2022-2023学年河北省秦皇岛市金科大联考高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省秦皇岛市金科大联考高一（下）期末数学

试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

2.已知集合M={x∣l0g2X<2},N={x∖x2—x—2<0},则MnN=（）

A.（0,4）B.（0,2）C.（-1,4）D.（-1,2）

3.智力竞赛决赛由4,B两队进行比赛，A队有甲、乙两名队员，某一道题由甲、乙两名队

员共同解答，甲答对的概率为之乙答对的概率为士则此题4队答对的概率是（至少一人答对

即可）（）

A.IB.ɪC.ID.I

4.如图，在等腰△4BC中AB=AC=2,4B4C=120。，M为A

BC上的动点,BM=%,4M=y,则y关于％的函数解析式是（）/

A.y=V%2—2√^3X+4(0≤%≤2√^3)

B.y=√X2—4x+4(0≤%≤2√-3)

Cy=√X2—2%÷4(0≤X≤2√-3)

2

D.y=√x-2λΛ3+6(0≤X≤2<3)

5.在三棱雉4-8Co中，Zk48C,ZkBCD均为等边三角形，BC=2,∆ACD=90o,M为AD的

中点，则异面直线48与CM所成角的余弦值为()

A.0B.CC.—D.1

22

6.已知α>1,b>2,(ɑ-1)∙(h-2)=2,则α+b的最小值为()

A.3√7B.C.3+2√^1D.2+3√^3

7.在平行四边形ABC。中，NA=60。,48=1,Ao=2,将^AB。沿BD折起，使得平面ABO1

平面BCD,贝IJB到平面ACD的距离为（）

AwB∙殍c∙?

8.如图，△48C外接圆的圆心为O,∆ACB=90°,同.前=64,C

而：•：沆f=7，则圆。的半径R=()XX7

C.7

D.8

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知条件p：a>b,则是条件P的充要条件的是()

A.a2>b2B.α3>b3C.2a>a+bD.ac2>bc2

10.一组数据：0,1,5,6,7,11,12,则()

A.这组数据的平均数为6B.这组数据的方差为16

C.这组数据的极差为11D.这组数据的第70百分位数为7

11.已知函数f(x)=sin(α)x+/)(其中3>0,RW(—兀㈤)相邻的两个零点为W，挈，则()

5O

A.函数f(x)的图象的一条对称轴是久建

B.函数f(x)的图象的一条对称轴是X=⅞

C.9的值可能是与

D.w的值可能是能

12.已知teuɪɑ=2tanβ,则()

A.若SinaCOSB=|，则sin(α-∕?)=ɪ

B.若SinaCOSB=|,则COS(2α+2β)=—ɪ

C.若a,B∈(OA),则tan(α-0)的最大值为华

D.a,β∈(0,≡),使得α=2∕?

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知I矶=1,@=2,α∙K=∣.则0-B)∙0+2G)=-

14.若一组10个数据的,Q2,…，Qlo的平均值为3,方差为11,则Qa+02H--l-ɑɪo=.

15.已知/(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=ex,则以下结论：

①[∕0)]2+[g(χ)]2=g(2x);

②2∕(x)∙g(x)=f(2x);

③g(x)的最小值为2.

其中正确结论的序号为.

16.已知力B是球。的直径，AB=4,C,。是球面上两点，CD1AB,CD=2,4B与平面C。。

所成的角为60。，则四面体ABCD的体积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在^ABCtP,角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足FccosC+c2bcosβ=ab2+ac2—a3.

⑴求4；

(2)若b+c=2,求α的最小值.

18.(本小题12.0分)

甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，从甲、乙两袋中各摸出1个球.

(1)求这两个球为1个红球和1个白球的概率；

(2)求这两个球颜色相同的概率.

19.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系Xoy中，已知点4(4,0),β(l,m)(m>0),∖AB∖=5

(1)求m的值；

(2)C,M是坐标平面上的点，BC=(-1,-1)-OM=xθ7+(2-x)OC(0<x<3),求|南I

的最小值.

20.(本小题12.0分)

已知函数f(X)=(2x-l)(2x-3).

⑴当X∈[0,2]时,求f(x)的值域;

(2)当XeR时，若f(x)+/(r)≥r∏2-2m恒成立，求实数m的取值范围.

21.(本小题12.0分)

如图，已知四棱锥P-ABC。的体积为1,底面ZBCD为平行四边形，E,F分别是PB,PC上的

点，PE=EB,PF=2FC,平面AEF交CO于点G.

⑴求言

(2)求四棱锥E-ABCG的体积.

22.(本小题12.0分)

如图，在三棱台中，平面o

ABC—BBI1ABC,/.ABC=90,AB=BC=4,A1B1=2,

BB1=2√^2.

