高考数学冲刺押题卷02（2024新题型）（解析版）

2024年高考数学模拟卷02（新题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．小李同学参加了高三以来进行的6次数学测试，6次成绩依次为：90分、100分、120分、115分、130分、125分.则这组成绩数据的上四分位数为（

）A．120 B．122.5 C．125 D．130【答案】C【解析】将6次成绩分数从小到大排列依次为：，由于，故这组成绩数据的上四分位数为第5个数125，故选：C2．已知双曲线的离心率，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得双曲线的焦点在轴上时，，，所以，由，解得.故选：A.3．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（

）A．12 B．-12 C．6 D．-6【答案】A【解析】由题意得，，解得，∴数列的公差为.故选：A4．已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（

）A．若，，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】C【解析】对于A选项，若，，，则与不一定垂直，A错；对于B选项，若，，则与的位置关系不确定，B错；对于C选项，若，，，则，由线面平行的判定定理可得，C对；对于D选项，若，，，则、平行或异面，D错.故选：C.5．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（

）A．72 B．84 C．100 D．120【答案】C【解析】若甲去点，则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点.当剩余4人只去、两个点时，人员分配为或，此时的分配方法有；当剩余4人分为3组去，，3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有，综上可得，甲去点，不同的安排方法数是.同理，甲去点，不同的安排方法数也是，所以，不同的安排方法数是.故选：C.6．如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以所以，因为，所以，即，因为三点共线，所以，解得，所以，而,所以,即.故选：D.7．在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且，则下列说法正确的是（

）A．P的轨迹为圆 B．P到原点最短距离为1C．P点轨迹是一个菱形 D．点P的轨迹所围成的图形面积为4【答案】C【解析】设P点坐标为，则由已知条件可得，整理得．又因为，所以P点坐标对应轨迹方程为．，且时，方程为；，且时，方程为；，且时，方程为；，且时，方程为．P点对应的轨迹如图所示：，且，所以P点的轨迹为菱形．A错误，C正确；原点到：的距离为B错误；轨迹图形是平行四边形，面积为，D错误．故选：C．8．若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】过点、分别作、垂直直线于点、，作的平分线与轴交于，由，故、，则，，由且为的平分线，故，故，又、，故与相似，故，由，令，则，故直线与轴交于点，故，，故，由，故，，故，，由椭圆定义可知，，故，即的长轴长为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设是复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【解析】若，则互为共轭复数，故，故A正确；若，则，而，故B错误；设，若，则，又，故，故C正确；若，则，而，故D错误．故选：AC10．已知函数（，，），若的图象过，，三点，其中点B为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（

）A． B．C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减【答案】BC【解析】由题意得，，，所以，.由，得，由图知在上单调递增，所以，，所以，.又，只可能，所以，所以，，故A错误，B正确；因为，所以的图象关于直线对称，故C正确；令（），解得（），令，得，又包含但不是其子集，故D错误.故选：BC.11．已知定义在上的函数满足，当，时，.下列结论正确的是（

）A． B．C．是奇函数 D．在上单调递增【答案】ACD【解析】令，可得.令，可得.因为当时，，所以.令，可得.因为，所以当时，.又因为当时，，所以当时，.令，可得，①所以，两式相加可得.令，可得.②①-②可得，化简可得，所以是奇函数，C正确.由，可得：，B错误.由可得解得，A正确.令，可得.令，则.因为当时，，所以，所以，即，所以在上单调递增.因为为奇函数，所以在上单调递增，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．集合的真子集的个数是.【答案】31【解析】共5个元素，则真子集的个数是.13．某兴趣小组准备将一棱长为a的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为．【答案】【解析】如图，在正方体中取各边棱长中点得正六边形，则正六边形的边长为，其最大内切圆的半径为，正方体的体对角线的一半为圆锥的高，所以圆锥的最大体积为.14．若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是．【答案】【解析】利用均值不等式得，即，当且仅当，即时等号成立，又，所以．所以，，即，．所以，当且仅当时，取得等号．故的最大值是．证明：，令，则，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，即，即.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1），所以切点为.，，所以切线为.（2）要证，只需证：，即证：.令，.令，解得.所以，，为增函数，，，为减函数.所以，所以恒成立，即证.16．（15分）某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立.（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；（2）求甲获胜的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件，由题意，发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错，∴，故比赛开始，甲先得一分的概率为.（2）由（1）知：在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为，，设两人共抢答了道题比赛结束且甲获胜，根据比赛规则，的可能取值为3，4，5，∴，，，∴甲获胜的概率.17．（15分）已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内．（1）求证：；（2）为棱上一点，且二面角为，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：取线段的中点，连接、，在斜三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，所以，且，因为、分别为、的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，，又因为，则，因为，则，因为，为的中点，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，.（2）由（1）可知，平面，过点在平面内作，垂足为点，因为平面，平面，则，又因为，，、平面，则平面，所以，直线与平面所成的角为，所以，，则，因为，可得，，因为，则，，所以，，则，因为为的中点，所以，，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，，则，即点，同理可得点、，设，其中，则，且，设平面的法向量为，则，取，则，，所以，平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，因为二面角为，则，整理可得，因为，解得，即.18．（17分）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为．（1）求双曲线的方程；（2）记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2），为定值．【解析】（1）设双曲线的焦距为，由题意得，，解得，故双曲线的方程为．（2）由题意得，，当直线的斜率为零时，则．当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，点，联立，整理得，则，解得且，所以，所以．综上，，为定值．19．（17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；（2）当时，若