2023年陕西省延安市高考文科数学一模试卷及答案解析

2023年陕西省延安市高考文科数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）设集合A={x∣x<-4或x>l},B={-2,-1,1,2},则（CRA）∩B=（）

A.{-1,1}B.{-2,-1）

C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,1,2）

2.（5分）已知，为虚数单位，若J-=I-2i,则IZl=（）

1-1

A.10B.√10C.√5D.√2

3.（5分）正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为√IL则其体积为（）

28

A.28B.—C.32D.24

3

4.（5分）设{〃”}是首项为正数的等比数列，公比为q,则'Z<-2”是“对任意的正整数

n,α2"-ι+"2"<0''的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.（5分）如图，在正方体ABeo-AIBICIDI中，P是线段CZh上的动点，则（）

A.AP〃平面BC1。B.Ap〃平面AlBel

C.APJ_平面AIBDD.AP_L平面BBlDl

6.（5分）冶铁技术在我国已有悠久的历史，据史料记载，我国最早的冶铁技术可以追溯到

春秋时代已知某铁块的三视图如图所示，若将该铁块浇铸成一个铁球，则该铁球的表面

积为（）

2

2

侧视

图

2

2

俯

图

视

233

202B24

A.c∙赤D.4VTT

7.（5分）在三棱锥A-BCD中，已知43_1_平面3C。，BC.LCD,若AB=2,BC=CD=Af

则AC与BO所成角的余弦值为（）

√152√2√10√3

A.——B.——C.—D.一

5353

8.（5分）在AABC中，角A,B,C的对边分别为mb,ca>h,Cos(A-B)=*,a=

10,且CoSC=I则AABC的面积为（）

1515√715√7

A.B.-----C.-----D.15√7

442

9.（5分）在如图所示的圆台OOi中，AC为圆。的一条直径，3为圆弧AC上靠近点C的

一个三等分点，若OiALOcOιA=OιC=2√2,则点A到平面CBOx的距离为（）

2√72√21

A.一B.一C.—D.-----

7777

TC

10.（5分）函数/（x）=sinωΛ-（ω>0）的图象向右平移五个单位长度得到函数y=g（x）

TTTTTCTT

的图象，并且函数g（X）在区间［9（上单调递增，在区间写，万］上单调递减，则实数

ω的值为（）

A.10B.18C.2D.8

11.（5分）在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC-4阴。展开，得到的平面图如

图所示.其中A8=4,AC=3,BC=AA∖=59M是BBl上的点，则在直三棱柱ABC-A∖B∖C∖

中，下列结论错误的是（)

A.AM与AICj是异面直线

B.AC±A∖M

C.平面ABiC将三棱柱截成一个五面体和一个四面体

D.4M+MC的最小值是2届

12.（5分）设a=3e<3,h=e0β,C=1.6,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）如图，梯形ABCQ是水平放置的一个平面图形的直观图，其中NA8C=45°,

AB=AD=I,DCLBC,则原图形的面积为.

14.（5分）在平面直角坐标系xθy中，已知向量α=（1,2）,b=（-2,-1）,试写一个

非零向量C=,使得α∙c=b,c.

15.（5分）已知数列｛〃”｝的前〃项和为S”，且2S=3""-2",若",”>560,则正整数,〃的

最小值是.

16.（5分）已知在正方体A8CZ）-AIBICIQI中，AB=2,E是8。的中点，F是侧面BBICIC

内（含边界）的动点，若DiELEF,则EF的最小值为.

三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）如图，矩形4BC。所在平面与半圆弧前所在平面垂直，M是加上异于C,D

的点.

（1）证明：平面AMQ_L平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P,使得MC〃平面PB。？说明理由.

M

18.(12分)已知数列｛丽｝满足斯+ι+αn=2"+5(n∈N*),且αι=3.

(1)求数列｛加｝的通项公式;

,

(2)数列｛加｝满足bn=*,若hi∙⅛2⅛3......bk=3(A∈N*),

Jog(n+I)α7t,n≥2,neN

求A的值.

19.(12分)如图，四边形ABCr)是圆柱的轴截面，O',。分别是上、下底面圆的圆心，EF

是底面圆的一条直径，DE=DF.

(1)证明：EFLAB-,

(2)若4。=例8=2遥，求三棱锥F-CDE的体积.