证明：

(1)BC1LA1C;

(2)求AlB与平面4CG&所成角的正弦值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：岩=(l+2i)d+3i)-1+,1l•

l-3ι1022∙

故选：B.

根据复数四则运算法则计算即可.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】B

2

【解析】解：丫M={x∣log2x<2}=(0,4),N={x∖x-x-2<0]=(-1,2),

.∙.MΓ∣N=(0,2),

故选:B.

分别解不等式可得集合M与N,进而可得M∩N.

本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题.

3.【答案】A

【解析】解：根据题意，甲答对的概率为右乙答对的概率为%则甲乙都没有答对的概率匕=(1-

l×1^⅛=Γ

则此题4队答对的概率P=1-P1=1-∣=∣.

故选：A.

根据题意，先计算甲乙都没有答对的概率，进而由对立事件的性质计算可得答案.

本题考查互斥事件和相互独立事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：根据题意，在△4BC中，AB=AC=2,∆BAC=120°,

BC=√AB2+AC2-2-AB-ACcos∆BAC=√4+4+4=2<3)

则有0≤X≤2√3,

在AABM中，AB=2,BM=x,AM=y,8=30。，

由余弦定理有4M=√AB2+BM2-2AB-BMcosB

即y=√X2+22—2×2xcos30°=JX2-2-∖∕-3x+4(0≤x≤2√-3).

故选：A.

根据题意，在△4BC中，利用余弦定理求出BC的长，进而在△4BM中，由余弦定理分析可得答案.

本题考查函数解析式的求法，涉及余弦定理的应用，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：如图，取Bo的中点N,连接CN,MN,则MN〃/1B,

异面直线AB与CM所成角即为异面直线4B与CM所成角，

而异面直线4B与CM所成角的余弦值为ICOSZNMC

因为AABC,ABCD均为等边三角形，BC=2,

所以48=AC=BC=BD=CD=2,

在ANMC中，MN=^AB=1,CN=√BC2-BN2=√3-

因为NaCD=90。，所以4。=√心+CD2=2口所以加W=；4C=C，

NM2+MC2-CN21+2-3

CM=y∕~2>所以COSZ∙NMC==0-

2NM∙MC2×l×yΓ2

故选：A.

取B。的中点N,连接MN,CN,由题意可知异面直线AB与CM所成角的余弦值为ICoSNNMcI,求

出NM,MC,NC,由余弦定理求解即可.

本题考查异面直线所成的角，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：∙∙∙α>1,b>2,所以α-l>0,b-2>0,

所以a-l;b-2NJ("l)(b-2)=√^2,

即α+b≥3+2∖Λ7,当且仅当ɑ-1=b-2,即α=1+「，b=2+I∑时取等号.

故选：C.

根据(α+1)∙(b-2)=2,由"#2≥J(&一i)(b-2)=，讶求解.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：由乙4=60o,AB=1,AD=2,^BD2=AB2+

"_24B∙AD-cos60o=l+4-2×l×2×∣=3,BD=

G

贝IJaB2+B∕)2=a∕)2,ABA.BD,又四边形4BC0为平行四边

形，.∙∙BD1CD,

•••平面ABD1平面BCD,平面ABDn平面BCD=BD,CDU平

ISiBCD,

CDI5PffiXBD,又；COu平面4C0,二平面ACO-L平面48。，

在平面ABO内，作BHJ.4。于点H,•••平面ACO平面48。，平面4C0Γ∣平面48。=4。，

•••BH1平面4CD,贝IJBH即为所求点B到平面力CD的距离，

在直角三角形4BD中，AB1BD,又BHJ.AD,

1.1n八VmiAB'BDλ∕~^3

・•・-ADλγ∙BnHrι=-ABλn∙BD=BH=——-=—.

LΛLΛ1∖L/，

:・8到平面ACD的距离为?.

故选：D.

计算可得BD1CD,结合平面ABD1平面BCD,得CD_L平面ABD,平面ACD1平面4BD,在平面力BD

内，作BHLAD于点H,则即为所求点B到平面ACC的距离，计算可得结果.

本题主要考查点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：••・乙4CB=90。，

ʌAC∙CB=0>

.∙.AB-AC=(AC+CB)-AC=AC+AC-CB=AC=∖AC∖λ=64,

∙∙.∣m=8,

由丽•沅=7.

得：^AB-(0A+AC)=^AB-OA+^AB∙^4C=-Λ2+ɪ×64=7,

，R=5.

故选：B.

利用直径所对的圆周角为直角，再结合向量的数量积定义及运算律计算求解.

本题考查圆的性质和平面向量的数量积，属于基础题.

