清单02 直线的交点、距离公式与对称、最值问题（8个考点梳理+题型解读+提升训练）（解析版）

清单02直线的交点、距离公式与对称、最值问题（8个考点梳理+题型解读+提升训练）【知识导图】【考点分布图】【知识清单】1、直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．2、两点间的距离公式两点，间的距离公式为．3、点到直线的距离公式点到直线的距离为．4、两平行线间的距离直线与直线的距离为．5、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为6、点关于直线对称点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．7、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．8、直线关于直线对称求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线第一步：联立算出交点第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点第三步：利用两点式写出方程9、常见的一些特殊的对称点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于点的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．【考点精讲】考点1：两直线的交点问题例1．（2023·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考期中）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，此时，不满足题意；当时，解方程组得，由题知，解得，即实数a的取值范围为.故选：A例2．（2023·海南·高二校联考期中）已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在直线方程中，令，得，即直线与轴的交点为，因为点在直线上，所以，即，所以：，即，所以直线的斜率为.故选：D.例3．（2023·新疆和田·高二校考期中）已知直线方程为，直线方程为，则两直线交点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】联立，解得，因此，两直线的交点坐标为.故选：A.例4．（2023·湖南·高二校联考期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（

）A．无论，，如何，总是无解B．无论，，如何，总有唯一解C．存在，，，使是方程组的一组解D．存在，，，使之有无穷多解【答案】B【解析】直线的斜率存在，∴，由题意，则，故：与：相交，∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；若是方程组的一组解，则，则点，在直线，即上，但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误.故选：B.例5．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）直线与直线的交点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，解得，则交点坐标为.故选：D例6．（2023·四川凉山·高二统考期中）已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】由解得，即.由整理得，由解得，所以直线过定点，，，则当点到直线的距离最大时，.故选：A例7．（2023·北京朝阳·高二北京工业大学附属中学校考阶段练习）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】联立得，所以，解得，所以直线的倾斜角的范围为.故选：B.考点2：两点的距离例8．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题知，，解得，故，则两点间的距离为.故选：C例9．（2023·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P．线段AB中点为Q，则的值为（

）A． B． C． D．与m的取值有关【答案】A【解析】由于经过的定点为，所以，直线变形为，所以经过定点，故，且两直线垂直，因此为直角三角形，所以，故选：A例10．（2023·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）已知三顶点为、、，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】由已知，，，∴，即，∴是直角三角形.故选：B.例11．（2023·江苏连云港·高二统考期中）已知三点，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由两点间的距离公式，及可得：，解得.故选：A例12．（2023·河北衡水·高二校考阶段练习）点与之间的距离是5，则y=（

）A． B． C．或 D．12【答案】C【解析】由题意，即，解得或．故选：C．例13．（2023·湖南·高二校联考期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条；又，所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条.综上所述，满足条件的直线共有3条.故选：C．考点3：点到直线的距离例14．（2023·海南·高二校联考期中）已知，，，设中边上的高所在的直线为，则点到的距离为．【答案】【解析】因为，，所以的方程为，即为，所以到的距离为，故答案为：.例15．（2023·河南·高二校联考期中）已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为.【答案】/【解析】将直线化为一般方程可得，由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为.故答案为：例16．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知中，，若的面积不超过2，则的取值范围是.【答案】或【解析】直线的斜率不存在时，，此时，舍.直线的斜率存在时，，整理得到：.故到直线的距离为，又，故，所以即，因为构成三角形，故，所或，故答案为：或.例17．