（考前大通关）高考数学二轮专题复习 第一部分专题突破方略专题六《第一讲 直线、平面、棱柱、棱锥、球》专题针对训练 理

一、选择题1．(2010年高考湖北卷)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④解析：选C.由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．2．(2011年高考四川卷)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选B.当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．3．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确的是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b解析：选C.A选项中，平行于同一个平面的两条直线的位置关系可以是异面、平行和相交，故A错误；B选项中，平面α与β还可以相交，故B错误；经判断可知，选项D也错误；选项C中，由面面垂直的判定定理可知正确．4．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD等于a，则三棱锥ABCD的体积为()A.eq\f(a3,6) B.eq\f(a3,12)C.eq\f(\r(3)a3,12) D.eq\f(\r(2)a3,12)解析：选D.如图所示，折起后，形成的三棱锥BACD中，BC＝BD＝CD＝AD＝AB＝a.取BD的中点E，AC的中点F，连结EF，则BD⊥平面ACE.又EF⊥AC，且CE2＝eq\f(3,4)a2，FC2＝eq\f(2,4)a2，∴EF＝eq\r(EC2－FC2)＝eq\f(1,2)a，∴VABCD＝VBACE＋VDACE＝eq\f(1,3)S△ACE·BD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(1,2)a×a＝eq\f(\r(2),12)a3.5.如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A、C是α内不同的两点，B、D是β内不同的两点，且A、B、C、D∉直线l，M、N分别是线段AB，CD的中点．则下列判断正确的是()A．当CD＝2AB时，M、N两点不可能重合B．M、N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D．当AB、CD是异面直线时，直线MN可能与l平行解析：选B.当M、N重合时，四边形ACBD为平行四边形，故AC∥BD∥l，此时直线AC与l不可能相交，B正确，易知A、C、D均不正确．二、填空题6.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与平面AB1的位置关系是________．解析：∵MN⊥BC，∴MN∥BB1，而BB1⊂平面AB1，∴MN∥平面AB1.答案：MN∥平面AB17．在正三棱锥P－ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，有下列三个结论：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.则所有正确结论的序号是________．解析：取AC中点M，连结PM、BM.易得AC⊥PM，AC⊥BM，所以AC⊥平面PMB，从而有AC⊥PB,①正确；AC∥DE，所以AC∥平面PDE，②正确；因为AB与DE不垂直，所以AB与平面PDE也不垂直，③不正确．答案：①②8．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：命题①是两个平面平行的判定定理，正确；命题②是直线与平面平行的判定定理，正确；命题③中，在α内可以作无数条直线与l垂直，但α与β只是相交关系，不一定垂直，错误；命题④中，直线l与α垂直可推出l与α内两条直线垂直，但l与α内的两条直线垂直推不出直线l与α垂直，所以直线l与α垂直的必要不充分条件是l与α内的两条直线垂直．答案：①②三、解答题9.如图，在四棱锥P－ABCD中．PD⊥平面ABCD，AD⊥CD.DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.(1)求证：PA∥平面BDE；(2)求证：AC⊥平面PBD；证明：(1)设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.结合(1)易知DB⊥AC.又PD∩DB＝D.故AC⊥平面PBD.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.解：(1)因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，所以BO∥CD.又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC＝DO，而AD＝3BC，故点O的位置满足eq\f(OD,AD)＝eq\f(1,3)，即在AD的eq\f(1,3)处且离D点比较近．(2)证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD.又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB，而PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.11．如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由B沿棱柱侧面经过棱CC1到点A1的最短路线长为2eq\r(5)，设这条最短路线与CC1的交点为D.(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)在平面A1BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断；(3)证明：平面A1BD⊥平面A1ABB1.解：(1)如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点B2的位置，连结A1B2，则A1B2就是由点B沿棱柱侧面经过棱CC1到点A1的最短路线．设棱柱的棱长为a，则B2C＝AC＝AA1＝a.∵CD∥AA1，∴D为CC1的中点．在Rt△A1AB2中，由勾股定理得A1A2＋ABeq\o\al(2,2)＝A1Beq\o\al(2,2)，即a2＋4a2＝(2eq\r(5))2，解得a＝2，∴S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3).∴VABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1＝2eq\r(3).(2)设A1B与AB1的交点为O，连结BB2、OD，则OD∥BB2.∵BB2⊂平面ABC，O