20.(12分)如图，已知正三棱锥V-ABC中，VALVB,Ml=I2,l，T»_L平面ABC,垂足为

D,OE，平面V¾B,垂足为E,连接ME并延长，交AB于点

(1)证明：M是AB的中点；

(2)过点E作EFL平面01C,垂足为F,求四面体口5EF的外接球的体积.

21.(12分)在等腰梯形ABCD中，BC//AD,BC=^AD=2,NA=60°,E、0、尸分别

为A。、BE、DE中点(如图1),将AABE沿BE折起到aAiBE的位置，使得AlOJ_BC

(如图2).

(I)证明：EUL平面AlOF；

(II)求8到平面MED的距离.

图1图2

22.(12分)已知/(x)-ex-x1+h,曲线y=∕(x)与直线y=0r+l相切于点(1,f(1)).

(1)求4,b的值；

(2)证明：当x>0时，3^≥e-2恒成立.

X

2023年陕西省延安市高考文科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(5分)设集合A={x∣x<-4或x>l},B={-2,-1,1,2},则(CRA)∏B=()

A.{-1,1}B.{-2,-1}

C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,1,2}

【解答】解：：A={x|x<-4或x>l},.∙.CRA={X∣-4WXW1},

二(CRA)CB={-2,-I,1}.

故选：C.

2.(5分)已知i为虚数单位，若J-=I-2i,则IZI=()

1-1

A.10B.√10C.√5D.√2

【解答】解：=I-2i,

1-1

∙*∙z=(1^z)(1-2Z)=-1-3i,

Λ∣z∣=√(-l)2+(-3)2=√10.

故选：B.

3.(5分)正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为，IL则其体积为()

28

A.28B.—C.32D.24

3

【解答】解：如图所示，正四棱台中，001是高，

连接OB,。1囱，设从1_。8,垂足为E,

2222

显然OB=i√4+4=2√2,O1B1=^√2+2=√2,

，该正四棱台的高为0。1=BIE=Jll—(2√2—V2)2=3,

・・・正四棱台的体积V=∣×(22+2×4+42)×3=28.

故选：A.

4.(5分)设｛.｝是首项为正数的等比数列，公比为q,则％<-2”是“对任意的正整数

n,a2n-l+α2n<0,'的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：因为。2"-1+。2”<0,

2n22n1

由等比数列的通项公式可得，a1(q-+q-)<0,

即/(,,^1)(q+↑)<0,所以q∈(-8,-1),

故''qV-2”是“对任意的正整数〃，"2".|+。2"<0”的充分不必要条件.

故选：B.

5.(5分)如图，在正方体ABCQ-AIBICIQI中，P是线段CQI上的动点，则()

A.AP〃平面BCiOB.A尸〃平面48。

C.APj_平面AiBOD.APJ_平面BBlDl

【解答】解：如图，正方体ABeQ-4BιCiQi中，由AAl与CCl平行且相等得平行四边

形ACelA1,

AiCi//AC,由ACc平面AlBC1,AlCIU平面CIB由,

所以AC〃平面AlBC同理AOi〃平面AlBC

而AOi,AC是平面A。IC内两条相交直线，

因此平面AoIC〃平面AIBC1,又APU平面ADC,

所以AP〃平面AlBCi,

故选：B.

6.（5分）冶铁技术在我国已有悠久的历史，据史料记载，我国最早的冶铁技术可以追溯到

春秋时代已知某铁块的三视图如图所示，若将该铁块浇铸成一个铁球，则该铁球的表面

积为（）

2

侧视图

4

c∙乐D.4VTT

【解答】解：由三视图还原原几何体如图,

该几何体为四面体A8CD,其中正方体的棱长为2,

Il4

设四面体ABCD外接球的半径为r,由VEX*x2x2x2=∣πr3,解得r=ɜɪ

∖7Γ

得4斤

，该铁球的表面积为S=4π∕=4πx

故选：D.

7.（5分）在三棱链A-BC。中，已知ABJ_平面BCD,BCLCD,若AB=2,BC=CD=4,

则AC与BD所成角的余弦值为（）

√15√3

D.

3

【解答】解：如图，取BC，AB,AO的中点E,F,G连接FG,EF,EG,

∖'EF∕∕AC,FG//BD,

：.NEFG（或其补角）即为AC与所成的角.

平面BCD,

：.ABLBC,

：.AC=2√5,则EF=√5,

VBClCD,BD=4√2,FG=2√2.

