期中考试押题卷03（考试范围：选择性必修第二册第6-8章）（解析版）

2022-2023学年下学期期中考试押题卷03高二·数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：选择性必修第二册第6章、第7章、第8章。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，每瓶不空，如果甲、乙两种种子都不许放入1号瓶子内，那么不同的放法共有（

）A．种 B．种C．种 D．种【答案】C【解析】分两步：第1步，可在其他8种种子中选取1种放入1号瓶，则有种选法；第2步，在剩下的9种种子中选5种作全排列，则有种选法.故共有种不同的放法.故选：C.2．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（

）种．A．20 B．4 C．60 D．80【答案】C【解析】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有种分配方案；再安排5名女生，若将每个女生随机安排，共有种分配方案，若女生都在同一小组，共有种分配方案，故保证每个小组都有女生，共有种分配方案；所以共有种分配方案.故选：C.3．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（

）A． B．C． D．l与斜交【答案】B【解析】∵，，可得，∴，可得故选：B.4．甲､乙两所学校有同样多的学生参加数学能力测验，两所学校学生测验的成绩分布都接近于正态分布，其中甲校学生的平均分数为105分，标准差为10分；乙校学生的平均分数为115分，标准差为5分.若用粗线表示甲校学生成绩分布曲线，细线表示乙校学生成绩分布曲线，则下列哪一组分布曲线较为合理？（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，由于甲校的学生成绩平均分低于乙校的学生成绩平均分，所以甲校的学生成绩正态曲线的对称轴比乙校的学生成绩的正态曲线的对称轴靠左；由于甲校的学生成绩的标准差大于乙校的学生成绩的标准差，所以甲校的学生成绩的正态曲线要“矮胖”些，乙校的学生成绩的正态曲线要“瘦高”些.故选：A.5．先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A=“为奇数”，事件B=“，满足”，则概率（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】用表示第1次掷骰子得到的点数为，第2次掷骰子得到的点数为，掷两次骰子，基本事件的个数为：，因为事件A=“为奇数”，事件B=“，满足”，记事件“为奇数，且”，所以事件包含的基本事件个数为：，事件包含的基本事件个数为：，根据古典概率公式知，，，由条件概率公式知，，故选：B.6．如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因，所以选项错误；因.所以选项错误；因为，所以选项错误.因为，所以选项正确；故选：.7．在的展开式中，项的系数为（

）A．60 B．30 C．20 D．【答案】D【解析】由，可得其二项展开式，若先满足项中y的次数，则，可得，其中展开式的通项为，令，得，可得，故项的系数为.故选：D.8．如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：①三棱锥的体积的最大值为；②的最小值为；③点到直线的距离的最小值为．其中所有正确结论的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】在直三棱柱中平面，对于①：因为点在棱上，所以，又，又，，，点在棱上，所以，，所以，当且仅当在点、在点时取等号，故①正确；对于②：如图将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，因为，，所以，所以，即的最小值为，故②错误；对于③：如图建立空间直角坐标系，设，，，，，所以，，则点到直线的距离，当时，当时，，，则，所以当取最大值，且时，即当在点在点时点到直线的距离的最小值为，故③正确；故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．关于空间向量，以下说法正确的是（

）．A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若，则是钝角C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．若对空间中任意一点，有，则四点共面【答案】AC【解析】选项A，空间中的三个向量，若有两个向量共线，由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，正确；选项B，若，则是钝角或者，错误；选项C，设是空间中的一组基底，则不共面，可得向量也不共面，所以也是空间的一组基底，正确；选项D，对空间中任意一点，有，，四点不共面，错误；故选：AC10．现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法正确的有（

）A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为【答案】ACD【解析】对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方式，则有种安排方法，故选项A正确.对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分成4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故选项B错误.对于C，根据题意，分2种情况需要讨论：①从丙､丁､戊中选出2人开车，②从丙､丁､戊中选出1人开车，则有种安排方法，故选项C正确.对于D，分2步进行分析：先将5人分成3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种安排方法，则这5名同学全部被安排的不同方法数为，故选项D正确.故选：ACD.11．一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测.若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止.则（

）A．最多需要检测4次可确定患病者B．第2次检测后就可确定患病者的概率为C．第3次检测后就可确定患病者的概率为D．检测次数的期望为3【答案】ACD【解析】对于A项，①当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都没有检测出患病者，则需要进行第4次检测，第4次可能检测到患者，若第4次还是阴性，则剩下没有检测者为患者，所以最多要检测4次可确定患病者；②若患病者不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患病者.综述：最多需要检测4次可确定患病者.故A项正确；对于B项，第2次检测后就可确定患病者有两种情况：①患病者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他，②患病者不在混检中，并在逐个检测时第1次抽到他，则其概率为：，故B项错误；对于C项，第3次检测后就可确定患病者有两种情况：①患病者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他，②患病者不在混检中，并在逐个检测时第1次没有抽到他，则其概率为：，故C项正确；对于D项，设检测次数为随机变量X，则其分布列为：X234P所以，故D项正确.故选：ACD.12．如图，点M是棱长为l的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（