（2023·福建福州·高二校联考期中）若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为.【答案】/【解析】可以看成点到直线：的距离，可以看成点到直线：的距离，由已知可得，，：不过原点，又由恰有两组的实数对满足关系式，所以可以看成有且仅有两条直线满足，直线方程：，所以满足题意的直线：第一条是线段的垂直平分线，当：是的垂直平分线时，因为，所以，符合题意；第二条只能取自与直线平行的两条直线中的一条，且此时另一条直线过原点，此时第二条直线的方程为，所以此时，即，符合题意；所以.故答案为：.例18．（2023·湖北·高二湖北省罗田县第一中学校联考阶段练习）若非零实数对满足关系式，则．【答案】或【解析】由，可得，可以看成点到直线的距离，可以看成点到直线的距离，因为，所以.因为，，所以当点，在直线同侧时，直线与直线平行，当点，在直线异侧时，，关于直线对称，因为直线的斜率，直线的斜率为，所以或，所以或.故答案为：或.例19．（2023·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）已知点到直线的距离为2，则．【答案】【解析】由题意可得，故答案为：例20．（2023·江苏泰州·高一统考期中）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为.【答案】或【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为，当直线时，显然点，到直线的距离相等，如下图：则此时，由，且直线过，则直线的方程为，整理可得；当直线与直线相交时，作于，于，如下图：若，由，，则，可得，即为的中点，其坐标为，此时直线的斜率，直线的方程为，整理可得.故答案为：或.例21．（2023·河南洛阳·高二统考期中）已知，两点到直线l：的距离相等，则．【答案】1或【解析】由题意得，即，所以或，解得或．故答案为：1或.考点4：两平行直线的距离例22．（2023·贵州·高二校联考期中）已知两条平行直线：，：间的距离为，则．【答案】或16【解析】因为，所以，解得，则：，可化直线为，所以与的距离为，解得或则或．例23．（2023·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）直线平行于直线，则这两条直线的距离等于．【答案】/【解析】因为直线平行于直线，所以，得，所以直线化为，由，得，所以两平行线间的距离为，故答案为：例24．（2023·黑龙江·高二统考期中）若直线与直线平行，则与之间的距离为．【答案】【解析】据两直线平行，可得，解得，所以两直线的方程，，整理得，根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离．故答案为：例25．（2023·浙江·高二校联考期中）直线与之间的距离相等，则直线的方程是.【答案】【解析】显然直线平行，所以要求的直线也与平行，设直线的方程为，则由平行线间的距离公式得，解得，所以直线的方程为.故答案为：.例26．（2023·北京朝阳·高二校考期中）到直线的距离等于的直线方程为.【答案】或【解析】设所求直线方程为，由，得或,所以所求的直线方程为或，故答案为：或例27．（2023·高二课时练习）与直线平行且与它的距离为的直线的方程为．【答案】或【解析】设所求直线方程为，则，解得或，故答案为：或考点5：点线对称例28．（2023·江苏苏州·高二统考期中）点关于直线的对称点的坐标为．【答案】【解析】设对称点的坐标为，则，解得，所以对称点的坐标为.故答案为：例29．（2023·内蒙古鄂尔多斯·高二校联考期中）已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是.【答案】【解析】因为直线与直线交于点A，所以联立，解得，即.设点关于直线的对称点坐标为，则的中点坐标为，，故，解得，即点A关于直线的对称点坐标是.故答案为：.例30．（2023·四川眉山·高二仁寿一中校考期中）点关于的对称点为【答案】【解析】设对称点坐标为，根据题意可得，解得；所以对称点坐标为.故答案为：例31．（2023·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）点关于直线对称的点的坐标为．【答案】【解析】由直线方程，则其斜率，与直线垂直的直线斜率，设直线过，可得其直线方程，整理可得，联立可得，解得，交点坐标，设关于直线对称点坐标，则，解得，所以关于直线对称点坐标.故答案为：.例32．（2023·重庆·高二重庆市育才中学校考期中）已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为.【答案】【解析】由题意利用反射定律可得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为，化简可得.故答案为：．例33．（2023·北京·高二北京市第三十五中学校考期中）点关于直线的对称点为，则点的坐标为．【答案】【解析】设，则，解得，所以点的坐标为.故答案为：考点6：线点对称例34．（2023·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）直线l：关于点对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为不在直线l：上，所以可设直线l：关于点对称的直线方程为，则，解得或（舍去），故所求直线方程为：.故选：A例35．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得：，令，解得：，所以，设直线关于点的对称直线方程为：，则到直线与的距离相等，所以，解得：，即（舍去）或.故直线关于点的对称直线方程为：.故选：D.例36．（2023·河南南阳·高二校考阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点，则关于对称点为，又因为在上，所以，即。故选：B例37．（2023·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【答案】B【解析】由ax＋y＋3a－1＝0得，由，得，∴M（－3，1）．设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．故选：B．例38．（2023·高二单元测试）直线关于点对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.故选：D.例39．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考阶段练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（），点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去），所以直线的方程是.