取BO的中点H,连接GH,EH,

J.HG//AB,

."G，平面BCD,

11

HG1.EH,又G”=*?IB=LEH=WCD=2,

：.EG=√G"2+E"2=√5,

222__

(√g)+(2√¾-(√¾国

ΛCOSZ-EFG=

2×vf5×2τ∕25∙

.∙.AC与8。所成角的余弦值为厚.

故选：C.

8.(5分)在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,a>b,CoSG4-B)J〃=

Ql

10,且CoSC=Il,则AABC的面积为()

1515√715√7

A.—B.C.-------D.15√7

442

31

【解答】解：∙.ZosC=

32,

.*.cos(A+B)=-cosC=-sin(A+8)=

1

又YcosQl—B)=ɛ,a>b,

ΛA>B,

Λ0<A-B<π,

∙*∙si∏(√4—B)—&，

ʌcos2B—cos[(√4+8)-(√4-B)]=一×θH—X:=*

ɔ4OɔLΛOO

因为COS28=1-2sin2B=ɪ,

O

..2n_7,_√7„_3•，一∙W∖-Q31,33√7-5√7

•∙SLTIΔB—"τ∑^SiTIB=~τ^fcosB=ɪ,siτιA=SITI(B+C)=-ɪ-XZ+9XxZɔɔ="τz^∙

JLo1T*T4TɔΔ1ɔA>ɪO

αb

•-;=~;>'

smASinB

∙'∙O=8,

∙∙∙SΔΛBC=；X8X1OX婆=苧.

故选：B.

9.（5分）在如图所示的圆台OOi中，AC为圆O的一条直径，B为圆弧AC上靠近点C的

一个三等分点，若OiALOlGOlA=OlC=2√Σ,则点A到平面CBOi的距离为（）

2√72√21

A.一B.一C.—D.-------

7777

【解答】解：如图，连接AB，BC,00∖,BO,

因为OlA_LOIC,OlA=OIC=2√Σ

所以AC=4,OOl=2,

因为B为圆弧AC上靠近点C的一个三等分点,

所以NBoC=卷NBAC=N

ɔ。

因为AC为圆。的一条直径,

所以NABC=}AB=2√3,BC-2,

因为。。1，底面48。,

所以三棱锥Oi-4BC的体积V=∣×∣×2√3×3X3=警,

因为。1是圆01的圆心，A,B,C都在圆。上，

所以OIA=OIC=OIB=2√Σ,

因为。18=2或，O∣C=2√2,BC=2,

所以SAO1BC=I×2×J(2√2)2-12=√7,

设点A到平面CBol的距离为d,

由等体积法可得:X√7Xd=隼，

解得d=写，

Tl

10.(5分)函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移石个单位长度得到函数y=g(x)

的图象，并且函数g(X)在区间卢，刍上单调递增，在区间C，刍上单调递减，则实数

6332

ω的值为()

A.10B.18C.2D.8

Tr

【解答】解：函数/(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移石个单位长度得到函数y=g

(x)=Sin[coCx--^2)]的图象,

即g(X)=sin(ωx-瞿)；

TCTC_TCTC

由于函数g(X)在区间厂，小上单调递增，在区间二，不上单调递减，

6332

当X=E时，函数g(x)取得最大值，即—彳5=5+2"，(A∈Z);

解得3=2+82,(*∈Z),

TτrTT2.71Tt

由函数的单调性可知；≥7-二，所以一≥:7,整理得0VωW6,

2376ω3

故当Z=O时，解得3=2.

故选：C.

11∙（5分）在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC-481。展开，得到的平面图如

图所示.其中AB=4,AC=3,BC=AA∖=5,M是BBI上的点，则在直三棱柱ABC-4BlCI

A.AM与4。是异面直线

B.AClAiM

C.平面ABiC将三棱柱截成一个五面体和一个四面体

D.4M+MC的最小值是2点

【解答】解：由题设，可得直三棱柱，如图.

由直三棱柱的结构特征知AM与AlCl是异面直线，A项正确；

因为AAl_L4C,RAlAC,且A4∏8A=A,所以4C_L平面A4B18,

又AIMU平面AAlBlB,故AC_L4M,8项正确；

由图知，平面ABIC将三棱柱截成四棱锥BLAeClAl和三棱锥BLABC,一个五面体和

一个四面体，C项正确：

将平面AΛ1B∣B和平面CCIBlB展开，展开为一个平面，如下图，

当Aι,M,C共线时，A∣M+MC的最小值为√痂，。项错误.