9.【答案】BC

【解析】解：哥函数y=/在R上不是单调函数，α2>〃时不能得到。>b,a>b时也不能得到

a2>b2,故A错误；

3

基函数y=JC在R上单调递增，α>b时一定有>所，cι3>/时也一定有。>从故B正确；

由不等式的性质可知，当a>b时，有α+α>b+α,即2α>α+b,

当2α>α+b时，有2α—α>α+b—α,即α>b,故C正确；

当α>b时，若c=0,则tic?>be2不成立，故£>错误.

故选：BC.

由充要条件的定义，根据不等式的性质和基函数单调性判断.

本题考查充分必要条件的判断，考查事函数与基本不等式的性质，是基础题.

10.【答案】AD

【解析】解：对4,这组数据的平均数为：∣×(0+1+5+6+7+11+12)=6,故A选项正确；

对B,这组数据的方差为：ɪ×(62+52+I2+O2+I2+52+62)=ʃ,故B选项错误；

对C,这组数据的极差为：12-0=12,故C选项错误；

对。，由7X70%=4.9,则第70百分位数是第5个数7,故。选项正确.

故选：AD.

由已知的这组数据，利用公式分别计算平均数、方差、极差、第70百分位数即可.

本题考查平均数、方差、极差、第70百分位数的定义，属于基础题.

11.【答案】BC

【解析】解：函数/(x)=Sin(3X+0)(其中3>0,9e(-7Γ,7Γ))相邻的两个零点为M

O

则-=解得T=71,

ZOɔZ

故3=γ=2,

V―1产4_5、_7;T

χ-≠3+τ->-i2,

则％=五为f(%)的一条对称轴，

所以f(x)的对称轴为X=居+k∙^kEZ,故A错误，B正确;

是函数/(x)的零点，

则与+φ=kπ,k.EZ,

9=ZOT-手k&Z,故C正确，O错误.

故选：BC.

根据已知条件，结合三角函数的性质，即可求解.

本题主要考查三角函数的性质，属于基础题.

12.【答案】AC

【解析】解：A：tana=2tanβ==2■=>sinacosβ=2cosasinβ,

ɔ1nil

又SinaCoSS=贝IJCOSaS勿0=W=sin(α故A正确；

ɔɔɔɔɔ

ɔ7

B：sin(α÷∕?)=sinacosβ+cosasinβ=『cos(2a+2β)=1-2sin2(a+£)=云•故3错误；

C:tan(α—6)=需翳=离需=H^而≤?,当且仅当tα%5=?，tcmα=C时

tan.τP乙

取“="，故C正确；

D-.若α=20,则tana=tan2∕?=2tanS=S吗，在(OA)上无解，故。错误.

1.—tanP乙

故选：AC.

根据切化弦再结合两角和差计算判断4选项，再应用二倍角余弦公式判断B选项，两角差的正切结

合基本不等式可以判断C选项，根据正切值得出角的关系判断。选项.

本题主要考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】一予

［解析］解:因为IaI=1,1KI=2，a-b=^,

所以行2=I丘∣2=］,b=Ið∣2=4,

所以0—石）-0+2豆）=五2+为不一2片=1+|-8=-学.

故答案为：一学.

22

利用数量积的运算法则将0-方)・0+2石)展开，结合£=|砧2=15=∖b∖=4求解即可•

本题考查向量的数量积，解题关键是熟练掌握数量积公式，属于中档题.

14.【答案】200

【解析】解：若一组10个数据的,α2,的平均值为3,

所以EIiW产∩=3,

α

即的+α2+∙--+ιo=30,

不妨设这组数据的方差为S?,

2

此时IoS2=(ɑɪ-3)2+(α2—3)2H—+(ɑɪɑ—3),

即10X11=(ɑɪ+α号+…+ɑɪθ)—ð(ɑɪ+0.2+…+ɑɪo)+90,

则居+通+∙∙∙+αf0=110+6×30-90=200.

故答案为：200.

由题意，根据平均数和方差的计算公式，进行求解即可.

本题考查平均数和方差，考查了逻辑推理和运算能力.

15.【答案】①②

【解析】解：∕^(-x)+g(-x~)=e~x,即一f(x)+g(x)=eτ与/^(x)+g(x)=e*,

解得/(X)=J£—，g(x)=W+；由V(X)]2+[gQ)]2=空竽之=g(2x),故①正确;

乙乙Z

2Y—7γ

由2f(X)∙g(x)=幺/一=f(2x),故②正确；

由g(x)=丝A≥；∙2√/∙e-x=1,当且仅当X=O时取等号，故③错误，

故①②正确.

故答案为：①②.

根据函数奇偶性结合已知列方程组计算可得解析式，逐个判断各个小题即可.

本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于基础题.