故选：A.考点7：线线对称例40．（2023·高三课时练习）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解.依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.故选：A.例41．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）直线关于x轴对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】直线的斜率为2，与x轴交于点，则与关于x轴对称的直线斜率为，并过点，所以，所求方程为，即.故选：D例42．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，则，解得，∵点在直线上，即，∴，化简得，即为所求直线方程.故选：B.例43．（2023·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）与直线关于轴对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线上，故所求直线方程为，即.故选：A.例44．（2023·上海静安·统考二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】联立，得，取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，直线的斜率，所以直线的方程为，整理为：.故选：A例45．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期中）与直线关于轴对称的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】将直线的换为，就可以得出直线关于轴对称的直线方程为：.故选：C.考点8：两线段和与差的最值问题例46．（2023·山东·高二校联考期中）已知点是直线上一点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解析：设关于直线的对称点为，所以，解得:，所以：，当三点共线时有最小值：，所以：的最小值等于.故D项正确.故选：D.例47．（2023·河南新乡·高二统考期中）的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为表示直线上一点到两点的距离之和．设点关于直线的对称点为，所以，解得，即，所以，即的最小值为.故选：C.例48．（2023·河北·高二校联考期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B． C．108 D．117【答案】A【解析】∵∴该式表示直线l：上一点到，两点距离之和的最小值．易知P，Q两点在l的同一侧，设点P关于l对称的点，则，解得，∴，故．故选：A.例49．（2023·北京·高二大峪中学校考期中）若，分别为与上任一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得两条直线相互平行，的最小值是平行线之间的距离，直线可变形为则的最小值为．故选：C例50．（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）已知实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：设点关于直线的对称点为，则，解得，所以对称点为，则由图知：的最小值为，故选：D例51．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线：恒过点A，已知，动点P在直线：上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由化简得，所以，如下图所示：由图形可知，点A、B在直线的同侧，且直线的斜率为1，设点B关于直线的对称点为点，则，解得，，即点，由对称性可知，故选：D例52．（2023·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知点在直线上，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】就是到原点距离，到原点距离的最小值为则的最小值为2，故选：B.例53．（2023·江苏苏州·高二统考期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为．【答案】【解析】直线可得，直线可整理为，令，解得，所以，因为，所以直线与直线垂直，则，所以点的轨迹为以为直径的圆，，所以，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：.例54．（2023·浙江温州·高二校联考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为．【答案】【解析】，可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差.，所以的最大值为.故答案为：例55．（2023·广东广州·高二广东广雅中学校考期中）已知实数满足，则的最大值是．【答案】【解析】表示直线上的点到点与的距离之差，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，则，当且仅当三点共线时取等号，所以的最大值为.故答案为：.【提升练习】一、单选题1．（2023·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求得点的坐标，然后求得点的坐标，进而求得.（1）由题意知：点在直线上，则可设，则中点为在直线上，可得，解得：，即，因为，可设直线方程为：，代入可得：，解得，即直线方程为：，联立方程，解得，即，所以直线的方程为：，即；（2）当时，直线经过原点，则直线斜率，所以直线方程为，即；当时，可设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，即；综上所述：直线方程为或.18．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知在中，点，角的角平分线为边上的中线所在直线为．(1)求点的坐标；(2)求边所在直线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）将中点