故选：D.

A4B5C

06

12.(5分)设.=3e°3,⅛=e∙,c=1.6,则()

A.a<b‹cB.c<h<aC.h<a‹cD.h<c<a

【解答】解：设/(χ)=ex-χ-∖,则/(X)="-1,

当犬Vo时，f(X)<0,/(x)在(-8,0)上单调递减，当x>0时，f(X)<0,/(%)

在(0,+8)上单调递增，

所以当XWo时，/(x)>f(O)=0,即d>x+l,

o6

所以α=3e°∙3>3X(-0.3+1)=2.1,⅛=e∙>O.6+l=1.6,所以c=1.6最小，

he°∙6e°∙9e

又因为一=----=——-<-<1,所以b<a.

a3e-0∙333

综上可知，c<b<a.

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)如图，梯形ABCQ是水平放置的一个平面图形的直观图，其中∕A8C=45°,

AB=AD^∖,DClBC,则原图形的面积为_2+乎

B

【解答】解：因为AB=40=1,NABC=45°,DCkBC,

/ɔ

所以BC=I+与，A,D,=1,AE=2,B'C'=1+与，

所以S=*{A'D'+B'C')∙A'B'=∣×(2+^)×2=2+ɪ.

故答案为：2+孝.

14.(5分)在平面直角坐标系xθy中，已知向量α=(1,2),b=(-2,-1),试写一个

非零向量”=(-1,1)(答案不唯一)，使得益c=b∙c.

【解答】解：因为向量α=(1,2),b=(-2,-1),

所以向量工?关于原点对称，只要取向量七，所在直线构成的角平分线上的向量均满足

题意，

不妨取C=(-1,1).

故答案为：(-1,1)(答案不唯一).

15.(5分)已知数列｛板｝的前〃项和为品，且2S=30"-2”,若所>560,则正整数，〃的

最小值是6.

【解答】解：∙.∙2S"=3t⅛-2"①，

当〃=1时，2Sι=34ι-2,解得“ι=2,

当“22时，2S∏-1=3a∩-i-2(n-1)②，

由①-②得-1+2,即“”+1=3(a.-1+1),

∙.Z∣+1=3,.∙.数列｛珈+1｝是首项为3,公比为3的等比数列，

则。"+1=3",即an-3n-1,

要使S”>560,即3m-l>56O,

V∕w∈N*,二"？》6，

故正整数m的最小值是6.

16.(5分)已知在正方体ABCQ-AlBiCiDi中，A5=2,E是BO的中点，F是侧面BBiCiC

内(含边界)的动点，若DIE上EF,则EF的最小值为手.

—5—

【解答】解：取中点M,连接MC,EC,EM,

在矩形BBiDiD中，∕∖D∖DEs∕∖EBM,

则易得力1EJ_EF,又在正方体中，ECjL平面88田1。，所以EULr>1E,

又EMCEC=E,则OlE，平面EMC,即尸点的轨迹是线段MC,在直角aEMC中，

EM=y[3,EC=√2,MC=√5,当EF1MC时,EF=叱廿'=等

MC5

即EF的最小值为^

故答案为：—

三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)如图，矩形ABC。所在平面与半圆弧而所在平面垂直，M是加上异于C,D

的点.

(1)证明：平面AMD_L平面BMG

(2)在线段AM上是否存在点P,使得Λ∕C〃平面PBD?说明理由.

【解答】(1)证明：矩形ABC。所在平面与半圆弦前所在平面垂直,

所以AOL半圆弦诙所在平面，CMU半圆弦前所在平面，

：.CMlAD,

M是加上异于C,。的点.：.CM1.DM,DM∏AD=D,

；.CM_L平面AMD,CMU平面CMB,

.∙.平面AMr)_L平面BMC；

(2)解：存在P是AM的中点，

理由：连接B。、4C交于。，取AM的中点P,连接0P,连接PZλPB,

可得MC〃。/5,MC⊄3FSBDP,0P⊂5FSBDP,

所以MC〃平面PBZx

18.(12分)已知数列｛。〃｝满足斯+ι+o∕∕=2"+5(n∈N*),且m=3.