16.【答案】2

【解析】解：球。的半径为2,CD=OC=OD=2,AOCD为等边三

角形，

取CD的中点H,连接。〃，如图所示：

则。H=√OD2-HD2=√4-1=√^3,

因为co_LOHVCDIAB,OH,ABU平面/MB,OHnAB=。，

所以CD_L平面HAB,

又因为CDU平面C00,所以平面CoDj■平面AMB,

平面COon平面H48=H0,所以NHOB是4B与平面Coo所成线面角,

所以4"。B=60°,

所以SA/MB=2SΔHOB=2×^0H∙0B∙sin60°=3,

11

Kl-BCD=^C-HAB+^D-HAB=3,S4HAB-CD=~×3×2=2.

故答案为：2.

取CD中点H,由已知可证平面C。DI平面44B,得NHoB=60。，解得SAfMB=3,由%-BCD=

^C-HAB+KD-H4B求出体枳即可,

本题考查了空间几何体的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解：(1)因为在中，角A,B,C所对的边分别为α,b,c,

b2ccosC+c2bcosB—α(h2+C2—a2)=a-2bccosA,

所以be。SC+ccosB=2acosA,

即SinBeoSC+SinCcosB=2sinAcosA,

即sin4=2sinAcosA=cosA=g,A∈(0,Tr)=4=*

(2)由余弦定理有a?=b2+C2—be=(b+c/—3bc≥(ð+c)2—3∙(ɪ)2=1,

当且仅当b=C=1时取等号，

故a的最小值为L

【解析】(1)根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可；

(2)应用余弦定理结合基本不等式求值即可.

本题考查了正余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题.

18.【答案】解：(1)在两个口袋中取得球是相互独立事件，

“两球为1红1白”可分为两个互斥事件：

公=甲袋取白球且乙袋取红球，概率为P(4)=∣×∣=i;

A2=甲袋取红球且乙袋取白球，概率为P(4)=∣×∣=ξ-

故两球为1红1白的概率为：+W=焉

VV7

(2)这两个球颜色相同与这两个球为1个红球和1个白球，互为对立事件，

所以这两球颜色相同的概率为P=1-於小

【解析】(1)甲袋取白球且乙袋取红球或甲袋取红球且乙袋取白球，这两种事件互斥，在两个口袋

中取得球是相互独立事件，根据概率公式得到结果.

(2)利用对立事件的概率公式求解.

本题考查相互独立事件以及对立事件相关知识，属于基础题.

19.【答案】解：(1)因为A(4,0),B(l,m)f所以=(—3,τn),

故I~AB∣2=9÷m2=25=>m=±4,

因为m>0,所以m=4；

(‹2y)0C=OBBC=(0,3)，

OM=xOA+(2-X)OC=X∙(4JO)+(2-％)•(0,3)=(4x,6-3%)，

222

OM=16%+(6-3x)2=25X-36%+36=25(%-野+狰

因为0<x<3,所以当X=If时，I而I取得最小值为g∙

【解析】(1)先求出荏=(-3,τn),再根据模长公式可求出结果；

(2)先求出丽=(4x,6-3x),再根据模长公式以及二次函数知识可得结果.

本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量坐标的加法和数乘运算，配方求二次函数

最值的方法，考查了计算能力，属于基础题.

20.【答案】解：⑴令2'=3因为XC[0,2],所以t∈[l,4],

令g(t)—(t—l)(t—3)=尸—4t+3=(t—2)2—1,tE[1,4],

因为|4一2|>|1-2|,所以当t=2时，取最小值为g(t)znE=-1，

当t=4时，取最大值为g(t)mɑχ=3，即g(t)∈[-L3],

故当xC［0,2］时,f(乃值域为［-1,3］；

(2)f(%)+((T)=(2x-l)(2x-3)+(2-x-l)(2-x-3),

令t=2x,则2-x=；,且t>0,

所以g(t)+5(7)=产+以-4(t+》+6

=(C+—4(t+；)+4

=(t+∣-2)2≥0,

其中t+1-2≥2Jt]-2=0,

当且仅当t=3即t=1时取等号，此时X=0,

即/(%)+/(T)≥0,

所以r∏2-2m≤0,解得0≤τn≤2,即实数m的取值范围为[0,2].

【解析】(1)令尹=3结合二次函数的性质计算可得；

(2)利用换元法及基本不等式求出/(>)+/(-乃的最小值，即可得到关于m的一元二次不等式，解

得即可.

本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题.

21.【答案】解：(1)在平面PBC内，延长EF,与BC交于点H,

取PC中点为Q,连接EQ,如图所示：

QC=WPC,FC=∖PC,所以QF=QC-FC=4PC,

ZɔO

由EQ〃BH,所以AEQF7HCF,所以胃=凛