）A．不存在点M满足平面B．存在无数个点M满足C．当点M满足时，平面截正方体所得截面的面积为D．满足的点M的轨迹长度是【答案】BCD【解析】对于选项A：连接，因为四边形ABCD是正方形，所以，∵，且平面，所以，，平面，所以平面，且平面，可得，同理可证，，平面，所以，又点M是面上的一个动点（包含边界），所以当M与A1重合时，故A错误；对于选项B：连接，，，则，又因为，，，所以，可知当M在线段上时，有故存在无数个点满足，故B正确；对于选项C：延长交于点，∵，则为线段靠近点的三等分点，且，则，则为线段的中点，如图，以D点为原点建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，即，设平面，点，则，则，解得，则，故，可得，即，且，故截面面积，故C正确；对于选项D：因为正方体的棱长为l，所以设所以，，因为，所以化简得：，所以点M的轨迹是一段以为圆心，半径为的圆弧，设圆弧与分别交于点，取，则，即；取，则，即；则，则，且，即，∴轨迹长度是，故D正确．故选：BCD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．浙大附中高二年级某班元旦活动有唱歌､跳舞､小品､相声､朗诵､游戏六个节目制成一个节目单，其中游戏不安排在第一个，唱歌和跳舞相邻，则不同的节目单顺序有___________种（结果用数字作答）【答案】【解析】先将唱歌和跳舞进行捆绑看作一个与除游戏外的三个进行全排，则有种排法，然后将游戏插入这4个排好的空中（不排第一个），有种，由于唱歌和跳舞的位置可以互换，所以不同的节目单顺序有种，故答案为：.14．已知二项式的展开式所有项的系数之和为，则的展开式中的常数项为___________.【答案】【解析】已知二项式的展开式所有项的系数之和为，解得，的展开式通项为，由可得，所以，展开式中的常数项为.故答案为：.15．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．【答案】【解析】因为100个数据，，，…，的平均值，方差，所以的估计值为，的估计值为．设该市高中生的身体素质指标值为X，由，得，所以．故答案为：.16．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是__________.【答案】【解析】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，可得，设，则，可得，即，故，同理可得：，则，当且仅当时，等号成立，对，当且仅当时，等号成立，故，当且仅当，即时等号成立，即直线与之间的距离是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？【解析】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法.（2）这是全排列问题，共有(种)放法.（3）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，故共有(种)放法.（方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，所以共有(种)放法.（4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有(种)放法.（方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，由分步计数原理得，共有(种)放法.18．（12分）在二项式的展开式中，(1)若，求展开式中的有理项；(2)若第4项的系数与第6项的系数比为，求：①二项展开式中的各项的二项式系数之和；②二项展开式中的各项的系数之和．【解析】（1）若，则，（）由，得，有理项为：．（2），由题意得，即，解得或（舍）①二项式系数之和为；②令，得各项的系数之和为．19．（12分）周末可以去哪里？带着挖沙桶、皮球、滑板车和野餐垫，踩踩沙滩、在草地上跑累了随手拿起野餐垫上的蛋糕往嘴巴里塞，沙滩和野餐没有哪个家庭会拒绝的．小芸正在考虑购买一些物品，和父母一起在本周末去离家不远的度假村游玩．买挖沙桶需要40元，买皮球需要60元，买野餐垫需要100元，假设是否购买相互独立，小芸购买三种物品的概率依次为，只不购买野餐垫的概率为，至少购买一件物品的概率为．(1)求小芸恰好购买两件物品的概率；(2)求小芸购买物品的总金额X的分布列和数学期望．【解析】（1）由题意，可得，即，解得，由题意，可得小芸恰好购买两件物品的概率为：.（2）X的所有可能取值为0，40，60，100，140，160，200，，，，，，，，∴X的分布列为X04060100140160200P∴．20．（12分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.(1)试用向量表示向量；(2)若，求的值.【解析】（1）因为点为的中点，所以，因为，所以，所以，所以；（2）由（1）得，因为，，所以.21．（12分）已知正方形的边长为，，分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点在线段上．(1)若为的中点，且直线与由，，三点所确定平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；(2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时平面与平面的夹角的余弦值，若不存在，说明理由．【解析】（1）因为直线平面，故点在平面内也在平面内，所以点在平面与平面的交线上(如图所示)．因为，为的中点，所以，所以，，所以点在的延长线上，且．连接