（1）求数列｛劭｝的通项公式;

1fTi--1

(2)数列｛加｝满足hn=,若如・历・加•…∙hk=3("∈N*),

,ogs+i)Qn,n≥2,n∈∕V*

求Z的值.

【解答】解：(1)∙.∙q〃+ι+Gι=2"+5①，

∙*∙Cln+2^^Cln+1=2〃+7②，

由②-①得“〃+2-a〃=2,

・・・数列｛z｝的奇数项和偶数项各自成等差数列且公差为2,

∙.Z1=3,s+αι=7,

.∙.42=4,

∙*∙ciin-1=αι+2(72-1)=2〃+1=2〃-1+2,即当n为奇数时，cin=M÷2,

ʌa2n=a2+2(/2-1)=2∕ι+2,即当"为偶数时，an=π+2,

综上所述，an=n+2("∈N*);

ɪ九ɪ

(n∈N*),

log)(n+2),n≥2

l(n+1

.,.bι∙b2∙b3...bk—Iog34×log45×...×log(*+i)(k+2)=log3(⅛+2)=3,解得A:=25.

19.(12分)如图，四边形ABCo是圆柱的轴截面，0，，。分别是上、下底面圆的圆心，EF

是底面圆的一条直径，DE=DF.

(1)证明：EFLABi

(2)若A。=√5AB=2√5,求三棱锥F-CQE的体积.

【解答】解：（1）证明：连接。。，

因为。E=OF.EF是底面圆的一条直径，

所以£>0J_EF,因为AQ是圆柱的母线，EF在底面圆。内,

所以AO_LEF,因为。OCAO=。，DO,AD⊂-5FSABCD,

所以EF_L平面ABCO,ABU平面A8C。，

：.EFYAB-,

(2)过点C作CHJ_。力，垂足为H,连接。C,

因为AD=√3AB=2√3,所以OA=OB=I,贝IJOD=OC=√12+1=√13,

在aOCQ中，由余弦定理可得cosZCOD="瑟「=则SinNC0。=Jl-(ɪj)2=

4√3

"13^,

因为C”_L。。，所以NO4C=90°,所以CH=OC∙sin/COH=√Πx等=

由(1)知EF_L平面A8CQ,且C4u平面ABC£>,所以E凡LC”，

因为CHLOD,且ODHEF=O,所以CH_L平面DEF,

则三棱锥C-DEF的体积为，×∣×2×√13×培^=竽.

4√3

故三棱锥F-CDE的体积为不一.

20.(12分)如图，已知正三棱锥V-ABC中，VALVB,%=12,Vcl.平面A8C,垂足为

D,OE，平面以8,垂足为E,连接ME并延长，交月B于点M.

(1)证明：例是AB的中点；

(2)过点E作EFL平面W4C,垂足为F,求四面体VDEF的外接球的体积.

V

【解答】证明：(1)VVDl5FffiABGΛVDLAB.

VDEl5FffiVAB,：.DElAB.

'JVDΠDE=D,.∙.ABJ>平面W)E,则ABLVM.

又V-ABC是正三棱锥，.∙.V½=V8,可得M是A3的中点；

解：(2)•；正三棱锥V-ABC中，VBLVA,.,.VBLVC.

'：V⅛∩VC=V,；.VB_L平面VAC.

又EF_L平面VAC,.∖EF∕∕VB,EF与四交于点F.

如图1,连接CM,∙."D1^A8C,力是正三角形ABC的中心.

图I

由(1)知，M是AB的中点，,O在CM上.

又AB=√2VΛ=12√2,

F51

：.CM=造AB=6√6,得DM=∣CM=2√6,

又VM=AM=^AB=6√2,.,.VD=√KM2-DM2=4√3,

连接。F,：EF_L平面½4C,£)E_L平面38,：.VArEF,VA±DE,

'：EFCDE=E,%_L平面DEF,得VFl.DF.

如图2,取V。的中点0,连接0E,0F.

图2

在Rt∆VFD和Rt∆VED中，FO=EO=OV=OD,

，。为四面体VT)EF的外接球的球心，且0。=^VD=2√3.

设四面体VDEF的外接球的半径为R,则R=2√3.

，四面体VDEF的外接球的体积为V=gττR3=32√3π.

1

21.(12分)在等腰梯形A8CE>中，BC//AD,BC=^AD=2,ZA=60a,E、0、尸分别

为A。、BE、DE中点(如图1),将44BE沿BE折起到aAiBE的位置，使得Alo