

【详解】解：A、有公共顶点，并且相等的角是对顶角，故此说法错误；

B、如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角，故此说法正确；

C、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故此说法错误；

D、互补的两个角不可能是对顶角，故此说法错误.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了对顶角的定义和性质，解题的关键是熟练掌握对顶角的定义和对顶

角相等.

4.已知NA和ZB的两边互相垂直，且NA比NB的两倍少60。，则ZB的度数为.

【答案】60。或80°

【分析】由—A和-3的两边分别垂直，即可得NA=ZB或ZA+NB=18(Γ,又由N-A比一3

的两倍少60。，即可求得/8的度数.

【详解】解：NA和23的两边分别垂直，

.∙.ZA=NB或Z4+ZB=180o,

NA比NB的两倍少60°,

即∠S4=2ZB-6O0,

①当ZA=ZB时，ZB=2ZB-60°,

.-.ZB=60°.

②当NA+NB=180。时，

.∙.2∠rB-60o+ZB=180o,

.∙.ZB≈80o

NB=60。或/3=8()。，

故答案为：60。或80。.

【点睛】此题考查了垂线,解题的